विभाजन-सूत्र: Difference between revisions

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विभाजन-सूत्र का उपयोग उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए किया जाता है जो किसी रेखाखंड को (बाह्य या आंतरिक रूप से) किसी अनुपात में विभाजित करता है।
== विभाजन-सूत्र की व्युत्पत्ति ==
[[File:Section Formula.jpg|alt=Fig 1 - Section Formula|none|thumb|500x500px|चित्र -1 -विभाजन-सूत्र]]
किन्हीं दो बिंदुओं <math>A(x_1,y_1)</math> और <math>B(x_2,y_2)</math> पर विचार करें और मान लीजिये <math>P(x,y)</math>, <math>AB</math> को आंतरिक रूप से अनुपात <math>m_1:m_2</math> में विभाजित करता है।
अर्थात <math>\frac{PA}{PB}=\frac{m_1}{m_2}</math> (चित्र 1 देखें)
<math>x-</math>अक्ष पर लंबवत <math>AC,PD,BE</math> खींचें। <math>x-</math>अक्ष के समानांतर <math>AR,PQ</math> खींचें। फिर, <math>AA</math> समानता मानदंड से,
<math>\bigtriangleup PAR\sim \bigtriangleup BPQ</math>
<math>\frac{PA}{PB}=\frac{AR}{PQ}=\frac{PR}{BQ} ....... (1)</math>
<math>AR=CD=OD-OC=x-x_1</math>
<math>PQ=DE=OE-OD=x_2-x</math>
<math>PR=PD-RD=PD-AC=y-y_1</math>
<math>BQ=BE-QE=BE-PD=y_2-y</math>
<math> (1)</math> प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
<math>\frac{m_1}{m_2}=\frac{x-x_1}{x_2-x}=\frac{y-y_1}{y_2-y}</math>
<math>\frac{m_1}{m_2}=\frac{x-x_1}{x_2-x}</math> लेने पर
<math>m_1x_2-m_1x=m_2x-m_2x_1</math>
<math>m_1x_2+m_2x_1=m_2x+m_1x</math>
<math>m_1x_2+m_2x_1=x(m_2+m_1)</math>
<math>x=\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2}</math>
<math>\frac{m_1}{m_2}=\frac{y-y_1}{y_2-y}</math> लेने पर
<math>m_1y_2-m_1y=m_2y-m_2y_1</math>
<math>m_1y_2+m_2y_1=m_2y+m_1y</math>
<math>m_1y_2+m_2y_1=y(m_2+m_1) </math>
<math>y=\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}</math>
इसलिए, बिंदु <math>P(x,y)</math> के निर्देशांक जो बिंदु <math>A(x_1,y_1)</math> और <math>B(x_2,y_2)</math> को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से किस अनुपात में विभाजित करते हैं
<math>m_1:m_2</math> are <math>\left (\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2} \right )</math> विभाजन-सूत्र है।
=== उदाहरण ===
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जो बिंदुओं <math>(4,-3)</math> और <math>(8,5)
</math> को मिलाने वाले रेखाखंड को <math>3:1</math> के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
'''हल''' : <math>P(x,y)</math> को वांछित बिंदु मान लें।
<math>x_1=4,y_1=-3</math> 
<math>x_2=8,y_2=5</math>
<math>m_1=3,m_2=1</math>
विभाजन-सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते
<math>x=\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2}</math>
<math>x=\frac{3 \times 8+ 1 \times 4}{3+1}=7 </math>
<math>y=\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}</math>
<math>y=\frac{3 \times 5+ 1 \times -3}{3+1}=3 </math>
अतः <math>(7,3)</math> ही अभीष्ट बिंदु है।


[[Category:ज्यामिति]]
[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]

Latest revision as of 10:18, 19 June 2024

विभाजन-सूत्र का उपयोग उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए किया जाता है जो किसी रेखाखंड को (बाह्य या आंतरिक रूप से) किसी अनुपात में विभाजित करता है।

विभाजन-सूत्र की व्युत्पत्ति

Fig 1 - Section Formula
चित्र -1 -विभाजन-सूत्र

किन्हीं दो बिंदुओं और पर विचार करें और मान लीजिये , को आंतरिक रूप से अनुपात में विभाजित करता है।

अर्थात (चित्र 1 देखें)

अक्ष पर लंबवत खींचें। अक्ष के समानांतर खींचें। फिर, समानता मानदंड से,

प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है


लेने पर



लेने पर

इसलिए, बिंदु के निर्देशांक जो बिंदु और को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से किस अनुपात में विभाजित करते हैं

are विभाजन-सूत्र है।

उदाहरण

उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जो बिंदुओं और को मिलाने वाले रेखाखंड को के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

हल : को वांछित बिंदु मान लें।


विभाजन-सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते



अतः ही अभीष्ट बिंदु है।