एक लम्ब वृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल

शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसकी सतह द्वारा कवर किया गया कुल क्षेत्रफल है। कुल पृष्ठीय क्षेत्र शंकु के आधार क्षेत्र और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्र को कवर करेगा। शंकु को एक त्रि-आयामी ठोस संरचना के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका आधार वृत्तीय है। एक शंकु को गैर-सर्वांगसम वृत्ताकार डिस्क के एक समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है जो एक दूसरे के ऊपर इस तरह रखे जाते हैं कि आसन्न डिस्क की त्रिज्या का अनुपात स्थिर रहता है।

चित्र-1 लम्ब वृत्तीय शंकु

चित्र-1 में दर्शाए गए लम्ब वृत्तीय शंकु में शीर्ष पर एक शीर्ष, $r$ आधार त्रिज्या, $h$ शंकु की ऊंचाई तथा $l$ शंकु की तिर्यक ऊंचाई है।

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = ${\frac {1}{2}}\times l\times 2\pi r=\pi rl$

यहाँ $r$ आधार त्रिज्या, $l$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई है।

साथ ही $l^{2}=r^{2}+h^{2}$ पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर। यहाँ $h$ शंकु की ऊँचाई है।

अतः, $l={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$

शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi rl+\pi r^{2}=\pi r(l+r)$

उदाहरण

1. एक लम्ब वृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी तिर्यक ऊँचाई 10 सेमी तथा आधार त्रिज्या 7 सेमी है।

हल:

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi rl$

= ${\frac {22}{7}}\times 7\times 10=220$ cm²

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi r(l+r)$

=${\frac {22}{7}}\times 7\times (10+7)=374$ cm²