दो चर राशियों की असमिका निकाय का हल: Difference between revisions

Latest revision as of 14:00, 16 November 2024

रैखिक असमिकाओं पर किए जाने वाले प्रकार के संक्रिया जोड़, घटाव, गुणा और भाग हैं। समान समाधान वाली रैखिक असमिकाओं को समतुल्य असमिका कहा जाता है। समानता और असमिका दोनों के लिए नियम हैं। नीचे दिए गए सभी नियम ( $\leq$ ) से कम या बराबर और ( $\geq$ ) से अधिक या बराबर वाली असमिकाओं के लिए भी सही हैं। रैखिक असमिकाओं को हल करने का तरीका सीखने से पहले, आइए इन सभी ऑपरेशनों के लिए असमिका के कुछ महत्वपूर्ण नियमों को देखें।

बहु-चरणीय एक चर में रैखिक असमिकाओं को हल करना बहु-चरणीय रैखिक समीकरणों को हल करने के समान है; चर को स्थिरांक से अलग करके शुरू करें। असमानताओं के नियमों के अनुसार, जब हम बहु-चरणीय रैखिक असमानताओं को हल कर रहे होते हैं, तो हमारे लिए यह महत्वपूर्ण है कि हम ऋणात्मक संख्याओं से गुणा या भाग करते समय असमिका चिह्न को उलटना न भूलें।

रैखिक असमिकाओं की प्रणाली को हल करना

बहु-चरणीय एक चर में रैखिक असमिकाओं को हल करना बहु-चरणीय रैखिक समीकरणों को हल करने के समान है; चर को स्थिरांक से अलग करके प्रारंभ करें। असमिकाओं के नियमों के अनुसार, जब हम बहु-चरणीय रैखिक असमानताओं को हल कर रहे होते हैं, तो हमारे लिए यह महत्वपूर्ण है कि हम ऋणात्मक संख्याओं से गुणा या भाग करते समय असमिका चिह्न को उलटना न भूलें।

चरण 1: असमिका के नियमों के अनुसार दोनों तरफ असमिका को सरल करें - $LHS$ के साथ-साथ $RHS$ पर भी।

चरण 2: जब मान प्राप्त हो जाता है, यदि असमिका एक निश्चित असमिका है, तो $x$ का हल प्रश्न में परिभाषित प्राप्त मान से कम या अधिक होता है। और, यदि असमिका एक सख्त असमिका नहीं है, तो $x$ का हल प्रश्न में परिभाषित प्राप्त मान से कम या बराबर या अधिक या बराबर होता है।

अब, अवधारणा को समझने के लिए, एक उदाहरण के साथ रैखिक असमिकाओं को हल करने का प्रयास करें।

$2x+3>7$

इस रैखिक असमिका को हल करने के लिए, हम नीचे दिए गए चरणों का पालन करेंगे:

$2x>7-3\Rightarrow 2x>4\Rightarrow x>2$

इस असमिका का समाधान $x$ के उन सभी मानों का समूह होगा जिनके लिए यह असमिका $x>2$ संतुष्ट है, यानी $2$ से सख्ती से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ।

दोनों पक्षों पर चर के साथ रैखिक असमानताओं को हल करना

आइए हम सीखी गई अवधारणा को लागू करके एक चर के साथ रैखिक असमिकाओं को हल करने का प्रयास करें। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।

$3x-15>2x+11$

हम इस प्रकार आगे बढ़ते हैं:

$-15-11>2x-3x\Rightarrow -26>-x\Rightarrow x>26$

दो चरों वाली रैखिक असमिकाओं का हल

दो चरों वाली रैखिक असमिका का हल, जैसे $Ax+By>C$ , एक क्रमित युग्म $(x,y)$ है जो $x$ और $y$ के मानों को असमिका में प्रतिस्थापित करने पर एक सत्य कथन उत्पन्न करता है।

रैखिक असमिकाओं को हल करना रैखिक समीकरणों को हल करने के समान है; इसका अंतर असमिका प्रतीक का है।

हम रैखिक असमिकाओं को उसी तरह हल करते हैं जैसे रैखिक समीकरणों को हल करते हैं।

चरण 1: असमिका के नियमों के अनुसार दोनों पक्षों पर असमिका को सरल करें, $LHS$ के साथ-साथ $RHS$ पर भी।

चरण 2: मान प्राप्त होने के बाद, हमारे पास है:

निश्चित असमिकाएँ , जिसमें असमिकाओं के दो पक्ष एक दूसरे के बराबर नहीं हो सकते।
अनिश्चित असमिकाएँ , जिसमें असमिकाओं के दो पक्ष भी बराबर हो सकते हैं।

निम्नलिखित असमिका पर विचार करें:

$2x+3y>7$

जब हम इस असमिका का हल ज्ञात करने की बात करते हैं, तो हम $x$ और $y$ के उन सभी मानों के युग्मों के बारे में बात कर रहे होते हैं जिनके लिए यह असमिका संतुष्ट होती है। इसका मतलब है, उदाहरण के लिए, कि $x=4,y=3$ , इस विशेष असमिका का एक संभावित समाधान है। हालाँकि, $x=0,y=0$ नहीं है, क्योंकि जब आप असमिका के बाएँ पक्ष पर $x$ और $y$ को $0$ के बराबर प्रतिस्थापित करते हैं, तो यह $7$ से कम हो जाता है।

हमने देखा कि दो चरों वाले किसी भी रैखिक समीकरण के लिए, अनंत रूप से कई समाधान हैं। अब यह आपके लिए स्पष्ट हो सकता है कि किसी भी रैखिक असमिका के लिए भी, हमारे पास अनंत रूप से कई समाधान होंगे। ये सभी समाधान रैखिक असमिका के समाधान समुच्चय का गठन करेंगे।

उदाहरण

उदाहरण-1

राम को यह निर्धारित करने में सहायता करें कि क्या $(2,{\frac {1}{5}})$ इसका $2x+5y<10$ हल है

समाधान

आइए इन मानों $(2,{\frac {1}{5}})$ को दी गई रैखिक असमिका में रखें।

इससे

$2(2)+5({\frac {1}{5}})<10$

$4+1<10$

$5<10$

मिलता है जो सत्य है।

∴ इस प्रकार $(2,{\frac {1}{5}})$ इस $2x+5y<10$ का हल है।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

असमिकाओं को दोनों पक्षों को एक ही संख्या से जोड़कर, घटाकर, गुणा करके या भाग देकर हल किया जा सकता है।
दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्याओं से विभाजित या गुणा करने से असमिका की दिशा बदल जाएगी।
छायांकित क्षेत्र के बाहर के क्रमित जोड़े रैखिक असमिकाओं को हल नहीं करते हैं।
कम और अधिक से अधिक सख्त असमिकाएँ हैं जबकि कम या बराबर और अधिक या बराबर सख्त असमिकाएँ नहीं हैं।
कोई भी रेखा उस तल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करेगी जिसमें वह स्थित है।
रैखिक असमिकाओं के समाधान समुच्चय अर्ध-तलों के अनुरूप होते हैं, जबकि रैखिक समीकरणों के समाधान सेट रेखाओं के अनुरूप होते हैं।

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-Solutions of System of Linear Inequalities in Two Variables
+रैखिक असमिकाओं पर किए जाने वाले  प्रकार के संक्रिया जोड़, घटाव, गुणा और भाग हैं। समान समाधान वाली रैखिक असमिकाओं को समतुल्य असमिका कहा जाता है। समानता और [[असमिकाएँ|असमिका]] दोनों के लिए नियम हैं। नीचे दिए गए सभी नियम (<math>\leq</math>) से कम या बराबर और (<math>\geq</math>) से अधिक या बराबर वाली असमिकाओं के लिए भी सही हैं। रैखिक असमिकाओं को हल करने का तरीका सीखने से पहले, आइए इन सभी ऑपरेशनों के लिए असमिका के कुछ महत्वपूर्ण नियमों को देखें।
-[[Category:रैखिक असमिकाएँ]][[Category:कक्षा-11]]
+बहु-चरणीय एक चर में रैखिक असमिकाओं को हल करना बहु-चरणीय रैखिक समीकरणों को हल करने के समान है; चर को स्थिरांक से अलग करके शुरू करें। असमानताओं के नियमों के अनुसार, जब हम बहु-चरणीय रैखिक असमानताओं को हल कर रहे होते हैं, तो हमारे लिए यह महत्वपूर्ण है कि हम ऋणात्मक [[संख्या|संख्याओं]] से गुणा या भाग करते समय असमिका चिह्न को उलटना न भूलें।
+==रैखिक असमिकाओं की प्रणाली को हल करना==
+बहु-चरणीय एक चर में रैखिक असमिकाओं को हल करना बहु-चरणीय रैखिक समीकरणों को हल करने के समान है; चर को स्थिरांक से अलग करके प्रारंभ करें। असमिकाओं के नियमों के अनुसार, जब हम बहु-चरणीय रैखिक असमानताओं को हल कर रहे होते हैं, तो हमारे लिए यह महत्वपूर्ण है कि हम ऋणात्मक [[संख्या|संख्याओं]] से गुणा या भाग करते समय असमिका चिह्न को उलटना न भूलें।
+चरण 1: असमिका के नियमों के अनुसार दोनों तरफ असमिका को सरल करें - <math>LHS</math> के साथ-साथ <math>RHS </math> पर भी।
+चरण 2: जब मान प्राप्त हो जाता है, यदि असमिका एक निश्चित असमिका है, तो <math>x</math> का हल प्रश्न में परिभाषित प्राप्त मान से कम या अधिक होता है। और, यदि असमिका एक सख्त असमिका नहीं है, तो <math>x</math> का हल प्रश्न में परिभाषित प्राप्त मान से कम या बराबर या अधिक या बराबर होता है।
+अब, अवधारणा को समझने के लिए, एक उदाहरण के साथ रैखिक असमिकाओं को हल करने का प्रयास करें।
+<math>2x + 3 > 7</math>
+इस रैखिक असमिका को हल करने के लिए, हम नीचे दिए गए चरणों का पालन करेंगे:
+<math>2x > 7-3 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2</math>
+इस असमिका का समाधान <math>x</math> के उन सभी मानों का समूह होगा जिनके लिए यह असमिका <math>x > 2</math> संतुष्ट है, यानी <math>2</math> से सख्ती से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ।
+दोनों पक्षों पर चर के साथ रैखिक असमानताओं को हल करना
+आइए हम सीखी गई अवधारणा को लागू करके एक चर के साथ रैखिक असमिकाओं को हल करने का प्रयास करें। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।
+<math>3x - 15 > 2x + 11</math>
+हम इस प्रकार आगे बढ़ते हैं:
+<math>-15- 11 > 2x- 3x \Rightarrow -26 > -x \Rightarrow x > 26</math>
+==दो चरों वाली रैखिक असमिकाओं का हल==
+दो चरों वाली रैखिक असमिका का हल, जैसे <math>Ax + By > C</math>, एक क्रमित युग्म <math>(x, y)</math> है जो <math>x</math> और <math>y</math> के मानों को असमिका में प्रतिस्थापित करने पर एक सत्य कथन उत्पन्न करता है।
+रैखिक असमिकाओं को हल करना रैखिक समीकरणों को हल करने के समान है; इसका अंतर असमिका प्रतीक का है।
+हम रैखिक असमिकाओं को उसी तरह हल करते हैं जैसे [[रैखिक समीकरण|रैखिक समीकरणों]] को हल करते हैं।
+चरण 1: असमिका के नियमों के अनुसार दोनों पक्षों पर असमिका को सरल करें,  <math>LHS</math> के साथ-साथ <math>RHS</math> पर भी।
+चरण 2: मान प्राप्त होने के बाद, हमारे पास है:
+*निश्चित असमिकाएँ , जिसमें असमिकाओं के दो पक्ष एक दूसरे के बराबर नहीं हो सकते।
+*<mark>अनिश्चित</mark> असमिकाएँ , जिसमें असमिकाओं के दो पक्ष भी बराबर हो सकते हैं।
+निम्नलिखित असमिका पर विचार करें:
+<math>2x+3y>7</math>
+जब हम इस असमिका का हल ज्ञात करने की बात करते हैं, तो हम <math>x</math> और <math>y</math> के उन सभी मानों के युग्मों के बारे में बात कर रहे होते हैं जिनके लिए यह असमिका संतुष्ट होती है। इसका मतलब है, उदाहरण के लिए, कि <math>x=4,y=3</math>, इस विशेष असमिका का एक संभावित समाधान है। हालाँकि, <math>x=0,y=0</math> नहीं है, क्योंकि जब आप असमिका के बाएँ पक्ष पर <math>x</math> और <math>y</math> को <math>0</math> के बराबर प्रतिस्थापित करते हैं, तो यह <math>7 </math> से कम हो जाता है।
+हमने देखा कि दो चरों वाले किसी भी रैखिक समीकरण के लिए, अनंत रूप से कई समाधान हैं। अब यह आपके लिए स्पष्ट हो सकता है कि किसी भी रैखिक असमिका के लिए भी, हमारे पास अनंत रूप से कई समाधान होंगे। ये सभी समाधान रैखिक असमिका के समाधान समुच्चय का गठन करेंगे।
+== उदाहरण ==
+उदाहरण-1
+राम को यह निर्धारित करने में सहायता करें कि क्या <math>(2,\frac{1}{5})</math> इसका  <math>2x+5y<10</math> हल है
+समाधान
+आइए इन मानों <math>(2,\frac{1}{5})</math> को दी गई रैखिक असमिका में रखें।
+इससे
+<math>2(2)+5(\frac{1}{5})<10</math>
+<math>4+1<10</math>
+<math>5<10</math>
+मिलता है जो सत्य है।
+∴ इस प्रकार <math>(2,\frac{1}{5})</math> इस <math>2x+5y<10</math> का हल है।
+==महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ==
+*असमिकाओं को दोनों पक्षों को एक ही संख्या से जोड़कर, घटाकर, गुणा करके या भाग देकर हल किया जा सकता है।
+*दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्याओं से विभाजित या गुणा करने से असमिका की दिशा बदल जाएगी।
+*छायांकित क्षेत्र के बाहर के क्रमित जोड़े रैखिक असमिकाओं को हल नहीं करते हैं।
+*कम और अधिक से अधिक सख्त असमिकाएँ हैं जबकि कम या बराबर और अधिक या बराबर सख्त असमिकाएँ नहीं हैं।
+*कोई भी रेखा उस तल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करेगी जिसमें वह स्थित है।
+*रैखिक असमिकाओं के समाधान समुच्चय अर्ध-तलों के अनुरूप होते हैं, जबकि रैखिक समीकरणों के समाधान सेट रेखाओं के अनुरूप होते हैं।
+[[Category:रैखिक असमिकाएँ]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]