अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भ्रमण: Difference between revisions

Latest revision as of 13:21, 10 October 2023

एक संख्या $x$ को अपरिमेय संख्या कहा जाता है , यदि हम इसे ${\frac {p}{q}}$ के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं , जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं एवं $q\neq 0$ हैं ।

उदाहरण : ${\sqrt {2}}$ , ${\sqrt {3}}$ , ${\sqrt {7}}$ , $\pi$ , $0.10110111011110.....$ आदि अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं ।

इस इकाई में हम सिद्ध करेंगे कि ${\sqrt {p}}$ अपरिमेय संख्या है , जहाँ $p$ एक अभाज्य संख्या है। हम अपने प्रमाण में अंकगणित की मौलिक प्रमेय का उपयोग करेंगे । इससे पूर्व हमें प्रमेय की आवश्यकता होगी आइए उसके बारे में जानते हैं ।

अपरिमेय संख्याओं के गुण

अपरिमेय संख्याओं के गुण^[1] निम्नलिखित हैं ;

वे वास्तविक संख्याएँ हैं ।
अपरिमेय संख्याओं को भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है ।
यदि $a$ और $b$ दो अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ हैं, तो ${\sqrt {ab}}$ ; $a$ और $b$ के बीच स्थित एक अपरिमेय संख्या होगी ।
एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय संख्या होता है ।
एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल अपरिमेय संख्या होता है ।
किसी भी अभाज्य संख्या के वर्गमूल का मान सदैव एक अपरिमेय संख्या होता है ।
दो अपरिमेय संख्याओं के बीच किसी भी संक्रिया (जोड़, गुणा, घटाव, भाग) का परिणाम हमेशा अपरिमेय संख्या नहीं होगा ।
अपरिमेय संख्या की प्रकृति सदैव अनवसानी और दोहराव रहित होती है ।

प्रमेय 1

कथन : माना कि $p$ एक अभाज्य संख्या है, यदि $p$ , $a^{2}$ को विभाजित करता है , तो $p$ , $a$ को भी विभाजित करता है, जहाँ $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है ।^[2]

प्रमाण :

मान लीजिए कि $a$ का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है ,

$a=p_{1}p_{2}.......p_{n}$ जहाँ $p_{1},p_{2},.....p_{n}$ अभाज्य संख्याएँ है ।

इस प्रकार हम कह सकते हैं कि ,

$a^{2}=(p_{1}p_{2}.....p_{n})(p_{1}p_{2}....p_{n})$

$a^{2}=p_{1}^{2}p_{2}^{2}.....p_{n}^{2}$

कथन में हमें दिया गया है कि, $p$ $a$ को विभाजित करता है, इसलिए अंकगणित की मौलिक प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि $p$ , $a^{2}$ के अभाज्य गुणनखंडों में से एक है हालाँकि अंकगणित के मौलिक प्रमेय के विशिष्ट भाग का उपयोग करते हुए हम कह सकते हैं कि ; $a^{2}$ के अभाज्य गुणनखंड $p_{1},p_{2},p_{3},.......p_{n}$ है तो , $p$ का मान $p_{1},p_{2},p_{3},.......p_{n}$ इनमें से एक है ।

इस तरह , $a=p_{1}p_{2}.......p_{n}$ ;

अतः , $p$ $a$ को विभाजित करता है ।

उदाहरण 1

सिद्ध करें कि ${\sqrt {2}}$ एक अपरिमेय संख्या है ।

हल

आइए, इसके विपरीत मान लें कि ${\sqrt {2}}$ एक परिमेय संख्या है । अतः , परिमेय संख्या की परिभाषा अनुसार हम कह सकते हैं कि :

${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$ जहाँ, $a$ और $b$ पूर्णांक हैं और $b\neq 0$ हैं ।

मान लीजिए कि $a$ और $b$ में $1$ के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो हम उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग दे सकते हैं, और मान सकते हैं , कि $a$ और $b$ सहअभाज्य हैं । अतः ,

$b{\sqrt {2}}=a$

दोनों तरफ वर्ग करके पुनर्व्यवस्थित रूप में लिखने पर ,

$2b^{2}=a^{2}$ $.............(1)$

उपर्युक्त दिए गए समीकरण से यह स्पष्ट है कि ; $a^{2}$ , $2$ से विभाज्य है , अतः प्रमेय $1$ ( यदि $p$ , $a^{2}$ को विभाजित करता है , तो $p$ , $a$ को भी विभाजित करता है, जहाँ $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि $a$ भी $2$ से विभाज्य होगा ।

अब, हम कह सकते हैं ,

$a=2c$ जहाँ, $c$ पूर्णांक हैं ।

दोनों तरफ वर्ग करके लिखने पर ,

$a^{2}=4c^{2}$

समीकरण $(1)$ से $a^{2}$ का मान रखने पर ,

$2b^{2}=4c^{2}$

दोनों पक्षों में $2$ से भाग देने पर ,

$b^{2}=2c^{2}$

अतः , यह स्पष्ट है कि $2$ , $b^{2}$ से विभाज्य है , प्रमेय $1$ ( यदि $p$ , $a^{2}$ को विभाजित करता है , तो $p$ , $a$ को भी विभाजित करता है, जहाँ $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि $2$ , $b$ से भी विभाज्य हैं ।

इसलिए यह स्पष्ट है कि $a$ और $b$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड $2$ हैं , लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि $a$ और $b$ में $1$ के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि ${\sqrt {2}}$ एक परिमेय संख्या है ।

अतः , हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ${\sqrt {2}}$ अपरिमेय संख्या है ।

उदाहरण 2

सिद्ध करें कि $5-{\sqrt {3}}$ एक अपरिमेय संख्या है ।

हल

आइए, इसके विपरीत मान लें कि $5-{\sqrt {3}}$ एक परिमेय संख्या है । अतः , परिमेय संख्या की परिभाषा अनुसार हम कह सकते हैं कि :

$5-{\sqrt {3}}={\frac {a}{b}}$ जहाँ, $a$ और $b$ पूर्णांक हैं और $b\neq 0$ हैं ।

पुनर्व्यवस्थित रूप में लिखने पर ,

${\sqrt {3}}=5-{\frac {a}{b}}$

${\sqrt {3}}={\frac {5b-a}{b}}$

चूँकि , $a$ और $b$ पूर्णांक हैं ; अतः , यह स्पष्ट है कि $5-{\frac {a}{b}}$ एक परिमेय संख्या है और इसलिए ${\sqrt {3}}$ एक परिमेय संख्या है । लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि ${\sqrt {3}}$ अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास हमारी ग़लत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $5-{\sqrt {3}}$ एक परिमेय संख्या है ।

अतः , हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $5-{\sqrt {3}}$ अपरिमेय संख्या है ।

अभ्यास प्रश्न

सिद्ध करें कि ${\sqrt {5}}$ एक अपरिमेय संख्या है ।
सिद्ध करें कि $3+2{\sqrt {5}}$ एक अपरिमेय संख्या है ।
$2$ और $3$ के बीच अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करे ।

संदर्भ

↑ "अपरिमेय संख्याओं के गुण".
↑ MATHEMATICS ( NCERT0 (Revised ed.). pp. 6–9.

[1] "अपरिमेय संख्याओं के गुण".

[2] MATHEMATICS ( NCERT0 (Revised ed.). pp. 6–9.

[1]

[2]

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-[[Category:अंकगणित]]
+[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
-[[Category:वास्तविक संख्याएँ]]
+[[Category:Vidyalaya Completed]]
+एक संख्या <math>x</math> को अपरिमेय संख्या कहा जाता है , यदि हम इसे <math>\frac{p}{q}</math> के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं , जहाँ <math>p</math> और <math>q</math> पूर्णांक हैं एवं  <math>q\neq0</math> हैं ।
+उदाहरण : <math>\sqrt{2}</math> , <math>\sqrt{3}</math> , <math>\sqrt{7}</math> , <math>\pi</math> , <math>0.10110111011110.....</math> आदि अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं ।
+इस इकाई में हम सिद्ध करेंगे कि <math>\sqrt{p}</math> अपरिमेय संख्या है , जहाँ  <math>p</math> एक [[अभाज्य संख्याएँ|अभाज्य संख्या]] है। हम अपने प्रमाण में [[अंकगणित की आधारभूत प्रमेय|अंकगणित की मौलिक प्रमेय]] का उपयोग करेंगे । इससे पूर्व हमें  प्रमेय की आवश्यकता होगी आइए उसके बारे में जानते हैं ।
+==अपरिमेय संख्याओं के गुण ==
+अपरिमेय संख्याओं के गुण<ref>{{Cite web|url=https://testbook.com/maths/irrational-numbers|title=अपरिमेय संख्याओं के गुण}}</ref> निम्नलिखित  हैं ;
+#वे वास्तविक संख्याएँ हैं ।
+#अपरिमेय संख्याओं को भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है ।
+#यदि <math>a</math> और <math>b</math> दो अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ हैं, तो <math>\sqrt{ab}</math> ; <math>a</math> और <math>b</math> के बीच स्थित एक अपरिमेय संख्या होगी ।
+#एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय संख्या  होता है ।
+#एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल अपरिमेय संख्या होता है ।
+#किसी भी अभाज्य संख्या के वर्गमूल का मान सदैव एक अपरिमेय संख्या होता है ।
+#दो अपरिमेय संख्याओं के बीच किसी भी संक्रिया (जोड़, गुणा, घटाव, भाग) का परिणाम हमेशा अपरिमेय संख्या नहीं होगा ।
+#अपरिमेय संख्या की प्रकृति सदैव अनवसानी और दोहराव रहित होती है ।
+== प्रमेय 1 ==
+कथन : माना कि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है, यदि <math>p</math> , <math>a^2</math>  को विभाजित करता है , तो  <math>p</math> ,  <math>a</math>  को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ।<ref>{{Cite book |title=MATHEMATICS ( NCERT0 |edition=Revised |pages=6-9}}</ref>
+प्रमाण :
+मान लीजिए कि <math>a</math> का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है ,
+<math>a=p_1p_2.......p_n </math>    जहाँ <math>p_1,p_2,.....p_n </math> अभाज्य संख्याएँ  है ।
+इस प्रकार हम कह सकते हैं कि ,
+<math>a^2=(p_1p_2.....p_n)(p_1p_2....p_n)</math>
+<math>a^2=p_1^2p_2^2.....p_n^2</math>
+कथन में हमें दिया गया है कि,  <math>p</math>  <math>a</math>  को विभाजित करता है,  इसलिए अंकगणित की मौलिक प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि  <math>p</math> ,  <math>a^2</math>  के अभाज्य गुणनखंडों में से एक है हालाँकि अंकगणित के मौलिक प्रमेय के विशिष्ट भाग का उपयोग करते हुए हम कह सकते हैं कि ; <math>a^2</math> के अभाज्य गुणनखंड <math>p_1 , p_2,p_3,.......p_n</math> है  तो , <math>p</math>  का मान <math>p_1 , p_2,p_3,.......p_n</math>  इनमें से एक है ।
+इस तरह , <math>a=p_1p_2.......p_n </math> ;
+अतः ,  <math>p</math>  <math>a</math>  को विभाजित करता है ।
+== उदाहरण 1 ==
+सिद्ध करें कि <math>\sqrt{2}</math> एक अपरिमेय संख्या है ।
+हल
+आइए, इसके विपरीत  मान लें कि <math>\sqrt{2}</math> एक परिमेय संख्या है । अतः , परिमेय संख्या की परिभाषा अनुसार हम कह सकते हैं कि :
+<math>\sqrt{2}=\frac{a}{b}</math>  जहाँ, <math>a</math> और <math>b</math> पूर्णांक हैं और <math>b\neq0</math> हैं ।
+मान लीजिए कि  <math>a</math>  और  <math>b</math>  में  <math>1</math> के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो हम उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग दे सकते हैं,  और मान सकते हैं , कि <math>a</math> और <math>b</math> सहअभाज्य हैं । अतः ,
+<math>b\sqrt{2}=a</math>
+दोनों तरफ वर्ग करके  पुनर्व्यवस्थित रूप में लिखने पर ,
+<math>2b^2=a^2</math>            <math>.............(1)</math>
+उपर्युक्त दिए गए समीकरण से यह स्पष्ट है कि ; <math>a^2</math> , <math>2</math>  से विभाज्य है , अतः प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math>  को विभाजित करता है , तो  <math>p</math> ,  <math>a</math>  को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि  <math>a</math>  भी  <math>2</math> से विभाज्य होगा ।
+अब, हम कह सकते हैं ,
+<math>a=2c</math>    जहाँ, <math>c</math> पूर्णांक हैं ।
+दोनों तरफ वर्ग करके लिखने पर ,
+<math>a^2=4c^2</math>
+समीकरण <math>(1)</math> से <math>a^2</math> का मान रखने पर ,
+<math>2b^2=4c^2</math>
+दोनों पक्षों  में <math>2</math> से भाग देने पर ,
+<math>b^2=2c^2</math>
+अतः , यह स्पष्ट है कि <math>2</math> ,  <math>b^2</math> से विभाज्य है , प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math>  को विभाजित करता है , तो  <math>p</math> ,   <math>a</math>  को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि  <math>2</math> ,  <math>b</math> से भी विभाज्य हैं ।
+इसलिए यह स्पष्ट है कि <math>a</math> और <math>b</math> का उभयनिष्ठ गुणनखंड <math>2</math> हैं , लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि <math>a</math> और <math>b</math> में <math>1</math> के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि <math>\sqrt{2}</math> एक परिमेय संख्या है ।
+अतः ,  हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि <math>\sqrt{2}</math> अपरिमेय संख्या है ।
+== उदाहरण 2 ==
+सिद्ध करें कि <math>5-\sqrt{3}</math> एक अपरिमेय संख्या है ।
+हल
+आइए, इसके विपरीत  मान लें कि <math>5-\sqrt{3}</math>  एक परिमेय संख्या है । अतः , परिमेय संख्या की परिभाषा अनुसार हम कह सकते हैं कि :
+<math>5-\sqrt{3}=\frac{a}{b}</math>  जहाँ, <math>a</math> और <math>b</math> पूर्णांक हैं और <math>b\neq0</math> हैं ।
+पुनर्व्यवस्थित रूप में लिखने पर ,
+<math>\sqrt{3}=5-\frac{a}{b}</math>
+<math>\sqrt{3}=\frac{5b-a}{b}</math>
+चूँकि , <math>a</math>  और <math>b</math>  पूर्णांक हैं ; अतः , यह स्पष्ट है कि  <math>5-\frac{a}{b}</math>  एक परिमेय संख्या है और इसलिए <math>\sqrt{3}</math>  एक परिमेय संख्या है । लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि <math>\sqrt{3}</math> अपरिमेय संख्या  है। यह विरोधाभास हमारी ग़लत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि <math>5-\sqrt{3}</math>  एक परिमेय संख्या है ।
+अतः ,  हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि <math>5-\sqrt{3}</math> अपरिमेय संख्या है ।
+== अभ्यास प्रश्न ==
+# सिद्ध करें कि <math>\sqrt{5}</math> एक अपरिमेय संख्या है ।
+# सिद्ध करें कि <math>3+2\sqrt{5}</math> एक अपरिमेय संख्या है ।
+# <math>2</math> और <math>3</math> के बीच अपरिमेय संख्याएँ  ज्ञात करे  ।
+== संदर्भ ==