समतल से दीए गए बिन्दु की दूरी

बिन्दु और समतल के बीच की दूरी दिए गए बिन्दु से गुजरने वाले समतल पर लंबवत की लंबाई है। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि बिन्दु और समतल के बीच की दूरी दिए गए बिन्दु से दिए गए समतल पर गिराए गए सामान्य सदिश की लंबाई है। यदि हम निर्देशांक $(x_{o},y_{o},z_{o})$ वाले बिन्दु $P$ और समीकरण $Ax+By+Cz=D$ के साथ दिए गए समतल के बीच की दूरी निर्धारित करना चाहते हैं, तो बिन्दु $P$ और दिए गए समतल के बीच की दूरी $\left\vert Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}+D\right\vert /{\sqrt {(A^{2}+B^{2}+C^{2})}}$ द्वारा दी जाती है।

परिभाषा

बिन्दु और समतल के बीच की दूरी, बिन्दु से दिए गए समतल तक की सबसे छोटी लंबवत दूरी है। सरल शब्दों में, किसी बिन्दु से समतल तक की सबसे छोटी दूरी दिए गए बिन्दु से दिए गए समतल पर गिराए गए सामान्य सदिश के समानांतर लंबवत की लंबाई है। आइए अब बिन्दु और समतल के बीच की दूरी का सूत्र देखेंगें ।

बिन्दु और समतल के बीच की दूरी का सूत्र

बिन्दु और समतल के बीच की सबसे छोटी दूरी सामान्य सदिश की लंबाई के बराबर होती है जो दिए गए बिन्दु से प्रारंभ होकर समतल को छूती है। निर्देशांक $(x_{o},y_{o},z_{o})$ वाले बिन्दु $P$ और समीकरण $Ax+By+Cz=D$ वाले दिए गए समतल $\pi$ पर विचार करें। फिर, बिन्दु $P$ और समतल $\pi$ के बीच की दूरी इस प्रकार दी गई है, $\left\vert Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}+D\right\vert /{\sqrt {(A^{2}+B^{2}+C^{2})}}$।

बिन्दु और समतल के बीच की दूरी का प्रमाण

अब जब हम बिन्दु और समतल के बीच की दूरी का सूत्र जानते हैं, तो आइए हम त्रि-आयामी ज्यामिति के विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके इसका सूत्र निकालें। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में निर्देशांक $(x_{o},y_{o},z_{o})$ के साथ एक बिन्दु $P$ पर विचार करें, और सामान्य सदिश के साथ एक समतल, मान लें $v=(A,B,C)$ और समतल पर निर्देशांक $(x_{1},y_{1},z_{1})$ के साथ बिन्दु $Q$। फिर समतल का समीकरण $A(x-x_{1})+B(y-y_{1})+C(z-z_{1})=0$ द्वारा दिया जाता है। इस समीकरण को $Ax+By+Cz+(-Ax_{1}-By_{1}-Cz_{1})=0\Rightarrow Ax+By+Cz+D=0$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जहाँ $D=-(Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1})$ है। इसलिए, हमारे पास है:

समतल का समीकरण: $Ax+By+Cz+D=0$

बिन्दु $P:(x_{o},y_{o},z_{o})$

सामान्य सदिश: $Ai+Bj+Ck$

मान लीजिए कि $w$, बिन्दु $P(x_{o},y_{o},z_{o})$ और $Q(x_{1},y_{1},z_{1})$ को जोड़ने वाला सदिश है। फिर, $w=(x_{o}-x_{1},y_{o}-y_{1},z_{o}-z_{1})$। अब, इकाई सामान्य सदिश की गणना करें, यानी, 1 के बराबर परिमाण वाला सामान्य सदिश जो सामान्य सदिश $v$ को उसके परिमाण से भाग देकर प्राप्त किया जाता है। इकाई सामान्य सदिश इस प्रकार दिया जाता है,

$n=v/||v||$

$=(A,B,C)/{\sqrt {(A^{2}+B^{2}+C^{2})}}$

अब, बिन्दु $P$ और दिए गए समतल के बीच की दूरी इकाई सामान्य सदिश $n$ पर सदिश $w$ के प्रक्षेपण की लंबाई के अतिरिक्त और कुछ नहीं है। जैसा कि हम जानते हैं, सदिश $n$ की लंबाई एक के बराबर है, बिन्दु $P$ से समतल तक की दूरी सदिश $w$ और $n$ के डॉट गुणनफल का निरपेक्ष मान है, अर्थात,

दूरी, $d=|w\cdot n|$

$=|(x_{o}-x_{1},y_{o}-y_{1},z_{o}-z_{1})\cdot [(A,B,C)/{\sqrt {(A^{2}+B^{2}+C^{2})}}]|$

$=|A(x_{o}-x_{1})+B(y_{o}-y_{1})+C(z_{o}-z_{1})|/{\sqrt {(A^{2}+B^{2}+C^{2})}}$

$=|Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}-(Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1})|/{\sqrt {(A^{2}+B^{2}+C^{2})}}$

$=|Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}+D|/{\sqrt {(A^{2}+B^{2}+C^{2})}}$ [क्योंकि $D=-(Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1})$]

चूँकि निर्देशांक $(x_{1},y_{1},z_{1})$ वाला बिन्दु $Q$ दिए गए समतल पर एक मनमाना बिन्दु है और $D=-(Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1})$ है, इसलिए समतल पर किसी भी बिन्दु $Q$ के लिए सूत्र समान रहता है और इसलिए, बिन्दु $Q$ पर निर्भर नहीं करता है, यानी, बिन्दु $Q$ समतल पर जहाँ भी स्थित हो, बिन्दु और समतल के बीच की दूरी का सूत्र समान रहता है। इसलिए, बिन्दु $P(x_{o},y_{o},z_{o})$ और समतल $\pi :Ax+By+Cz+D=0$ के बीच की दूरी इस प्रकार दी गई है, $d=|Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}+D|/{\sqrt {(A^{2}+B^{2}+C^{2})}}$

बिन्दु से समतल तक की दूरी का सूत्र लागू करने की विधि

हमने एक बिन्दु से समतल तक की दूरी का सूत्र निकाला है, हम इसके अनुप्रयोग को समझने और बिन्दु और समतल के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करके एक उदाहरण हल करेंगे।

उदाहरण

उदाहरण: बिन्दु $P=(1,2,5)$ और समतल $\pi :3x+4y+z+7=0$ के बीच की दूरी निर्धारित करें

हल: हम जानते हैं कि बिन्दु और समतल के बीच की दूरी का सूत्र है: $d=|Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}+D|/{\sqrt {(A^{2}+B^{2}+C^{2})}}$

यहाँ $,A=3,B=4,C=1,D=7,x_{o}=1,y_{o}=2,z_{o}=5$

सूत्र में मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह प्राप्त होता है

$d=|Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}+D|/{\sqrt {(A^{2}+B^{2}+C^{2})}}$

$=|3\times 1+4\times 2+1\times 5+7|/{\sqrt {(3^{2}+4^{2}+1^{2})}}$

$=|3+8+5|/{\sqrt {(9+16+1)}}$

$=|16|/{\sqrt {26}}$

$=8{\sqrt {26/13}}$ इकाइयाँ

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

• बिन्दु और समतल के बीच की दूरी का सूत्र: $|Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}+D|/{\sqrt {(A^{2}+B^{2}+C^{2})}}$
• यदि दिया गया बिन्दु दिए गए समतल पर स्थित है, तो बिन्दु और समतल के बीच की दूरी शून्य है।