राशियों के परिवर्तन की दर: Difference between revisions

Latest revision as of 09:13, 3 December 2024

राशियों के परिवर्तन की दर की अवधारणा कलन का एक मूलभूत पहलू है, विशेष रूप से अवकलाजों के अनुप्रयोग में। संक्षेप में, यह अवधारणा इस बात से संबंधित है कि एक राशि दूसरे के संबंध में कैसे बदलती है। शृंखला नियम किसी फलन के किसी अन्य राशि के संबंध में परिवर्तन की दर निर्धारित करने में एक उपयोगी उपकरण है।

परिचय

जब कोई राशि समय के साथ बदलती है, तो उसे राशि परिवर्तन की दर कहा जाता है।

परिवर्तन की दर को साधारणतः समय के सापेक्ष मात्रा में परिवर्तन द्वारा परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, गति का अवकलन वेग को दर्शाता है, जैसे कि $ds/dt$ , समय के सापेक्ष गति के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। एक अन्य उदाहरण समय के सापेक्ष दूरी के परिवर्तन की दर है। इसी तरह, समय के संबंध में दूरी के परिवर्तन की दर एक और सामान्य उदाहरण है।

परिभाषा

यदि कोई राशि ‘ $y$ ’ किसी अन्य राशि ‘ $x$ ’ में परिवर्तन के साथ बदलती है, यह तथ्य देखते हुए कि $y=f(x)$ के रूप का समीकरण हमेशा संतुष्ट होता है यानी ‘ $y$ ’ ‘ $x$ ’ का एक फलन है; तो ‘ $x$ ’ के संबंध में ‘ $y$ ’ के परिवर्तन की दर निम्न प्रकार दी गई है

${\frac {\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

इसे कभी-कभी बस औसत परिवर्तन दर के रूप में भी जाना जाता है।

यदि किसी फलन के परिवर्तन की दर को किसी विशिष्ट बिंदु यानी ‘ $x$ ’ के किसी विशिष्ट मान पर परिभाषित किया जाना है, तो इसे उस बिंदु पर फलन के परिवर्तन की तात्कालिक दर के रूप में जाना जाता है। किसी बिंदु पर फलन के अवकलन की परिभाषा से, हमारे पास है

${dy \over dx}{dy \over dx}\rfloor _{x=x_{0}}=\textstyle \lim _{x\to x_{0}}\displaystyle {\frac {y-y(x_{0})}{x-x_{0}}}$

इससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि किसी फलन का अवकलन वास्तव में उस बिंदु पर फलन के परिवर्तन की तात्कालिक दर को दर्शाता है। परिवर्तन दर सूत्र से, यह उस स्थिति को दर्शाता है जब $\bigtriangleup x\rightarrow 0$ । इस प्रकार, $x=x_{0}=$ पर ‘ $x$ ’ के सापेक्ष ‘ $y$ ’ के परिवर्तन की दर

${dy \over dx}\rfloor _{x=x_{0}}$

आइए एक राशि, $y$ , पर विचार करें जो किसी अन्य राशि, $x$ के संबंध में बदलती है, जैसे कि, $y=f(x)$ । इस मामले में, $x$ के संबंध में $y$ के परिवर्तन की दर, f’(x) के अवकलन $dy/dx$ द्वारा दी गई है।

इसलिए, एक फ़ंक्शन, $y=f(x)$ के लिए, व्यंजक $d/dxf(x)$ $x$ के संबंध में $y$ के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, $dy/dx$ , $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन है।

मात्राओं के परिवर्तन की दर पर श्रृंखला नियम लागू करना

मान लीजिए कि हमारे पास दो चर हैं, $x$ और $y$ , जो तीसरे चर $t$ के सापेक्ष बदलते हैं, यानी, $x=f(t)$ और $y=f(t)$ । इस परिदृश्य में, श्रृंखला नियम को इस प्रकार लागू किया जा सकता है:

$dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)$

ध्यान दें कि $dx/dt\neq 0$

इस प्रकार, हम $t$ के सापेक्ष $y$ और $x$ दोनों के परिवर्तन की दर निर्धारित करके $x$ के सापेक्ष $y$ के परिवर्तन की दर की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण

प्रश्न : एक शहर की जनसंख्या को $P(t)=2t^{2}+10t+200$ व्यक्ति ( $t$ वर्ष $2000$ से अब तक के वर्षों की संख्या है) के रूप में मॉडल किया गया है। $2005$ में जनसंख्या में परिवर्तन की औसत दर क्या होगी?

समाधान- औसत दर के लिए, हमें अपने प्रांत के आरंभिक बिंदु और अंतिम बिंदु की जानकारी की आवश्यकता है। स्पष्ट रूप से, आरंभिक बिंदु वर्ष $2000$ होगा, जिसके अनुरूप, हमारे पास $t_{1}=0$ और $P(t=0)=200$ है। अंतिम बिंदु: $t_{2}=(2005-2000)=5$ जिसके अनुरूप, $P(t=5)=300$ है। $2005$ में जनसंख्या में परिवर्तन की औसत दर:

${\frac {\bigtriangleup P}{\bigtriangleup t}}={\frac {P_{2}-P_{1}}{t_{2}-t_{1}}}$

$={\frac {300-200}{5-0}}=20$ व्यक्ति प्रति वर्ष

टिप्पणी

यदि मात्रा में परिवर्तन की दर, $dy/dx$ , बढ़ती है, तो इसे धनात्मक चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है।

यदि मात्रा में परिवर्तन की दर, $dy/dx$ , घटती है, तो इसे ऋणात्मक चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है।

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-Rate of Change of Quantities
+राशियों के परिवर्तन की दर की अवधारणा कलन का एक मूलभूत पहलू है, विशेष रूप से अवकलाजों के अनुप्रयोग में। संक्षेप में, यह अवधारणा इस बात से संबंधित है कि एक राशि दूसरे के संबंध में कैसे बदलती है। शृंखला नियम किसी फलन के किसी अन्य राशि के संबंध में परिवर्तन की दर निर्धारित करने में एक उपयोगी उपकरण है।
-[[Category:कलन]]
+== परिचय ==
-[[Category:अवकलज के अनुप्रयोग]]
+जब कोई राशि समय के साथ बदलती है, तो उसे राशि परिवर्तन की दर कहा जाता है।
+परिवर्तन की दर को साधारणतः समय के सापेक्ष मात्रा में परिवर्तन द्वारा परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, गति का अवकलन  वेग को दर्शाता है, जैसे कि <math>ds/dt</math>, समय के सापेक्ष गति के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। एक अन्य उदाहरण समय के सापेक्ष दूरी के परिवर्तन की दर है। इसी तरह, समय के संबंध में दूरी के परिवर्तन की दर एक और सामान्य उदाहरण है।
+== परिभाषा ==
+यदि कोई राशि ‘<math>y </math>’ किसी अन्य राशि ‘<math>x </math>’ में परिवर्तन के साथ बदलती है, यह तथ्य देखते हुए कि <math>y = f(x)</math> के रूप का समीकरण हमेशा संतुष्ट होता है यानी ‘<math>y </math>’ ‘<math>x </math>’ का एक [[फलनों का संयोजन तथा व्युत्क्रमणीय फलन|फलन]] है; तो ‘<math>x </math>’ के संबंध में ‘<math>y </math>’ के परिवर्तन की दर निम्न प्रकार दी गई है
+<math>   \frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{{y _2-y _1 }}{{x_2-x_1 }}   </math>
+इसे कभी-कभी बस औसत परिवर्तन दर के रूप में भी जाना जाता है।
+यदि किसी फलन के परिवर्तन की दर को किसी विशिष्ट बिंदु यानी ‘<math>x </math>’ के किसी विशिष्ट मान पर परिभाषित किया जाना है, तो इसे उस बिंदु पर फलन के परिवर्तन की तात्कालिक दर के रूप में जाना जाता है। किसी बिंदु पर फलन के अवकलन  की परिभाषा से, हमारे पास है
+<math>{dy \over dx}{dy \over dx} \rfloor_{x=x_0}=\textstyle \lim_{x \to x_0} \displaystyle \frac{y-y(x_0)}{x-x_0}</math>
+इससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि किसी फलन का अवकलन  वास्तव में उस बिंदु पर फलन के परिवर्तन की तात्कालिक दर को दर्शाता है। परिवर्तन दर सूत्र से, यह उस स्थिति को दर्शाता है जब <math>\bigtriangleup x \rightarrow 0</math> । इस प्रकार,  <math>x = x_0 =</math>  पर ‘<math>x </math>’ के सापेक्ष ‘<math>y </math>’ के परिवर्तन की दर
+<math>{dy \over dx} \rfloor_{x=x_0}</math>
+आइए एक राशि, <math>y </math>, पर विचार करें जो किसी अन्य राशि, <math>x </math> के संबंध में बदलती है, जैसे कि, <math>y = f(x)</math>। इस मामले में, <math>x </math> के संबंध में <math>y </math> के परिवर्तन की दर, f’(x) के अवकलन <math>dy/dx</math>द्वारा दी गई है।
+इसलिए, एक फ़ंक्शन, <math>y = f(x)</math> के लिए, व्यंजक <math>d/dx f(x)</math>  <math>x </math> के संबंध में <math>y </math> के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, <math>dy/dx</math>,  <math>x </math>  के सापेक्ष <math>y </math> का [[अवकलनीयता|अवकलन]]  है।
+== मात्राओं के परिवर्तन की दर पर श्रृंखला नियम लागू करना ==
+मान लीजिए कि हमारे पास दो चर हैं, <math>x </math> और <math>y </math>, जो तीसरे चर <math>t </math> के सापेक्ष बदलते हैं, यानी, <math>x = f(t)</math> और <math>y = f(t)</math>। इस परिदृश्य में, श्रृंखला नियम को इस प्रकार लागू किया जा सकता है:
+<math>dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)</math>
+ध्यान दें कि  <math>dx/dt\neq 0</math>
+इस प्रकार, हम <math>t </math> के सापेक्ष <math>y </math> और <math>x </math> दोनों के परिवर्तन की दर निर्धारित करके <math>x </math> के सापेक्ष <math>y </math> के परिवर्तन की दर की गणना कर सकते हैं।
+== उदाहरण ==
+'''प्रश्न''' : एक शहर की जनसंख्या को <math>P(t) = 2t^2 + 10t + 200</math> व्यक्ति (<math>t </math> वर्ष <math>   2000   </math> से अब तक के वर्षों की संख्या है) के रूप में मॉडल किया गया है। <math>   2005   </math> में जनसंख्या में परिवर्तन की औसत दर क्या होगी?
+'''समाधान'''- औसत दर के लिए, हमें अपने प्रांत के आरंभिक बिंदु और अंतिम बिंदु की जानकारी की आवश्यकता है। स्पष्ट रूप से, आरंभिक बिंदु वर्ष <math>   2000   </math> होगा, जिसके अनुरूप, हमारे पास <math>t_1 = 0 </math> और <math>P(t = 0) = 200 </math> है। अंतिम बिंदु: <math>t_2 = (2005-2000) = 5 </math> जिसके अनुरूप,<math>P(t = 5) = 300 </math> है। <math>   2005   </math> में जनसंख्या में परिवर्तन की औसत दर:
+<math>   \frac{\bigtriangleup P}{\bigtriangleup t}=\frac{{P _2-P _1 }}{{t_2-t_1 }}   </math>
+<math>   =\frac{300-200}{5-0}=20   </math>  व्यक्ति प्रति वर्ष
+== टिप्पणी ==
+यदि मात्रा में परिवर्तन की दर, <math>dy/dx</math>, बढ़ती है, तो इसे धनात्मक चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है।
+यदि मात्रा में परिवर्तन की दर, <math>dy/dx</math>, घटती है, तो इसे ऋणात्मक चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है।
+[[Category:अवकलज के अनुप्रयोग]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]