लघूगणकीय अवकलन: Difference between revisions

Latest revision as of 11:58, 2 December 2024

लघूगणकीय अवकलन का उपयोग बड़े फलनों को अवकलन करने के लिए किया जाता है, जिसमें लघुगणक और अवकलन के श्रृंखला नियम का उपयोग किया जाता है। फलन $f(x)$ का लघूगणकीय अवकलन ${\frac {f'(x)}{f(x)}}\cdot {d \over dx}\cdot logf(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}$ है। साथ ही लघुगणक का उपयोग फलन के गुणनफल को फलन के योग में और फलन के विभाजन को फलन के अंतर में बदल देता है।

चरघातांकी फलन या बहुत सारे उप-फलन वाले फलन को लघूगणकीय अवकलन का उपयोग करके आसानी से अवकलन किया जा सकता है। आइए उदाहरणों के साथ लघूगणकीय अवकलन के अनुप्रयोगों के बारे में अधिक जानें।

परिभाषा

लघुगणकीय अवकलन लघुगणक गुणों और अवकलन के श्रृंखला नियम पर आधारित है और इसका उपयोग मुख्य रूप से $f(x)^{g(x)}$ के रूप के फलनों को अवकलन करने के लिए किया जाता है। यह सरल और त्वरित चरणों में अवकलन को आसानी से करने में सहायता करता है। जो फलन जटिल हैं और जिन्हें बीजगणितीय रूप से हल नहीं किया जा सकता है और अवकलन नहीं किया जा सकता है, उन्हें लघुगणकीय अवकलन का उपयोग करके अवकलन किया जा सकता है।

लघूगणकीय अवकलन सूत्र

फलन $f(x)$ का लघूगणकीय अवकलन, फलन के अवकलन के समान होता है, जिसे फलन से विभाजित किया जाता है। यहाँ वह सूत्र दिया गया है जिसका उपयोग मुख्य रूप से लघूगणकीय अवकलन में किया जाता है।

${d \over dx}logf(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}$

लघूगणकीय अवकलन का उपयोग तब किया जाता है जब फलन कई उप-फलनों से बना होता है, जिसमें फलनों के बीच एक उत्पाद, फलनों के बीच विभाजन, फलनों के बीच एक घातीय संबंध या किसी फलन को दूसरे फलन में बढ़ाया जाता है। लघूगणकीय फलन के गुणनफल को फलनों के योग में और फलनों के विभाजन को फलनों के अंतर में बदलने में सहायता करते हैं। इसके अलावा, लघूगणकीय का उपयोग करके फलन को विभाजित करने के बाद, इसे अवकलन के श्रृंखला नियम का उपयोग करके आसानी से एक सामान्य फलन के रूप में अवकलन किया जा सकता है। अवकलन के श्रृंखला नियम ने पहले लघूगणकीय को उपस्थित करते हुए फलन को अवकलनकिया और फिर फलन को स्वतंत्र रूप से अवकलन किया।

${d\log f(x) \over dx}={\frac {1}{f(x)}}{df(x) \over dx}$

${d \over dx}\cdot \log f(x)={\frac {1}{f(x)}}{d \over dx}f(x)$

लघुगणकीय गुणों का निम्नलिखित समूह फलनों को सरल बनाने और अवकलन प्रक्रिया को निष्पादित करने में सहायता करता है।

$\log AB=\log A+\log B$
$\log {\frac {A}{B}}=\log A-\log B$
$logA^{B}=B\log A$
$logB^{A}={\frac {(\log A)}{(\log B)}}$

लघूगणकीय अवकलन के अनुप्रयोग

लघूगणकीय अवकलन के अनुप्रयोग फलन के गुणनफल, दो फलन के विभाजन और चरघातांकी फलन के लिए हैं। आइए लघूगणकीय अवकलन के इन अनुप्रयोगों में से प्रत्येक पर दृष्टि डालें।

फलन का गुणनफल

दो या अधिक फलन के गुणनफल के लिए, लघूगणकीय का अनुप्रयोग गुणनफल को फलन के योग में बदल देता है और फलन के आसान अवकलन की सुविधा देता है। मान लें कि फलन $f(x)$ , क्रमशः दो उप-फलन $g(x)$ , और $h(x)$ का गुणनफल है, और हम फलन के अवकलन के बाद लघूगणकीय लागू कर सकते हैं।

$f(x)=g(x)\cdot h(x)$

आइए हम उपरोक्त समीकरण के दोनों ओर लघुगणक लागू करें जो फलनों के गुणनफल को दर्शाता है।

$\log f(x)=\log(g(x)\cdot h(x))$

$\log f(x)=\log g(x)+\log h(x)$

आइये अब हम दोनों पक्षों में अवकलन करें।

${d \over dx}\log f(x)={d \over dx}\log g(x)+{d \over dx}\log h(x)$

${\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}$

$f'(x)=f(x)[{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}]$

$f'(x)=f(x){\frac {[h(x)\cdot g'(x)+g(x)\cdot h'(x)]}{g(x)\cdot h(x)}}$

$f'(x)=g(x)\cdot h(x){\frac {[h(x)\cdot g'(x)+g(x)\cdot h'(x)]}{g(x)\cdot h(x)}}$

$f'(x)=h(x)\cdot g'(x)+g(x)\cdot h'(x)$

दो फलनों के गुणनफल का यह विभेदन, जिसमें लघुगणकीय अवकलन उपस्थित है, लाइबनिज़ नियम कहलाता है। उपरोक्त नियम को "गुणनफल नियम" के नाम से जाना जाता है।

फलनों का विभाजन

एक फलन के दूसरे फलन के साथ विभाजन का अवकलन जिसे फलन का भागफल भी कहा जाता है, लघूगणकीय अवकलन की प्रक्रिया द्वारा प्राप्त किया जाता है। एक फलन के दूसरे फलन के साथ विभाजन के लिए लघुगणक का अनुप्रयोग इसे दो फलनों में से प्रत्येक के लघुगणक में अंतर में बदल देता है। आइए एक फलन $f(x)$ पर विचार करें, जो दो फलन $g(x)$ और $h(x)$ के भागफल के समान है।

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$

आइए उपरोक्त समान के दोनों ओर लघुगणक लागू करें जो दोनों फलनों के भागफल का प्रतिनिधित्व करते हैं।

$\log f(x)=\log {\frac {g(x)}{h(x)}}$

$\log f(x)=\log g(x)-\log h(x)$

इसके अतिरिक्त हम उपरोक्त लघुगणकीय समीकरण पर अवकलन लागू कर सकते हैं।

${d \over dx}\log f(x)={d \over dx}\log g(x)-{d \over dx}\log h(x)$

${\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}$

$f'(x)=f(x)[{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}]$

$f'(x)=f(x){\frac {[h(x)\cdot g'(x)-g(x)\cdot h'(x)]}{g(x)\cdot h(x)}}$

$f'(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}{\frac {[h(x)\cdot g'(x)-g(x)\cdot h'(x)]}{g(x)\cdot h(x)}}$

$f'(x)={\frac {[h(x)\cdot g'(x)-g(x)\cdot h'(x)]}{h^{2}(x)}}$

उपरोक्त नियम को "भागफल नियम" के नाम से जाना जाता है।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

जब हमें $h(x)=f(x)^{g(x)}$ के रूप वाले किसी फलन का अवकलज ज्ञात करना हो, तो लघुगणकीय अवकलन का उपयोग करना अनिवार्य है।
यहाँ, प्रक्रिया को सार्थक बनाने के लिए दिए गए प्रांत में $h(x)$ और $f(x)$ दोनों को सकारात्मक होना चाहिए।

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-Logarithmic Differentiation
+लघूगणकीय अवकलन का उपयोग बड़े फलनों  को अवकलन करने के लिए किया जाता है, जिसमें लघुगणक और अवकलन के श्रृंखला नियम का उपयोग किया जाता है। फलन <math>f(x)</math> का लघूगणकीय अवकलन <math>\frac{f'(x)}{f(x)} \cdot {d\over dx}\cdot logf(x) =\frac{f'(x)}{f(x)}</math> है। साथ ही लघुगणक का उपयोग फलन के गुणनफल को फलन के योग में और फलन के विभाजन को फलन के अंतर में बदल देता है।
-[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]]
+[[चरघातांकी तथा लघूगणकीय फलन|चरघातांकी फलन]] या बहुत सारे उप-फलन वाले फलन को लघूगणकीय अवकलन का उपयोग करके आसानी से अवकलन किया जा सकता है। आइए उदाहरणों के साथ लघूगणकीय अवकलन के अनुप्रयोगों के बारे में अधिक जानें।
+== परिभाषा ==
+लघुगणकीय [[अवकलनीयता|अवकलन]] लघुगणक गुणों और अवकलन के श्रृंखला नियम पर आधारित है और इसका उपयोग मुख्य रूप से <math>f(x)^{g(x)}</math> के रूप के फलनों  को अवकलन करने के लिए किया जाता है। यह सरल और त्वरित चरणों में अवकलन को आसानी से करने में सहायता करता है। जो फलन जटिल हैं और जिन्हें बीजगणितीय रूप से हल नहीं किया जा सकता है और अवकलन नहीं किया जा सकता है, उन्हें लघुगणकीय अवकलन का उपयोग करके अवकलन किया जा सकता है।
+== लघूगणकीय अवकलन सूत्र ==
+फलन <math>f(x)</math> का लघूगणकीय अवकलन, फलन के अवकलन के समान  होता है, जिसे फलन से विभाजित किया जाता है। यहाँ वह सूत्र दिया गया है जिसका उपयोग मुख्य रूप से लघूगणकीय अवकलन में किया जाता है।
+<math>{d\over dx} logf(x) =\frac{f'(x)}{f(x)}</math>
+लघूगणकीय अवकलन का उपयोग तब किया जाता है जब फलन कई उप-फलनों से बना होता है, जिसमें फलनों के बीच एक उत्पाद, फलनों के बीच विभाजन, फलनों के बीच एक घातीय संबंध या किसी फलन को दूसरे फलन में बढ़ाया जाता है। लघूगणकीय फलन के गुणनफल को फलनों के योग में और फलनों के विभाजन को फलनों के अंतर में बदलने में सहायता करते हैं। इसके अलावा, लघूगणकीय का उपयोग करके फलन को विभाजित करने के बाद, इसे अवकलन के श्रृंखला नियम का उपयोग करके आसानी से एक सामान्य फलन के रूप में अवकलन किया जा सकता है। अवकलन के श्रृंखला नियम ने पहले लघूगणकीय को उपस्थित करते हुए फलन को अवकलनकिया और फिर फलन को स्वतंत्र रूप से अवकलन किया।
+<math>{d\log f(x) \over dx} = \frac{1 }{f(x)} {d f(x) \over dx}</math>
+<math>{d\over dx} \cdot \log f(x) = \frac{1 }{f(x)} {d\over dx} f(x) </math>
+लघुगणकीय गुणों का निम्नलिखित समूह फलनों  को सरल बनाने और अवकलन प्रक्रिया को निष्पादित करने में सहायता करता है।
+* <math>\log AB = \log A + \log B</math>
+* <math>\log \frac{A}{B} = \log A - \log B</math>
+* <math>log A^B = B \log A</math>
+* <math>logB^A = \frac{ (\log A)}{(\log B)} </math>
+== लघूगणकीय अवकलन के अनुप्रयोग ==
+लघूगणकीय अवकलन के अनुप्रयोग फलन के गुणनफल, दो फलन के विभाजन और चरघातांकी फलन  के लिए हैं। आइए लघूगणकीय अवकलन के इन अनुप्रयोगों में से प्रत्येक पर दृष्टि डालें।
+=== फलन का गुणनफल ===
+दो या अधिक फलन के गुणनफल के लिए, लघूगणकीय का अनुप्रयोग गुणनफल को फलन के योग में बदल देता है और फलन के आसान अवकलन की सुविधा देता है। मान लें कि फलन <math>f(x)</math>, क्रमशः दो उप-फलन <math>g(x)</math>, और <math>h(x)</math> का गुणनफल है, और हम फलन के अवकलन के बाद लघूगणकीय लागू कर सकते हैं।
+<math>f(x) = g(x) \cdot h(x)</math>
+आइए हम उपरोक्त समीकरण के दोनों ओर लघुगणक लागू करें जो फलनों  के गुणनफल को दर्शाता है।
+<math>\log f(x) = \log (g(x) \cdot h(x))</math>
+<math>\log f(x) = \log g(x) + \log h(x)</math>
+आइये अब हम दोनों पक्षों में अवकलन करें।
+<math>{d \over dx} \log f(x) = {d \over dx}\log g(x) + {d \over dx} \log h(x)</math>
+<math>\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{ g'(x)}{g(x)} + \frac{h'(x)}{ h(x)}</math>
+<math>f'(x) = f(x) [\frac{g'(x)}{g(x)} + \frac{h'(x)}{h(x)}]</math>
+<math>f'(x) = f(x) \frac{ [h(x)\cdot g'(x) + g(x)\cdot h'(x)]}{ g(x)\cdot h(x)} </math>
+<math>f'(x) = g(x)\cdot h(x)\frac{ [h(x)\cdot g'(x) + g(x)\cdot h'(x)]}{ g(x)\cdot h(x)} </math>
+<math>f'(x) = h(x)\cdot g'(x) + g(x)\cdot h'(x) </math>
+दो फलनों  के गुणनफल का यह विभेदन, जिसमें लघुगणकीय अवकलन उपस्थित है, लाइबनिज़ नियम कहलाता है। उपरोक्त नियम को "'''गुणनफल नियम'''" के नाम से जाना जाता है।
+=== फलनों  का विभाजन ===
+एक फलन के दूसरे फलन के साथ विभाजन का अवकलन जिसे फलन का भागफल भी कहा जाता है, लघूगणकीय अवकलन की प्रक्रिया द्वारा प्राप्त किया जाता है। एक फलन के दूसरे फलन के साथ विभाजन के लिए लघुगणक का अनुप्रयोग इसे दो फलनों में से प्रत्येक के लघुगणक में अंतर में बदल देता है। आइए एक फलन <math>f(x)</math> पर विचार करें, जो दो फलन <math>g(x)</math> और <math>h(x)</math> के भागफल के समान  है।
+<math>f(x) = \frac{g(x)}{ h(x)}</math>
+आइए उपरोक्त समान  के दोनों ओर लघुगणक लागू करें जो दोनों फलनों  के भागफल का प्रतिनिधित्व करते हैं।
+<math>\log f(x) = \log \frac{g(x)}{ h(x)}</math>
+<math>\log f(x) = \log g(x) - \log h(x)</math>
+इसके अतिरिक्त हम उपरोक्त लघुगणकीय समीकरण पर अवकलन लागू कर सकते हैं।
+<math>{d \over dx} \log f(x) = {d \over dx}\log g(x) - {d \over dx} \log h(x)</math>
+<math>\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{ g'(x)}{g(x)} - \frac{h'(x)}{ h(x)}</math>
+<math>f'(x) = f(x) [\frac{g'(x)}{g(x)} - \frac{h'(x)}{h(x)}]</math>
+<math>f'(x) = f(x) \frac{ [h(x)\cdot g'(x) - g(x)\cdot h'(x)]}{ g(x)\cdot h(x)} </math>
+<math>f'(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \frac{ [h(x)\cdot g'(x) - g(x)\cdot h'(x)]}{ g(x)\cdot h(x)} </math>
+<math>f'(x) =  \frac{ [h(x)\cdot g'(x) - g(x)\cdot h'(x)]}{ h^2(x)} </math>
+उपरोक्त नियम को "'''भागफल नियम'''" के नाम से जाना जाता है।
+== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
+* जब हमें  <math>h(x) = f(x)^{g(x)} </math> के रूप वाले किसी फलन का अवकलज ज्ञात करना हो, तो लघुगणकीय अवकलन का उपयोग करना अनिवार्य है।
+* यहाँ, प्रक्रिया को सार्थक बनाने के लिए दिए गए प्रांत में  <math>h(x)</math> और <math>f(x)</math>  दोनों को सकारात्मक होना चाहिए।
+[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]