प्रकीर्णन की माप: Difference between revisions

Latest revision as of 16:26, 25 November 2024

प्रकीर्णन, बिखरा हुआ होने या फैला हुआ होने की स्थिति है। सांख्यिकीय प्रकीर्णन का मतलब है कि संख्यात्मक आँकडों की किस सीमा तक औसत मूल्य के बारे में भिन्न होने की संभावना है। दूसरे शब्दों में, प्रकीर्णन, आँकडों के वितरण को समझने में सहायता करता है।

प्रकीर्णन की माप, गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जो किसी केंद्रीय मान के बारे में आँकडों के प्रसार को मापने में सहायता करते हैं। ये माप, यह निर्धारित करने में सहायता करते हैं कि दिया गया आँकडा कितना प्रकीर्णन हुआ है या खींचा हुआ है। प्रकीर्णन के पाँच सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले माप हैं। ये हैं परिसर, प्रसरण , मानक विचलन, माध्य विचलन और चतुर्थक विचलन।

प्रकीर्णन के माप का सबसे महत्वपूर्ण उपयोग यह है कि वे आँकडों के वितरण को समझने में सहायता करते हैं। जैसे-जैसे आँकडा अधिक विविध होता जाता है, प्रकीर्णन के माप का मान बढ़ता जाता है। इस लेख में, हम प्रकीर्णन के माप , उनके प्रकारों और उदाहरणों के साथ-साथ इन माप से संबंधित विभिन्न महत्वपूर्ण पहलुओं के बारे में जानेंगे।

परिचय

प्रकीर्णन के माप, आँकडों में परिवर्तनशीलता का वर्णन करने में सहायताकरते हैं। प्रकीर्णन एक सांख्यिकीय शब्द है जिसका उपयोग यह वर्णन करने के लिए किया जा सकता है कि आँकडें किस हद तक बिखरा हुआ है। इस प्रकार, प्रकीर्णन के माप कुछ प्रकार के माप हैं जिनका उपयोग आँकडों के प्रकीर्णन को मापने के लिए किया जाता है।

प्रकीर्णन की माप

परिभाषा

प्रकीर्णन के माप को सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो मापते हैं कि दिया गया आँकडें कितना समरूप या विषम है। यदि आँकडों के समुच्चय में आँकडें बिंदु समान हैं, तो प्रकीर्णन के माप का मान $0$ होगा। हालाँकि, जैसे-जैसे आँकडों की परिवर्तनशीलता बढ़ती है, प्रकीर्णन के माप का मान भी बढ़ता है

उदाहरण

उदाहरण 1: मान लीजिए हमारे पास दो आँकडों के समुच्चय $A=\{3,1,6,2\}$ और $B=\{{1,5,9,10}\}$ हैं। $A$ का विचरण (जनसंख्या) $3.5$ है और $B$ का विचरण (जनसंख्या) $12.68$ है। इसका मतलब है कि आँकडों के समुच्चय $B$ , आँकडों के समुच्चय $A$ से अधिक परिवर्तनशील है।

इस प्रकार, विचरण परिवर्तनशीलता के आधार पर दो आँकडों के समुच्चय $A$ और $B$ के बीच तुलना करने में सहायता करता है।

उदाहरण 2: निम्नलिखित संख्याओं का विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें: $1,3,5,5,6,7,9,10$ ।

समाधान: माध्य $={\frac {(1+3+5+5+6+7+9+10)}{8}}={\frac {46}{8}}=5.75$

चरण 1: माध्य मान को व्यक्तिगत मान से घटाएँ

$(1-5.75),(3-5.75),(5-5.75),(5-5.75),(6-5.75),(7-5.75),(9-5.75),(10-5.75)$

$=-4.75,-2.75,-0.75,-0.75,0.25,1.25,3.25,4.25$

चरण 2: उपरोक्त मानों का वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है, $22.563,7.563,0.563,0.563,0.063,1.563,10.563,18.063$

चरण 3: $22.563+7.563+0.563+0.563+0.063+1.563+10.563+18.063$

$=61.504$

चरण 4: n = 8, $n=8,$ इसलिए विचरण $(\sigma ^{2})={\frac {61.504}{8}}=7.69$

अब, मानक विचलन $(\sigma )=2.77$

प्रकीर्णन के माप के प्रकार

प्रकीर्णन के माप को दो व्यापक श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है। ये प्रकीर्णन के निरपेक्ष माप और प्रकीर्णन के सापेक्ष माप हैं। परिसर, प्रसरण , मानक विचलन, माध्य विचलन और चतुर्थक विचलन, विचलन के निरपेक्ष माप की श्रेणी में आते हैं। इन मापों की इकाई वही होती है जिसकी जांच की जा रही आँकडें होते है। प्रकीर्णन के गुणांक विचलन के सापेक्ष माप हैं। ऐसे प्रकीर्णन माप सदैव आयामहीन होते हैं।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

प्रकीर्णन के मापों का उपयोग आँकडों के प्रसार को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। उन्हें एक केंद्रीय मान के बारे में मापा जाता है।
प्रकीर्णन के मापों को दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है, यानी प्रकीर्णन के निरपेक्ष और सापेक्ष माप।
विचलन के निरपेक्ष मापों की इकाइयाँ आँकडों के समान होती हैं और सापेक्ष माप इकाई रहित होते हैं।
परिसर, प्रसरण , मानक विचलन, माध्य विचलन और चतुर्थक विचलन, विचलन के निरपेक्ष माप हैं।
प्रकीर्णन के गुणांक विचलन के सापेक्ष माप हैं।

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-Measures of Dispersion
+प्रकीर्णन, बिखरा हुआ होने या फैला हुआ होने की स्थिति है। सांख्यिकीय प्रकीर्णन का मतलब है कि संख्यात्मक आँकडों की किस सीमा तक औसत मूल्य के बारे में भिन्न होने की संभावना है। दूसरे शब्दों में, प्रकीर्णन, आँकडों के वितरण को समझने में सहायता करता है।
-[[Category:गणित]]
-[[Category:अनुप्रयुक्त गणित]]
+प्रकीर्णन की माप, गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जो किसी केंद्रीय मान के बारे में आँकडों के प्रसार को मापने में सहायता करते हैं। ये माप, यह निर्धारित करने में सहायता करते हैं कि दिया गया आँकडा  कितना प्रकीर्णन हुआ है या खींचा हुआ है। प्रकीर्णन के पाँच सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले माप हैं। ये हैं [[परिसर]], प्रसरण , मानक विचलन, [[माध्य विचलन]] और चतुर्थक विचलन।
-[[Category:सांख्यिकी]][[Category: कक्षा-11]]
+प्रकीर्णन के माप का सबसे महत्वपूर्ण उपयोग यह है कि वे आँकडों के वितरण को समझने में सहायता करते हैं। जैसे-जैसे आँकडा अधिक विविध होता जाता है, प्रकीर्णन  के माप का मान बढ़ता जाता है। इस लेख में, हम प्रकीर्णन के माप , उनके प्रकारों और उदाहरणों के साथ-साथ इन माप से संबंधित विभिन्न महत्वपूर्ण पहलुओं के बारे में जानेंगे।
+== परिचय ==
+प्रकीर्णन के माप, आँकडों में परिवर्तनशीलता का वर्णन करने में सहायताकरते हैं। प्रकीर्णन एक सांख्यिकीय शब्द है जिसका उपयोग यह वर्णन करने के लिए किया जा सकता है कि आँकडें किस हद तक बिखरा हुआ है। इस प्रकार, प्रकीर्णन  के माप कुछ प्रकार के माप हैं जिनका उपयोग आँकडों के प्रकीर्णन को मापने के लिए किया जाता है।
+[[File:प्रकीर्णन की माप.jpg|thumb|प्रकीर्णन की माप]]
+== परिभाषा ==
+प्रकीर्णन  के माप को सकारात्मक [[वास्तविक संख्याएँ|वास्तविक संख्याओं]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो मापते हैं कि दिया गया आँकडें कितना समरूप या विषम है। यदि [[आँकड़ों का संग्रह|आँकडों]] के समुच्चय में आँकडें बिंदु समान हैं, तो प्रकीर्णन  के माप का मान <math>0 </math> होगा। हालाँकि, जैसे-जैसे आँकडों की परिवर्तनशीलता बढ़ती है, प्रकीर्णन के माप का मान भी बढ़ता है
+== उदाहरण ==
+'''उदाहरण 1''': मान लीजिए हमारे पास दो आँकडों के समुच्चय <math>A = \{3, 1, 6, 2\}</math> और <math>B = \{{1, 5, 9, 10}\}</math>हैं। <math>A</math> का विचरण (जनसंख्या) <math>3.5</math> है और <math>B</math> का विचरण (जनसंख्या) <math>12.68</math>है। इसका मतलब है कि आँकडों के समुच्चय <math>B</math>, आँकडों के समुच्चय  <math>A</math> से अधिक परिवर्तनशील है।
+इस प्रकार, विचरण परिवर्तनशीलता के आधार पर दो आँकडों के समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> के बीच तुलना करने में सहायता करता है।
+'''उदाहरण 2''': निम्नलिखित संख्याओं का विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें: <math>1, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 10</math> ।
+समाधान: माध्य <math>= \frac{ (1+ 3+ 5+ 5+ 6+ 7+ 9+ 10)}{8} =  \frac{46}{8} = 5.75</math>
+चरण 1: माध्य मान को व्यक्तिगत मान से घटाएँ
+<math>(1 - 5.75), (3 -5.75), (5 -5.75), (5 -5.75), (6-5.75), (7- 5.75), (9- 5.75), (10 -5.75)
+</math>
+<math>= -4.75, -2.75, -0.75, -0.75, 0.25, 1.25, 3.25, 4.25</math>
+चरण 2: उपरोक्त मानों का वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है, <math>22.563, 7.563, 0.563, 0.563, 0.063, 1.563, 10.563, 18.063</math>
+चरण 3:  <math>22.563 + 7.563 + 0.563 + 0.563 + 0.063 + 1.563 + 10.563 + 18.063
+</math>
+<math>= 61.504</math>
+चरण 4: n = 8,<math>n = 8,</math> इसलिए विचरण <math>(\sigma^2) =  \frac{61.504}{8} = 7.69</math>
+अब, मानक विचलन <math>(\sigma) = 2.77</math>
+== प्रकीर्णन के माप के  प्रकार ==
+प्रकीर्णन  के माप को दो व्यापक श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है। ये प्रकीर्णन के निरपेक्ष माप और प्रकीर्णन  के सापेक्ष माप हैं। परिसर, प्रसरण , मानक विचलन, माध्य विचलन और चतुर्थक विचलन, विचलन के निरपेक्ष माप की श्रेणी में आते हैं। इन मापों की इकाई वही होती है जिसकी जांच की जा रही आँकडें होते  है। प्रकीर्णन  के गुणांक विचलन के सापेक्ष माप हैं। ऐसे प्रकीर्णन  माप सदैव आयामहीन होते हैं।
+== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
+* प्रकीर्णन के मापों का उपयोग आँकडों के प्रसार को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। उन्हें एक केंद्रीय मान के बारे में मापा जाता है।
+* प्रकीर्णन के मापों को दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है, यानी प्रकीर्णन के निरपेक्ष और सापेक्ष माप।
+* विचलन के निरपेक्ष मापों की इकाइयाँ आँकडों के समान होती हैं और सापेक्ष माप इकाई रहित होते हैं।
+* परिसर, प्रसरण , मानक विचलन, माध्य विचलन और चतुर्थक विचलन, विचलन के निरपेक्ष माप हैं।
+* प्रकीर्णन  के गुणांक विचलन के सापेक्ष माप हैं।
+[[Category:सांख्यिकी]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]