अवकलन समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल: Difference between revisions

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अवकलन समीकरण का हल चर (स्वतंत्र और आश्रित) के बीच एक संबंध है, जो किसी भी क्रम के अवकलज से मुक्त होता है, और जो अवकलन समीकरण को समान रूप से संतुष्ट करता है। अब आइए विस्तार से जानें कि ‘अवकलन समीकरण हल ’ वास्तव में क्या हैं!

अवकलन समीकरण हल

यदि हम एक सामान्य $n$ ^th क्रम अवकलन समीकरण पर विचार करें –

$F[x,y,{dy \over dx},....,{d^{n}y \over dx^{n}}]=0,$

जहाँ $F$ अपने $(n+2)$ तर्कों – $x,y,{dy \over dx},....,{d^{n}y \over dx^{n}}$ का एक वास्तविक फलन है।

तब एक फलन $f(x),$ जिसे अंतराल $x\in I$ में परिभाषित किया गया है और जिसमें सभी $x\in I$ के लिए $n$ वाँ अवकलज (साथ ही सभी निम्न क्रम अवकलज ) है; दिए गए अवकलन समीकरण के स्पष्ट हल के रूप में तभी जाना जाता है जब –

$F[x,f(x),f'(x),.....,f^{(n)}(x)]=0$ , सभी $x\in I$ के लिए।

एक संबंध $g(x,y)=0,$ दिए गए अवकल समीकरण का अंतर्निहित हल कहलाता है यदि यह अंतराल $I$ पर चर $x$ का कम से कम एक वास्तविक फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित करता है कि यह फलन उपरोक्त शर्तों के अनुसार इस अंतराल पर अवकल समीकरण का स्पष्ट हल है।

अवकलन समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल

अवकलन समीकरण का व्यापक हल

$n$ वें क्रम के अवकलन समीकरण का सामान्य हल वह होता है जिसमें $n$ आवश्यक मनमाना स्थिरांक उपस्थित होते हैं।

यदि हम चर पृथक्करण विधि द्वारा प्रथम क्रम के अवकलन समीकरण को हल करते हैं, तो हमें समाकलन करते ही एक मनमाना स्थिरांक पेश करना होगा। इस प्रकार आप देख सकते हैं कि सरलीकरण के बाद प्रथम क्रम के अवकलन समीकरण के हल में 1 आवश्यक मनमाना स्थिरांक होता है।

इसी प्रकार, द्वितीय क्रम के अवकलन समीकरण के सामान्य हल में 2 आवश्यक मनमाना स्थिरांक होंगे और इसी तरह आगे भी। सामान्य हल ज्यामितीय रूप से वक्रों के $n$ -पैरामीटर परिवार का प्रतिनिधित्व करता है।

उदाहरण के लिए, अवकलन समीकरण ${dy \over dx}=3x^{2}$ का सामान्य हल , जो $y=x^{3}+c$ निकलता है जहाँ $c$ एक मनमाना स्थिरांक है, वक्रों के एक-पैरामीटर परिवार को दर्शाता है जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

अवकलन समीकरण का विशिष्ट हल

अवकलन समीकरण का विशेष हल मनमाने स्थिरांकों को विशिष्ट मान निर्दिष्ट करके सामान्य हल से प्राप्त किया गया हल है। मनमाने स्थिरांकों के मानों की गणना करने की शर्तें हमें समस्या के आधार पर आरंभिक-मान समस्या या सीमा शर्तों के रूप में प्रदान की जा सकती हैं।

विचित्र हल

विचित्र हल भी किसी दिए गए अवकलन समीकरण का एक विशिष्ट हल है, लेकिन इसे मनमाने स्थिरांकों के मान निर्दिष्ट करके सामान्य हल से प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण

प्रश्न : निर्धारित करें कि क्या फलन $f(t)=c_{1}e^{t}+c_{2}e^{-3t}+sint$ निम्न प्रकार से दिए गए अवकलन समीकरण का एक व्यापक हल है -

${d^{2}F \over dt^{2}}+2{dF \over dt}-3F=2cost-4sint$

साथ ही, प्रारंभिक मान शर्तों $f(0)=2$ और $f'(0)=-5$ को संतुष्ट करते हुए दिए गए अवकलन समीकरण का विशेष हल भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: फलन $f(t)$ को हल होने के लिए अवकलन समीकरण को संतुष्ट करना होगा। तो आइए सबसे पहले $f$ के अवकलज लिखें।

$f(t)=c_{1}e^{t}+c_{2}e^{-3t}+sint$

$f'(t)=c_{1}e^{t}-3c_{2}e^{-3t}+cost$

$f''(t)=c_{1}e^{t}+9c_{2}e^{-3t}-sint$

अब आइए हम अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष में $F$ के लिए इन मानों का उपयोग करें और परिणाम की गणना करें।

${d^{2}f \over dt^{2}}+2{df \over dt}-3f$

$(c_{1}e^{t}+9c_{2}e^{-3t}-sint)+3(c_{1}e^{t}+c_{2}e^{-3t}+sint)$

$2cost-4sint$ , समान पदों के रद्द होने के बाद।

इस प्रकार हम पाते हैं कि सरलीकरण के बाद अवकल समीकरण का बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर है। इसलिए, दिया गया $f(t)$ अवकल समीकरण का एक हल है।

इसके अलावा, चूँकि अवकल समीकरण का क्रम $=2$ है, और फ़ंक्शन $f(t)$ में मनमाने स्थिरांकों की संख्या $=2$ है; हम पाते हैं कि $f(t)$ द्वारा दिया गया हल वास्तव में अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

विशिष्ट हल का निर्धारण -

व्यंजक $f(t)=c_{1}e^{t}+c_{2}e^{-3t}+sint$ , $t=0$ से

$f(0)=c_{1}+c_{2}=2.....(1)$

इसी प्रकार, व्यंजक $f'(t)=c_{1}e^{t}-3c_{2}e^{-3t}+cost$ , $t=0$ से

$f'(0)=c_{1}-3c_{2}+1=-5.....(2)$

युगपत रैखिक समीकरण (1) और (2) को हल करने पर, हम $c_{1}$ और $c_{2}$ के मान इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं –

$c_{1}=0$ और $c_{2}=2$

आवश्यक विशिष्ट हल है –

$f(t)=2e^{-3t}+sint$

इसी तरह, अवकल समीकरणों के समाधान पर अन्य सभी समस्याओं को भी संभाला जा सकता है।

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-General and Particular Solution of a Differential Equations
+अवकलन समीकरण का हल  चर (स्वतंत्र और आश्रित) के बीच एक संबंध है, जो किसी भी क्रम के अवकलज से मुक्त होता है, और जो [[अवकलनीयता|अवकलन]] समीकरण को समान रूप से संतुष्ट करता है। अब आइए विस्तार से जानें कि ‘अवकलन समीकरण हल ’ वास्तव में क्या हैं!
-[[Category:कलन]]
+== अवकलन  समीकरण हल ==
+यदि हम एक सामान्य  <math>n</math><sup>th</sup> क्रम अवकलन  समीकरण पर विचार करें –
+<math>F[x,y,{dy \over dx},....,{d^ny \over dx^n}]=0,</math>
+जहाँ <math>F</math> अपने <math>(n + 2)</math> तर्कों – <math>x,y,{dy \over dx},....,{d^ny \over dx^n}</math> का एक [[वास्तविक फलनों का बीजगणित|वास्तविक फलन]] है।
+तब एक फलन <math>f(x),</math> जिसे अंतराल <math>x\in I</math>  में परिभाषित किया गया है और जिसमें सभी <math>x\in I</math> के लिए  <math>n</math>वाँ अवकलज (साथ ही सभी निम्न क्रम अवकलज  ) है; दिए गए अवकलन समीकरण के स्पष्ट हल  के रूप में तभी जाना जाता है जब –
+<math>F[x,f(x),f'(x),.....,f^{(n)}(x)]=0</math>  , सभी <math>x\in I</math> के लिए।
+एक [[संबंधों के प्रकार|संबंध]] <math>g(x,y) = 0,</math> दिए गए अवकल समीकरण का अंतर्निहित हल कहलाता है यदि यह अंतराल <math>I</math> पर चर <math>x</math> का कम से कम एक वास्तविक फलन <math>f</math> इस प्रकार परिभाषित करता है कि यह फलन उपरोक्त शर्तों के अनुसार इस अंतराल पर अवकल समीकरण का स्पष्ट हल है।
+[[File:अवकलन समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल.jpg|thumb|अवकलन समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल]]
+== अवकलन समीकरण का व्यापक हल ==
+<math>n</math>वें क्रम के अवकलन समीकरण का सामान्य हल  वह होता है जिसमें <math>n</math> आवश्यक मनमाना स्थिरांक उपस्थित होते हैं।
+यदि हम चर पृथक्करण विधि द्वारा प्रथम क्रम के अवकलन समीकरण को हल करते हैं, तो हमें समाकलन करते ही एक मनमाना स्थिरांक पेश करना होगा। इस प्रकार आप देख सकते हैं कि सरलीकरण के बाद प्रथम क्रम के अवकलन समीकरण के हल  में 1 आवश्यक मनमाना स्थिरांक होता है।
+इसी प्रकार, द्वितीय क्रम के अवकलन समीकरण के सामान्य हल  में 2 आवश्यक मनमाना स्थिरांक होंगे और इसी तरह आगे भी। सामान्य हल  ज्यामितीय रूप से वक्रों के <math>n</math>-पैरामीटर परिवार का प्रतिनिधित्व करता है।
+उदाहरण के लिए, अवकलन समीकरण  <math>{dy \over dx}=3x^2</math> का सामान्य हल , जो <math>y=x^3+c</math> निकलता है जहाँ <math>c </math> एक मनमाना स्थिरांक है, वक्रों के एक-पैरामीटर परिवार को दर्शाता है जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।
+== अवकलन समीकरण का विशिष्ट हल ==
+अवकलन  समीकरण का विशेष हल  मनमाने स्थिरांकों को विशिष्ट मान निर्दिष्ट करके सामान्य हल  से प्राप्त किया गया हल  है। मनमाने स्थिरांकों के मानों की गणना करने की शर्तें हमें समस्या के आधार पर आरंभिक-मान समस्या या सीमा शर्तों के रूप में प्रदान की जा सकती हैं।
+=== विचित्र हल ===
+विचित्र हल भी किसी दिए गए अवकलन  समीकरण का एक विशिष्ट हल  है, लेकिन इसे मनमाने स्थिरांकों के मान निर्दिष्ट करके सामान्य हल  से प्राप्त नहीं किया जा सकता है।
+== उदाहरण ==
+प्रश्न : निर्धारित करें कि क्या फलन <math>f(t)=c_1e^t+c_2e^{-3t}+sint</math>  निम्न प्रकार से दिए गए अवकलन समीकरण का एक व्यापक हल है -
+<math>{d^2F \over dt^2}+2{dF \over dt}-3F=2cost-4sint</math>
+साथ ही, प्रारंभिक मान शर्तों <math>f(0) = 2</math> और <math>f'(0) = -5</math> को संतुष्ट करते हुए दिए गए अवकलन समीकरण का विशेष हल भी ज्ञात कीजिए।
+'''उत्तर''':  फलन  <math>f(t)</math> को हल होने के लिए अवकलन समीकरण को संतुष्ट करना होगा। तो आइए सबसे पहले <math>f </math> के अवकलज  लिखें।
+<math>f(t)=c_1e^t+c_2e^{-3t}+sint</math>
+<math>f'(t)=c_1e^t- 3c_2e^{-3t}+cost</math>
+<math>f''(t)=c_1e^t+9c_2e^{-3t}-sint</math>
+अब आइए हम अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष में <math>F</math> के लिए इन मानों का उपयोग करें और परिणाम की गणना करें।
+<math>{d^2f \over dt^2}+2{df \over dt}-3f</math>
+<math>(c_1e^t+9c_2e^{-3t}-sint)+3(c_1e^t+c_2e^{-3t}+sint)</math>
+<math>2cost-4sint</math>, समान पदों के रद्द होने के बाद।
+इस प्रकार हम पाते हैं कि सरलीकरण के बाद अवकल समीकरण का बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर है। इसलिए, दिया गया <math>f(t)</math> अवकल समीकरण का एक हल है।
+इसके अलावा, चूँकि अवकल समीकरण का क्रम <math>= 2</math> है, और फ़ंक्शन <math>f(t)</math> में मनमाने स्थिरांकों की संख्या <math>= 2</math> है; हम पाते हैं कि <math>f(t)</math> द्वारा दिया गया हल वास्तव में अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
+'''विशिष्ट हल का निर्धारण -'''
+व्यंजक  <math>f(t)=c_1e^t+c_2e^{-3t}+sint</math> , <math>t=0</math>  से
+<math>f(0)=c_1+c_2=2.....(1)</math>
+इसी प्रकार, व्यंजक  <math>f'(t)=c_1e^t- 3c_2e^{-3t}+cost</math> , <math>t=0</math> से
+<math>f'(0)=c_1-3c_2+1=-5.....(2)</math>
+युगपत रैखिक समीकरण (1) और (2) को हल करने पर, हम <math>c_1</math>और <math>c_2</math> के मान इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं –
+<math>c_1=0</math>  और   <math>c_2=2</math>
+आवश्यक विशिष्ट हल है –
+<math>f(t)=2e^{-3t}+sint</math>
+इसी तरह, अवकल  समीकरणों के समाधान पर अन्य सभी समस्याओं को भी संभाला जा सकता है।
+[[Category:अवकल समीकरण]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]