बेज-प्रमेय

बेयस प्रमेय, संभाव्यता और सांख्यिकी में एक प्रमेय है, जिसका नाम रेवरेंड थॉमस बेयस के नाम पर रखा गया है, जो किसी घटना की संभावना निर्धारित करने में मदद करता है जो पहले से घटित किसी घटना पर आधारित होती है। बेयस नियम के कई अनुप्रयोग हैं जैसे कि स्वास्थ्य सेवा क्षेत्र में बेयसियन हस्तक्षेप - उम्र बढ़ने के साथ स्वास्थ्य समस्याओं के विकसित होने की संभावना निर्धारित करने के लिए और कई अन्य।

बेयस प्रमेय P(A | B) खोजने पर आधारित है जब P(B | A) दिया गया हो। यहाँ, हम उदाहरणों की मदद से घटनाओं की संभावना, उसके कथन, सूत्र और व्युत्पत्ति को निर्धारित करने में बेयस नियम के उपयोग को समझने का लक्ष्य रखेंगे।

बेयस प्रमेय क्या है?

बेयस प्रमेय, सरल शब्दों में, घटना A की सशर्त संभावना निर्धारित करता है, बशर्ते कि घटना B पहले ही निम्नलिखित के आधार पर घटित हो चुकी हो:

• A दिए जाने पर B की संभावना
• A की संभावना
• B की संभावना

बेयस नियम, पिछली घटनाओं के घटित होने के आधार पर किसी घटना की संभावना निर्धारित करने की एक विधि है। इसका उपयोग सशर्त संभावना की गणना करने के लिए किया जाता है। बेयस प्रमेय परिकल्पना के आधार पर संभावना की गणना करता है। अब, आइए बेयस प्रमेय को बताएं और सिद्ध करें। बेयस नियम बताता है कि किसी घटना A की सशर्त संभावना, किसी अन्य घटना B के घटित होने पर, B की संभावना, A दिए जाने पर और A की संभावना को B की संभावना से विभाजित करने के गुणनफल के बराबर होती है। इसे इस प्रकार दिया गया है:

P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B)

यहाँ, P(A) = A के घटित होने की कितनी संभावना है (पूर्व ज्ञान) - किसी भी साक्ष्य के मौजूद होने से पहले परिकल्पना के सत्य होने की संभावना।

P(B) = B के घटित होने की कितनी संभावना है (सीमांतकरण) - साक्ष्य को देखने की संभावना।

P(A|B) = A के घटित होने की कितनी संभावना है, बशर्ते कि B घटित हो चुका हो (पश्चात्) - साक्ष्य को देखते हुए परिकल्पना के सत्य होने की संभावना।

P(B|A) = B के घटित होने की कितनी संभावना है, बशर्ते कि A घटित हो चुका हो (संभावना) - परिकल्पना के सत्य होने पर साक्ष्य को देखने की संभावना।

बेयस प्रमेय - कथन

बेयस प्रमेय का कथन इस प्रकार है: मान लें कि E1,E2,E3,...,En एक नमूना स्थान S से जुड़ी घटनाओं का एक समूह है, जहाँ सभी घटनाओं E1,E2,E3,...,En की घटना की गैर-शून्य संभावना है और वे S का एक विभाजन बनाते हैं। मान लें कि A कोई भी घटना है जो

E1 या E2 या E3... या En के साथ होती है, तो बेयस प्रमेय के अनुसार,

P(Ei|A)=P(Ei)P(A|Ei)∑nk=1P(Ek)P(A|Ek),i=1,2,3,...,n

यहाँ E

i ∩ Ej = φ, जहाँ i ≠ j. (यानी) वे परस्पर संपूर्ण घटनाएँ हैं

विभाजन की सभी घटनाओं के मिलन से नमूना स्थान प्राप्त होना चाहिए।

0 ≤ P(Ei) ≤ 1

बेयस प्रमेय सूत्र

बेयस सूत्र घटनाओं और यादृच्छिक चर के लिए मौजूद है। बेयस प्रमेय सूत्र सशर्त संभाव्यता की परिभाषा से प्राप्त होते हैं। इसे घटनाओं A और B के साथ-साथ निरंतर यादृच्छिक चर X और Y के लिए भी प्राप्त किया जा सकता है। आइए सबसे पहले घटनाओं के लिए सूत्र देखें।

घटनाओं के लिए बेयस प्रमेय सूत्र

सशर्त संभाव्यता की परिभाषा से प्राप्त घटनाओं के लिए सूत्र है:

P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B),P(B)≠0

Derivation:

According to the definition of conditional probability, P(A|B)=P(A∩B)P(B),P(B)≠0 and we know that P(A∩B)=P(B∩A)=P(B|A)P(A), which implies,

P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B)

Hence, the Bayes theorem formula for events is derived.

बेयस नियम पर महत्वपूर्ण नोट्स:

बेयस प्रमेय का उपयोग सशर्त संभाव्यता निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

जब दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र होती हैं, तो P(A|B) = P(A) और P(B|A) = P(B)

सतत यादृच्छिक चर के लिए बेयस प्रमेय का उपयोग करके सशर्त संभाव्यता की गणना की जा सकती है।