आव्यूहों का अंतर: Difference between revisions

Latest revision as of 21:55, 29 November 2024

आव्यूहों का अंतर दो या अधिक आव्यूहों के संगत तत्वों के घटाव को संदर्भित करता है। आव्यूह के आंकड़ों को पंक्तियों और स्तंभों के रूप में व्यवस्थित करने के लिए एक गणितीय प्रारूप है। आव्यूहों का अंतर तत्वानुसार आव्यूहों अंतर के माध्यम से किया जा सकता है। आव्यूहों पर अलग-अलग संचालन लागू किए जा सकते हैं जैसे जोड़, घटाव और गुणा। इस लेख में, हम मुख्य रूप से आव्यूह के अंतर के संचालन पर ध्यान केंद्रित करेंगे। आव्यूह का अंतर आव्यूह के संगत तत्वों को घटाने की एक प्रक्रिया है। आव्यूह का अंतर आव्यूह के जोड़ के समान तरीके से किया जाता है। आव्यूह जोड़ की बाधाएँ आव्यूह अंतर के लिए भी लागू होती हैं। आव्यूह का अंतर मात्र समान आकार के आव्यूह के लिए परिभाषित किया गया है। आइए उदाहरणों का उपयोग करके अवधारणा का विस्तार से पता लगाएं।

परिभाषा

आव्यूहों का अंतर एक ही कोटी के आव्यूहों के तत्वानुसार अंतर का एक संचालन है, यानी, ऐसे आव्यूहों जिनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है। यदि किसी आव्यूह में क्षैतिज पंक्तियों की संख्या ' $m$ ' है और ऊर्ध्वाधर स्तंभों की संख्या ' $n$ ' है, तो आव्यूह को ' $m\times n$ ' आयाम वाला कहा जाता है। आव्यूहों के अंतर के लिए, घटाए जाने वाले आव्यूहों का उसी आयाम का होना आवश्यक है, जिस आयाम में हम आव्यूहों के संगत तत्वों को घटाते हैं।

आव्यूहों का अंतर अर्थ आव्यूहों का अंतर या आव्यूह अंतर केवल तभी संभव हो सकता है जब दोनों आव्यूहों की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान हो। दो आव्यूहों को घटाते समय, हम प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ के तत्वों को दूसरे आव्यूह की पंक्ति और स्तंभ के संगत तत्वों से घटाते हैं। एक ही कोटी ' $m\times n$ ' के दो आव्यूहों $A$ और $B$ पर विचार करें, जहाँ $m$ पंक्तियों की संख्या है और $n$ दो आव्यूहों के स्तंभों की संख्या है, जिन्हें $A=[a_{ij}]$ और $B=[b_{ij}]$ के रूप में दर्शाया गया है। अब, दो आव्यूहों $A$ और $B$ का अंतर इस प्रकार दिया गया है: $A-B=[a_{ij}]-[b_{ij}]=[a_{ij}-b_{ij}],$ जहाँ $ij$ , $i$ th पंक्ति और $j$ th स्तंभ में प्रत्येक तत्व की स्थिति को दर्शाता है। अंतर आव्यूह का आयाम, अर्थात $A-B$ भी ' $m\times n$ ' है।

$={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&..&..&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&..&..&a_{2n}\\:&:&:&..&..&:\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&..&..&a_{mn}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}&..&..&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}&..&..&b_{2n}\\:&:&:&..&..&:\\b_{m1}&b_{m2}&b_{m3}&..&..&b_{mn}\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}&a_{13}-b_{13}&..&..&a_{1n}-b_{1n}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}&a_{23}-b_{23}&..&..&a_{2n}-b_{2n}\\:&:&:&..&..&:\\a_{m1}-b_{m1}&a_{m2}-b_{m2}&a_{m3}-b_{m3}&..&..&a_{mn}-b_{mn}\end{bmatrix}}$

2 × 2 कोटी के आव्यूहों का अंतर

जैसा कि हम जानते हैं कि आव्यूहों का अंतर तभी संभव है जब आव्यूहों में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर हो, इसलिए, $2\times 2$ कोटी के आव्यूहों के अंतर के लिए, आव्यूहों में $2$ पंक्तियाँ और $2$ स्तंभ होने चाहिए। अब, $2\times 2$ आयाम वाले दो आव्यूह $A$ और $B$ पर विचार करें। $A$ से $B$ को घटाने के लिए, हम $B$ के तत्वों को $A$ के संगत तत्वों से घटाएँगे। $A$ (कोटी $2\times 2$ ) से $B$ को घटाने का सामान्य रूप है:

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}$ और $B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}$

$A-B={\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}\end{bmatrix}}$

$2\times 2$ आयाम के आव्यूह अंतर की अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए दो आव्यूह $A$ और $B$ का उदाहरण लें, और $A$ से $B$ घटाएं।

$A={\begin{bmatrix}12&-3\\2&15\end{bmatrix}}$ और $B={\begin{bmatrix}6&1\\11&-8\end{bmatrix}}$

$A-B={\begin{bmatrix}12-6&-3-1\\2-11&15-(-8))\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&-4\\-9&23\end{bmatrix}}$

3 × 3 कोटी के आव्यूहों का अंतर

$3\times 3$ आव्यूहों का आव्यूह अंतर का तात्पर्य है कि एक दूसरे से घटाए जाने वाले आव्यूहों में $3$ पंक्तियाँ और $3$ स्तंभ हैं। आव्यूहों घटाते समय, हम एक आव्यूहके तत्वों को दूसरे आव्यूह के संगत तत्वों से घटाते हैं। $3\times 3$ कोटी के आव्यूहों $A$ और $B$ के अंतर का सामान्य रूप है:

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$ और $A={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}}$

$A-B={\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}&a_{13}-b_{13}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}&a_{23}-b_{23}\\a_{31}-b_{31}&a_{32}-b_{32}&a_{33}-b_{33}\end{bmatrix}}$

यहाँ ध्यान देंने कि आवश्यकता है की आव्यूहों के अंतर के लिए आव्यूहों का वर्गाकार आव्यूहों होना आवश्यक नहीं है। यदि आव्यूहों का कोटी समान है, तो आयताकार आव्यूहों का आव्यूह अंतर भी परिभाषित किया जाता है।

आव्यूह अंतर के गुणधर्म

आव्यूह के योग के लिए सभी प्रतिबंध आव्यूह के अंतर पर भी लागू होते हैं। लेकिन कुछ ऐसे नियम हैं जिनका आव्यूह अंतर संख्याओं के अंतर की तरह पालन नहीं करता है। आव्यूह के अंतर के लिए इन सभी गुणों को धारण करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण आवश्यकता यह है कि आव्यूह अंतर केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब आव्यूह का कोटी समान हो।

आव्यूह अंतर के लिए पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होनी चाहिए।
आव्यूह का अंतर क्रमविनिमेय नहीं है, अर्थात $A-B\neq B-A$
आव्यूह का अंतर साहचर्य नहीं है, अर्थात $(A-B)-C\neq A-(B-C)$
आव्यूह को स्वयं से घटाने पर एक शून्य आव्यूह प्राप्त होता है, अर्थात $A-A=O$ ।
आव्यूह का अंतर एक आव्यूह के ऋणात्मक को दूसरे आव्यू हमें जोड़ना है, अर्थात $A-B=A+(-B)$ ।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

आव्यूह का अंतर मात्र तभी संभव है जब आव्यूह का आयाम समान हो।
आव्यूह का अंतर क्रमविनिमेय और साहचर्य नहीं है।
आव्यूह अंतर के लिए हम आव्यूह के संगत तत्वों को घटाते हैं।

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-Difference of  matrices
+आव्यूहों का अंतर दो या अधिक आव्यूहों के संगत तत्वों के घटाव को संदर्भित करता है। आव्यूह के [[आंकड़े|आंकड़ों]] को पंक्तियों और स्तंभों के रूप में व्यवस्थित करने के लिए एक गणितीय प्रारूप है। आव्यूहों का अंतर तत्वानुसार आव्यूहों अंतर के माध्यम से किया जा सकता है। आव्यूहों पर अलग-अलग संचालन लागू किए जा सकते हैं जैसे जोड़, घटाव और गुणा। इस लेख में, हम मुख्य रूप से आव्यूह के अंतर के संचालन पर ध्यान केंद्रित करेंगे। आव्यूह का अंतर आव्यूह के संगत तत्वों को घटाने की एक प्रक्रिया है। आव्यूह का अंतर आव्यूह के जोड़ के समान तरीके से किया जाता है। आव्यूह जोड़ की बाधाएँ आव्यूह अंतर के लिए भी लागू होती हैं। [[आव्यूह की कोटि|आव्यूह]] का अंतर मात्र समान आकार के आव्यूह के लिए परिभाषित किया गया है। आइए उदाहरणों का उपयोग करके अवधारणा का विस्तार से पता लगाएं।
-[[Category:गणित]]
-[[Category:रैखिक बीजगणित]]
+== परिभाषा ==
+आव्यूहों का अंतर एक ही कोटी  के आव्यूहों के तत्वानुसार अंतर का एक संचालन है, यानी, ऐसे आव्यूहों  जिनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है। यदि किसी आव्यूह में क्षैतिज पंक्तियों की संख्या '<math>m</math>' है और ऊर्ध्वाधर स्तंभों की संख्या '<math>n</math>' है, तो आव्यूह को '<math>m \times n</math>' आयाम वाला कहा जाता है। आव्यूहों  के अंतर के लिए, घटाए जाने वाले आव्यूहों  का उसी आयाम का होना आवश्यक है, जिस आयाम में हम आव्यूहों  के संगत तत्वों को घटाते हैं।
+आव्यूहों  का अंतर अर्थ आव्यूहों  का अंतर या आव्यूह अंतर केवल तभी संभव हो सकता है जब दोनों आव्यूहों  की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान हो। दो आव्यूहों  को घटाते समय, हम प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ के तत्वों को दूसरे आव्यूह की पंक्ति और स्तंभ के संगत तत्वों से घटाते हैं। एक ही कोटी  '<math>m \times n</math>' के दो आव्यूहों   <math>A</math> और <math>B</math> पर विचार करें, जहाँ <math>m</math> पंक्तियों की संख्या है और <math>n</math> दो आव्यूहों  के स्तंभों की संख्या है, जिन्हें <math>A = [a_{ij}]</math> और <math>B = [b_{ij}]</math> के रूप में दर्शाया गया है। अब, दो आव्यूहों <math>A</math> और <math>B</math> का अंतर इस प्रकार दिया गया है: <math>A - B = [a_{ij}] - [b_{ij}] = [a_{ij} - b_{ij}],</math>जहाँ <math>ij</math> ,  <math>i</math>th पंक्ति और <math>j</math>th स्तंभ में प्रत्येक तत्व की स्थिति को दर्शाता है। अंतर आव्यूह का आयाम, अर्थात <math>A - B</math> भी '<math>m \times n</math>' है।
+<math>=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}&..&..&a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}&a_{23}&..&..&a_{2n} \\:&:&:&..&..&: \\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&..&..&a_{mn}\end{bmatrix}- \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13}&..&..&b_{1n} \\ b_{21} & b_{22}&b_{23}&..&..&b_{2n} \\:&:&:&..&..&: \\ b_{m1}&b_{m2}&b_{m3}&..&..&b_{mn}\end{bmatrix}
+</math>
+<math>=\begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & a_{13}-b_{13}&..&..&a_{1n}-b_{1n} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22}&a_{23}-b_{23}&..&..&a_{2n}-b_{2n} \\:&:&:&..&..&: \\ a_{m1}-b_{m1}&a_{m2}-b_{m2}&a_{m3}-b_{m3}&..&..&a_{mn}-b_{mn}\end{bmatrix}
+</math>
+== 2 × 2 कोटी  के आव्यूहों का अंतर ==
+जैसा कि हम जानते हैं कि आव्यूहों का अंतर तभी संभव है जब आव्यूहों में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर हो, इसलिए, <math>2 \times 2</math> कोटी  के आव्यूहों के अंतर के लिए, आव्यूहों में <math>2 </math> पंक्तियाँ और <math>2 </math> स्तंभ होने चाहिए। अब, <math>2 \times 2</math> आयाम वाले दो आव्यूह <math>A</math> और <math>B</math> पर विचार करें। <math>A</math> से <math>B</math> को घटाने के लिए, हम <math>B</math> के तत्वों को <math>A</math> के संगत तत्वों से घटाएँगे। <math>A</math> (कोटी  <math>2 \times 2</math>) से <math>B</math> को घटाने का सामान्य रूप है:
+<math>A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}</math> और   <math>B=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}</math>
+<math>A-B=\begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} \end{bmatrix}</math>
+<math>2 \times 2</math> आयाम के आव्यूह अंतर की अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए दो आव्यूह  <math>A</math> और <math>B</math> का उदाहरण लें, और  <math>A</math> से <math>B</math> घटाएं।
+<math>A=\begin{bmatrix} 12 & -3 \\ 2 & 15 \end{bmatrix}</math>  और     <math>B=\begin{bmatrix} 6 & 1 \\ 11 & -8 \end{bmatrix}</math>
+<math>A-B=\begin{bmatrix} 12-6 & -3-1 \\ 2-11 & 15-(-8)) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ -9 & 23 \end{bmatrix}</math>
+== 3 × 3 कोटी  के आव्यूहों  का अंतर ==
+<math>3  \times 3 </math> आव्यूहों  का आव्यूह अंतर का तात्पर्य है कि एक दूसरे से घटाए जाने वाले आव्यूहों  में <math>3 </math> पंक्तियाँ और <math>3 </math> स्तंभ हैं। आव्यूहों  घटाते समय, हम एक आव्यूहके तत्वों को दूसरे आव्यूह के संगत तत्वों से घटाते हैं। <math>3  \times 3 </math> कोटी  के आव्यूहों  <math>A</math> और <math>B</math>  के अंतर का सामान्य रूप है:
+<math>A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13}\\ a_{21} & a_{22}& a_{23} \\ a_{31} & a_{32} &a_{33}\end{bmatrix}</math>  और   <math>A=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} &b_{13}\\ b_{21} & b_{22}& b_{23} \\ b_{31} & b_{32} &b_{33}\end{bmatrix}</math>
+<math>A-B=\begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & a_{13}-b_{13}\\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & a_{23}-b_{23} \\ a_{31}-b_{31} & a_{32}-b_{32} & a_{33}-b_{33}\end{bmatrix}</math>
+यहाँ ध्यान देंने  कि आवश्यकता है की आव्यूहों  के अंतर के लिए आव्यूहों  का वर्गाकार आव्यूहों  होना आवश्यक नहीं है। यदि आव्यूहों  का कोटी  समान है, तो आयताकार आव्यूहों  का आव्यूह अंतर भी परिभाषित किया जाता है।
+== आव्यूह अंतर के गुणधर्म ==
+आव्यूह के योग के लिए सभी प्रतिबंध आव्यूह के अंतर पर भी लागू होते हैं। लेकिन कुछ ऐसे नियम हैं जिनका आव्यूह अंतर संख्याओं के अंतर की तरह पालन नहीं करता है। आव्यूह के अंतर के लिए इन सभी गुणों को धारण करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण आवश्यकता यह है कि आव्यूह अंतर केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब आव्यूह का कोटी  समान हो।
+* आव्यूह अंतर के लिए पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होनी चाहिए।
+* आव्यूह का अंतर क्रमविनिमेय नहीं है, अर्थात <math>A - B \neq B - A</math>
+* आव्यूह का अंतर साहचर्य नहीं है, अर्थात <math>(A - B) - C \neq A - (B - C)</math>
+* आव्यूह को स्वयं से घटाने पर एक शून्य आव्यूह प्राप्त होता है, अर्थात <math>A - A = O</math> ।
+* आव्यूह का अंतर एक आव्यूह के ऋणात्मक को दूसरे आव्यू हमें जोड़ना है, अर्थात <math>A - B = A + (-B)</math>।
+== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
+* आव्यूह का अंतर मात्र तभी संभव है जब आव्यूह का आयाम समान हो।
+* आव्यूह का अंतर क्रमविनिमेय और साहचर्य नहीं है।
+* आव्यूह अंतर के लिए हम आव्यूह के संगत तत्वों को घटाते हैं।
+[[Category:आव्यूह]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]