सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम: Difference between revisions

Latest revision as of 13:45, 11 December 2024

सदिश योग के नियम

सदिश योग के दो नियम हैं।

त्रिभुज नियम
समांतर चतुर्भुज नियम

इन दो नियमों का उपयोग करके, हम यह साबित करने जा रहे हैं कि दो सदिशों का योग उन्हें शीर्ष से अन्त्य तक जोड़कर प्राप्त किया जाता है और सदिश योग उस सदिश द्वारा दिया जाता है जो मुक्त अन्त्य और मुक्त शीर्ष को जोड़ता है।

सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम, एक विधि है जिसका उपयोग सदिश सिद्धांत में दो सदिशों का योग ज्ञात करने के लिए किया जाता है। हम सदिशों के योग के लिए दो नियमों का अध्ययन करते हैं - सदिश योग का त्रिभुज नियम और सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम। सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम दो सदिशों को जोड़ने के लिए उपयोग किया जाता है जब जोड़े जाने वाले सदिश दो सदिशों की पूंछों को जोड़कर समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएँ बनाते हैं। फिर, दो सदिशों का योग दो सदिशों की अन्त्य से गुजरने वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दिया जाता है।

इस लेख में, हम सदिशों के योग के समांतर चतुर्भुज नियम, इसके सूत्र, कथन और प्रमाण का पता लगाएंगे।

सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम

परिभाषा

सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम ज्यामितीय रूप से सदिशों को जोड़ने की प्रक्रिया है। यह नियम कहता है, "दो सदिशों को एक समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाओं के रूप में इस तरह व्यवस्थित किया जा सकता है कि उनकी अन्त्य एक दूसरे से जुड़ी हों और दो सदिशों का योग उस समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के बराबर हो जिसकी अन्त्य दो सदिशों के समान हो"।

नीचे दिए गए चित्र में सदिश $P$ और $Q$ पर विचार करें। उनका योग ज्ञात करने के लिए:

चरण 1: सदिश $P$ और $Q$ को इस तरह बनाएँ कि उनकी अन्त्य एक दूसरे को स्पर्श करें।
चरण 2: अन्य दो भुजाएँ खींचकर समांतर चतुर्भुज को पूरा करें।
चरण 3: समांतर चतुर्भुज का विकर्ण जिसकी अन्त्य सदिश $P$ और $Q$ के समान है, दो सदिशों के योग को दर्शाता है।

अर्थात, $P+Q=R$ ।

ध्यान दे: यहाँ, सदिश $R$ को परिणामी ( $P$ और $Q$ का) सदिश कहा जाता है।

समांतर चतुर्भुज सदिश नियम सूत्र

दो सदिश $P$ और $Q$ पर विचार करें जिनके बीच $\theta$ कोण है। सदिश $P$ और $Q$ का योग सदिश $R$ द्वारा दिया जाता है, जो सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करते हुए परिणामी योग सदिश है। यदि परिणामी सदिश $R$ सदिश $P$ के साथ $\beta$ कोण बनाता है, तो इसके परिमाण और दिशा के सूत्र हैं:

$|R|={\sqrt {(P^{2}+Q^{2}+2PQcos\theta )}}$
$\beta =tan^{-1}[(Qsin\theta )/(P+Qcos\theta )]$

हम नीचे दिए गए अनुभाग में इन सूत्रों का प्रमाण देखेंगे।

सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम प्रमाण

आइए सबसे पहले सदिशों के समांतर चतुर्भुज नियम का कथन देखें:

सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम का कथन: यदि दो सदिशों को एक बिंदु से खींचे गए समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं द्वारा दर्शाया जा सकता है, तो उनका परिणामी योग सदिश उसी बिंदु से खींचे गए समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा पूरी तरह से दर्शाया जाता है।

अब, समांतर चतुर्भुज नियम के सूत्र को सिद्ध करने के लिए, हम दो सदिश $P$ और $Q$ पर विचार करते हैं, जो समांतर चतुर्भुज $OB,CA$ की दो आसन्न भुजाओं $OB$ और $OA$ द्वारा क्रमशः दर्शाए जाते हैं। दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$ है। इन दो सदिशों का योग समांतर चतुर्भुज के एक ही शीर्ष $O$ से खींचे गए विकर्ण द्वारा दर्शाया जाता है, परिणामी योग सदिश $R$ जो सदिश $P$ के साथ $\beta$ कोण बनाता है।

सदिश $P$ को $D$ तक इस प्रकार बढ़ाएँ कि $CD,OD$ पर लंबवत हो। चूँकि $OB,AC$ के समानांतर है, इसलिए कोण $AOB$ कोण, $CAD$ के बराबर है क्योंकि वे संगत कोण हैं, अर्थात कोण $CAD=\theta$ । अब, सबसे पहले, हम परिणामी सदिश $R$ (भुजा $OC$ ) के परिमाण का सूत्र निकालेंगे। ध्यान दें कि

$|P|=P$
$|Q|=Q$
$|R|=R$

समकोण त्रिभुज $OCD$ में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, हमारे पास है

$OC^{2}=OD^{2}+DC^{2}$

$\Rightarrow OC^{2}=(OA+AD)^{2}+DC^{2}---(1)$

समकोण त्रिभुज $CAD$ में, हमारे पास है

$cos\theta =AD/AC$ और $sin\theta =DC/AC$

$\Rightarrow AD=ACcos\theta$ और $DC=ACsin\theta$

$\Rightarrow AD=Qcos\theta$ और $DC=Qsin\theta ---(2)$

(2) के मानों को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$R^{2}=(P+Qcos\theta )^{2}+(Qsin\theta )^{2}$

$\Rightarrow R^{2}=P^{2}+Q^{2}cos^{2}\theta +2PQcos\theta +Q^{2}sin^{2}\theta$

$\Rightarrow R^{2}=P^{2}+2PQcos\theta +Q^{2}(cos^{2}\theta +sin^{2}\theta )$

$\Rightarrow R^{2}=P^{2}+2PQcos\theta +Q^{2}[cos^{2}\theta +sin^{2}\theta =1]$

$\Rightarrow R={\sqrt {(P^{2}+2PQcos\theta +Q^{2})}}$ →परिणामी सदिश $R$ का परिमाण

इसके बाद, हम परिणामी सदिश की दिशा निर्धारित करेंगे। समकोण त्रिभुज $ODC$ में,

$tan\ \beta =DC/OD$

$\Rightarrow tan\beta =Qsin\theta /(OA+AD)$ [ (2) से ]

$\Rightarrow tan\beta =Qsin\theta /(P+Qcos\theta )$ [ (2) से ]

$\Rightarrow \beta =tan^{-1}[(Qsin\theta )/(P+Qcos\theta )]$ → परिणामी सदिश $R$ की दिशा

समांतर चतुर्भुज सदिश योग नियम के कुछ विशेष मामले

अब, हम दो सदिशों के योग का परिमाण और दिशा निर्धारित करने का सूत्र जानते हैं। आइए कुछ विशेष मामलों पर विचार करें और सूत्र में मान प्रतिस्थापित करें:

जब दो सदिश समांतर हों (एक ही दिशा में)

यदि सदिश $P$ और $Q$ समांतर हैं, तो हमारे पास $\theta =0^{\circ }$ है। इसे सदिशों के समांतर चतुर्भुज नियम के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है

$|R|=R={\sqrt {(P^{2}+2PQcos\theta +Q^{2})}}$

$={\sqrt {(P^{2}+2PQ+Q^{2})}}$ [क्योंकि $cos0=1$ ]

$={\sqrt {(P^{2}+Q^{2})}}$

$=P+Q$

$\beta =tan^{-1}[(Qsin\theta )/(P+Qcos\theta )]$

$=tan^{-1}[(\theta )/(P+Qcos\theta )]$ [[क्योंकि $sin0=0$ ]

$=0^{\circ }$

जब दो सदिश विपरीत दिशा हों

यदि सदिश $P$ और $Q$ विपरीत दिशा में कार्य कर रहे हों, तो हमारे पास $\theta =180^{\circ }$ है। इसे सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास यह है

$|R|=R={\sqrt {(P^{2}+2PQcos180^{\circ }+Q^{2})}}$

$={\sqrt {(P^{2}-2PQ+Q^{2})}}$ [क्योंकि $cos\ 180^{\circ }=-1$ ]

$={\sqrt {(P-Q)^{2}}}$ या ${\sqrt {(Q-P)^{2}}}$

$=P-Q$ या $Q-P$

$\beta =tan^{-1}[(Qsin180^{\circ })/(P+Qcos180^{\circ })]$

$=tan^{-1}[(0)/(P+Qcos(0))]$ [क्योंकि $sin\ 180^{\circ }=0$ ]

$=0^{\circ }$ or $180^{\circ }$

जब दो सदिश लंबवत हों

यदि सदिश $P$ और $Q$ एक दूसरे के लंबवत हों, तो हमारे पास θ = 90° है। सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार, हमारे पास है

$|R|=R={\sqrt {(P^{2}+2PQcos90^{\circ }+Q^{2})}}$

$={\sqrt {(P^{2}+0+Q^{2})}}$ [ क्योंकि $cos90^{\circ }=0$ ]

$={\sqrt {(P^{2}+Q^{2})}}$

$\beta =tan^{-1}[(Qsin90^{\circ })/(P+Qcos90^{\circ })]$

$=tan^{-1}[Q/(P+0)]$ [ क्योंकि $cos90^{\circ }=0$ ]

$=tan^{-1}(Q/P)$

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम को लागू करने के लिए, दो सदिश एक दूसरे की अन्त्य पर जुड़ जाते हैं और समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ बनाते हैं।
जब दो सदिश समांतर होते हैं, तो उनके परिणामी सदिश का परिमाण केवल दो सदिशों के परिमाणों को जोड़कर निर्धारित किया जा सकता है।
त्रिकोण नियम और सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम समतुल्य हैं और परिणामी सदिश के समान मान देते हैं।

@@ Line 1: / Line 1: @@
-Parallelogram law of vector addition
+सदिश योग के नियम
-[[Category:बीजगणित]][[Category:गणित]]
+सदिश योग के दो नियम हैं।
+# [[सदिश योग का त्रिभुज नियम|त्रिभुज नियम]]
+# समांतर चतुर्भुज नियम
+इन दो नियमों का उपयोग करके, हम यह साबित करने जा रहे हैं कि दो सदिशों का योग उन्हें शीर्ष से अन्त्य तक जोड़कर प्राप्त किया जाता है और सदिश योग उस सदिश द्वारा दिया जाता है जो मुक्त अन्त्य और मुक्त शीर्ष को जोड़ता है।
+सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम, एक विधि है जिसका उपयोग सदिश सिद्धांत में दो सदिशों का योग ज्ञात करने के लिए किया जाता है। हम सदिशों के योग के लिए दो नियमों का अध्ययन करते हैं - सदिश योग का त्रिभुज नियम और सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम। सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम दो [[सदिशों के प्रकार|सदिशों]] को जोड़ने के लिए उपयोग किया जाता है जब जोड़े जाने वाले सदिश दो सदिशों की पूंछों को जोड़कर समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएँ बनाते हैं। फिर, दो सदिशों का योग दो सदिशों की अन्त्य से गुजरने वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दिया जाता है।
+इस लेख में, हम सदिशों के योग के समांतर चतुर्भुज नियम, इसके सूत्र, कथन और प्रमाण का पता लगाएंगे।
+[[File:सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम.jpg|thumb|सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम]]
+== परिभाषा ==
+सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम ज्यामितीय रूप से सदिशों को जोड़ने की प्रक्रिया है। यह नियम कहता है, "दो सदिशों को एक समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाओं के रूप में इस तरह व्यवस्थित किया जा सकता है कि उनकी अन्त्य एक दूसरे से जुड़ी हों और दो सदिशों का योग उस समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के बराबर हो जिसकी अन्त्य दो सदिशों के समान हो"।
+नीचे दिए गए चित्र में सदिश <math>P</math> और <math>Q</math> पर विचार करें। उनका योग ज्ञात करने के लिए:
+* चरण 1: सदिश <math>P</math> और <math>Q</math> को इस तरह बनाएँ कि उनकी अन्त्य एक दूसरे को स्पर्श करें।
+* चरण 2: अन्य दो भुजाएँ खींचकर समांतर चतुर्भुज को पूरा करें।
+* चरण 3: समांतर चतुर्भुज का विकर्ण जिसकी अन्त्य सदिश <math>P</math> और <math>Q</math> के समान है, दो सदिशों के योग को दर्शाता है।
+अर्थात, <math>P + Q = R</math> ।
+ध्यान दे: यहाँ, सदिश <math>R</math> को परिणामी (<math>P</math> और <math>Q</math> का) सदिश कहा जाता है।
+== समांतर चतुर्भुज सदिश नियम सूत्र ==
+दो सदिश <math>P</math> और <math>Q</math> पर विचार करें जिनके बीच <math>\theta</math> कोण है। सदिश <math>P</math> और <math>Q</math> का योग सदिश <math>R</math> द्वारा दिया जाता है, जो सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करते हुए परिणामी योग सदिश है। यदि परिणामी सदिश <math>R</math> सदिश <math>P</math> के साथ <math>\beta</math> कोण बनाता है, तो इसके परिमाण और दिशा के सूत्र हैं:
+* <math>|R| = \sqrt{(P^2 + Q^2 + 2PQ cos \theta)}</math>
+* <math>\beta= tan^{-1}[(Q sin \theta)/(P + Q cos \theta)]</math>
+हम नीचे दिए गए अनुभाग में इन सूत्रों का प्रमाण देखेंगे।
+[[File:सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम प्रमाण.jpg|thumb|सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम प्रमाण]]
+== सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम प्रमाण ==
+आइए सबसे पहले सदिशों के समांतर चतुर्भुज नियम का कथन देखें:
+सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम का कथन: यदि दो सदिशों को एक बिंदु से खींचे गए समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं द्वारा दर्शाया जा सकता है, तो उनका परिणामी योग सदिश उसी बिंदु से खींचे गए समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा पूरी तरह से दर्शाया जाता है।
+अब, समांतर चतुर्भुज नियम के सूत्र को सिद्ध करने के लिए, हम दो सदिश <math>P</math> और <math>Q</math> पर विचार करते हैं, जो समांतर चतुर्भुज <math>OB, CA</math> की दो आसन्न भुजाओं <math>OB</math>और <math>OA</math>द्वारा क्रमशः दर्शाए जाते हैं। दो सदिशों के बीच का कोण <math>\theta</math> है। इन दो सदिशों का योग समांतर चतुर्भुज के एक ही शीर्ष <math>O</math> से खींचे गए विकर्ण द्वारा दर्शाया जाता है, परिणामी योग सदिश <math>R</math> जो सदिश <math>P</math> के साथ <math>\beta</math> कोण बनाता है।
+सदिश <math>P</math> को <math>D</math> तक इस प्रकार बढ़ाएँ कि <math>CD, OD</math> पर लंबवत हो। चूँकि <math>OB, AC</math> के समानांतर है, इसलिए कोण <math>AOB</math> कोण, <math>CAD</math> के बराबर है क्योंकि वे संगत कोण हैं, अर्थात कोण <math>CAD = \theta</math>। अब, सबसे पहले, हम परिणामी सदिश <math>R</math> (भुजा <math>OC</math>) के परिमाण का सूत्र निकालेंगे। ध्यान दें कि
+* <math>|P| = P</math>
+* <math>|Q| = Q</math>
+* <math>|R| = R</math>
+समकोण त्रिभुज <math>OCD</math> में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, हमारे पास है
+<math>OC^2 = OD^2 + DC^2</math>
+<math>\Rightarrow OC^2= (OA + AD)^2+ DC^2--- (1)</math>
+समकोण त्रिभुज <math>CAD</math> में, हमारे पास है
+<math>cos \theta = AD/AC  </math>  और  <math>sin \theta = DC/AC</math>
+<math>\Rightarrow AD = AC cos \theta</math>  और    <math>DC = AC sin \theta</math>
+<math>\Rightarrow AD = Q cos \theta</math>   और  <math>DC = Q sin \theta --- (2)</math>
+(2) के मानों को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है
+<math>R^2 = (P + Q cos \theta)^2 + (Q sin \theta)^2</math>
+<math>\Rightarrow R^2= P^2+ Q^2cos^2\theta + 2PQ cos \theta + Q^2sin^2\theta</math>
+<math>\Rightarrow R^2= P^2+ 2PQ cos \theta+ Q^2(cos^2\theta+ sin^2\theta)</math>
+<math>\Rightarrow R^2= P^2+ 2PQ cos \theta+ Q^2[cos^2\theta+ sin^2\theta=1]</math>
+<math>\Rightarrow R = \sqrt{(P^2+ 2PQ cos \theta + Q^2)}</math>→परिणामी सदिश <math>R</math> का परिमाण
+इसके बाद, हम परिणामी सदिश की दिशा निर्धारित करेंगे। समकोण त्रिभुज <math>ODC</math> में,
+<math>tan \ \beta = DC/OD</math>
+<math>\Rightarrow tan \beta = Q sin \theta/(OA + AD)</math> [ (2) से ]
+<math>\Rightarrow tan \beta = Q sin \theta/(P + Q cos \theta)</math> [ (2) से ]
+<math>\Rightarrow \beta= tan^{-1}[(Q sin \theta)/(P + Q cos \theta)]</math> → परिणामी सदिश <math>R</math> की दिशा
+समांतर चतुर्भुज सदिश योग नियम के कुछ विशेष मामले
+अब, हम दो सदिशों के योग का परिमाण और दिशा निर्धारित करने का सूत्र जानते हैं। आइए कुछ विशेष मामलों पर विचार करें और सूत्र में मान प्रतिस्थापित करें:
+=== जब दो सदिश समांतर हों (एक ही दिशा में) ===
+यदि सदिश <math>P</math> और <math>Q</math> समांतर हैं, तो हमारे पास <math>\theta = 0^\circ</math> है। इसे सदिशों के समांतर चतुर्भुज नियम के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है
+<math>|R| = R = \sqrt{(P^2 + 2PQ cos \theta + Q^2)}</math>
+<math>= \sqrt{(P^2 + 2PQ  + Q^2)}</math> [क्योंकि <math>cos 0 = 1</math>]
+<math>= \sqrt{(P^2 + Q^2)}</math>
+<math>= P + Q</math>
+<math>\beta= tan^{-1}[(Q sin \theta)/(P + Q cos \theta )]</math>
+<math>= tan^{-1}[(\theta)/(P + Q cos \theta)]</math> [[क्योंकि  <math>sin  0 = 0 </math>]
+<math>= 0^\circ</math>
+=== जब दो सदिश विपरीत दिशा हों ===
+यदि सदिश <math>P</math> और <math>Q</math> विपरीत दिशा में कार्य कर रहे हों, तो हमारे पास <math>\theta = 180^\circ</math> है। इसे सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास यह है
+<math>|R| = R = \sqrt{(P^2 + 2PQ cos 180^\circ + Q^2)}</math>
+<math>= \sqrt{(P^2 - 2PQ  + Q^2)}</math> [क्योंकि <math>cos\  180^\circ = -1</math>]
+<math>= \sqrt{(P - Q)^2} </math> या <math> \sqrt{(Q - P)^2}</math>
+<math> = P - Q </math>  या   <math>  Q - P</math>
+<math>\beta= tan^{-1}[(Q sin 180^\circ)/(P + Q cos 180^\circ )]</math>
+<math>= tan^{-1}[(0)/(P + Q cos(0))]</math>  [क्योंकि <math>sin \  180^\circ = 0 </math>]
+<math>= 0^\circ</math>  or <math>180^\circ</math>
+=== जब दो सदिश लंबवत हों ===
+यदि सदिश <math>P</math> और <math>Q</math> एक दूसरे के लंबवत हों, तो हमारे पास θ = 90° है। सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार, हमारे पास है
+<math>|R| = R = \sqrt{(P^2 + 2PQ cos 90^\circ + Q^2)}</math>
+<math>= \sqrt{(P^2 +0 + Q^2)}</math>  [ क्योंकि <math>cos 90^\circ = 0</math>]
+<math>= \sqrt{(P^2 + Q^2)}</math>
+<math>\beta= tan^{-1}[(Q sin 90^\circ)/(P + Q cos 90^\circ )]</math>
+<math>= tan^{-1}[Q/(P + 0)]</math>  [ क्योंकि  <math>cos 90^\circ = 0</math>]
+<math>= tan^{-1}(Q/P)</math>
+== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
+* सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम को लागू करने के लिए, दो सदिश एक दूसरे की अन्त्य पर जुड़ जाते हैं और समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ बनाते हैं।
+* जब दो सदिश समांतर होते हैं, तो उनके परिणामी सदिश का परिमाण केवल दो सदिशों के परिमाणों को जोड़कर निर्धारित किया जा सकता है।
+* त्रिकोण नियम और सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम समतुल्य हैं और परिणामी सदिश के समान मान देते हैं।
+[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]
+[[Category:सदिश बीजगणित]]