फेसर आरेख

Phasor diagram

भौतिकी में, कई प्रणालियाँ आवधिक दोलनों से गुजरती हैं, जैसे कि एक झूलता हुआ पेंडुलम, एक सर्किट में एक प्रत्यावर्ती धारा (एसी), या यहां तक ​​कि यांत्रिक प्रणालियों में कंपन। फ़ेज़र आरेख एक उपकरण है जिसका उपयोग ऐसे दोलनों के विश्लेषण को सरल बनाने के लिए किया जाता है, विशेष रूप से वे जिनमें साइनसॉइडल (साइन या कोसाइन) फ़ंक्शन शामिल होते हैं। वे हमें विभिन्न मात्राओं, जैसे आयाम, चरण और समय के बीच संबंध को संक्षिप्त और ज्यामितीय तरीके से देखने में मदद करते हैं।

गणितीय पृष्ठभूमि

समय का एक साइनसोइडल फ़ंक्शन , जो आवधिक घटनाओं की एक विस्तृत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व कर सकता है:

$f(t)=A\cdot cos(\omega t+\phi )$

• A दोलन का आयाम है।
• ω कोणीय आवृत्ति है, जो आवृत्ति (f) से ω=2πf, द्वारा संबंधित है
• t समय का प्रतिनिधित्व करता है.
• ϕ चरण कोण है

चरण प्रतिनिधित्व

फ़ेज़र एक जटिल संख्या है जो एक साइनसॉइडल फ़ंक्शन के आयाम और चरण को पकड़ती है। यह हमें जटिल तल में एक स्थिर वेक्टर के रूप में समय-निर्भर साइनसॉइडल फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देकर विश्लेषण को सरल बनाता है। चरण की लंबाई आयाम का प्रतिनिधित्व करती है, और संदर्भ अक्ष के साथ इसका कोण चरण कोण से मेल खाता है।

आइए चरण ${\boldsymbol {A}}$ (एक जटिल संख्या) को इस प्रकार निरूपित करें :

${\boldsymbol {A}}=A\cdot e^{i\phi }$

यहाँ, $i$ काल्पनिक इकाई है ($i^{2}=-1$)

चरण आरेख

चरण आरेख में, चरण का प्रतिनिधित्व करते हैं

A जटिल तल में एक तीर के रूप में। क्षैतिज अक्ष वास्तविक भाग का प्रतिनिधित्व करता है, और ऊर्ध्वाधर अक्ष सम्मिश्र संख्या के काल्पनिक भाग का प्रतिनिधित्व करता है।

क्षैतिज अक्ष वास्तविक भाग का प्रतिनिधित्व करता है, और ऊर्ध्वाधर अक्ष सम्मिश्र संख्या के काल्पनिक भाग का प्रतिनिधित्व करता है।

1. तीर की लंबाई दोलन के आयाम, A को दर्शाती है।
2. तीर और वास्तविक अक्ष के बीच का कोण ϕ, चरण कोण को दर्शाता है।

जैसे-जैसे समय बढ़ता है, चरण जटिल तल में वामावर्त घूमता है। घूर्णन की दर कोणीय आवृत्ति ω द्वारा निर्धारित होती है।

अनुप्रयोग

एसी सर्किट विश्लेषण में फेज़र आरेखों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इस संदर्भ में, चरणबद्ध प्रतिनिधित्व वोल्टेज और धाराओं के विश्लेषण को सरल बनाता है जो समय के साथ साइनसॉइडल रूप से भिन्न होते हैं। चरणों के साथ गणना करके, आप समय-निर्भर त्रिकोणमितीय कार्यों से निपटने के बिना सर्किट में आयाम, चरण और बाधाओं के बीच संबंध पा सकते हैं।

संक्षेप में

एक चरण आरेख दोलन संबंधी घटनाओं को देखने और उनका विश्लेषण करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है, जो जटिल गणनाओं को जटिल विमान में ज्यामितीय संचालन में परिवर्तित करके अधिक सहज और प्रबंधनीय बनाता है।