उद्देशीय फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 11:32, 18 December 2024

उद्देशीय फलन का उपयोग मुख्य रूप से रैखिक प्रोग्रामन की अनुकूलन समस्याओं को दर्शाने और हल करने के लिए किया जाता है। उद्देशीय फलन $Z=ax+by$ के रूप का होता है, जहाँ $x,y$ निर्णय चर हैं। इष्टतम समाधान ज्ञात करने के लिए फलन $Z=ax+by$ को अधिकतम या न्यूनतम किया जाना चाहिए। यहाँ उद्देशीय फलन बाधाओं $x>0,y>0$ द्वारा नियंत्रित होता है। अनुकूलन समस्याएँ जिनमें लाभ को अधिकतम करने, लागत को न्यूनतम करने या संसाधनों के उपयोग को न्यूनतम करने की आवश्यकता होती है, उद्देशीय फलन का उपयोग करती हैं।

उद्देशीय फलन का उपयोग उद्योग, वाणिज्य, प्रबंधन, अनुप्रयुक्त विज्ञान में कई वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। आइए उदाहरणों, अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नों की मदद से उद्देशीय फलन को हल करने, इसके प्रमेयों, अनुप्रयोगों के बारे में अधिक जानें।

परिभाषा

उद्देशीय फलन अनुकूलीकरण समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है। $Z=ax+by$ के रूप का एक रैखिक प्रतिनिधित्व, जहाँ $a,b$ बाध्यताएं हैं, और $x,y$ चर हैं, जिन्हें अधिकतम या न्यूनतम किया जाना है, उद्देशीय फलन कहलाता है। चर $x$ और $y$ को निर्णय चर कहा जाता है। एक उद्देशीय फलन कुछ बाधाओं द्वारा नियंत्रित होता है, जिनमें से कुछ $x>0,y>0$ हैं।

उद्देशीय फलन : $Z=ax+by$

एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या का उद्देशीय फलन इष्टतम समाधान ज्ञात करने के लिए आवश्यक है: लाभ को अधिकतम करना, लागत को कम करना, या संसाधनों के उपयोग को कम करना, संसाधनों का सही उपयोग करना। रैखिक प्रोग्रामन में उद्देशीय फलन का वाणिज्य, उद्योग और अनुप्रयुक्त विज्ञान की समस्याओं का प्रतिनिधित्व करने में व्यापक अनुप्रयोग है।

उद्देशीय फलन के प्रमेय

रैखिक प्रोग्रामन समस्या के उद्देशीय फलन के दो महत्वपूर्ण प्रमेय इस प्रकार हैं।

प्रमेय 1: मान लें कि रैखिक प्रोग्रामन समस्या के लिए R व्यवहार्य क्षेत्र (उत्तल बहुभुज) है और $Z=ax+by$ उद्देशीय फलन है। जब Z का एक इष्टतम मान (अधिकतम या न्यूनतम) होता है, जहाँ चर $x$ और $y$ रैखिक असमानताओं द्वारा वर्णित बाधाओं के अधीन होते हैं, तो यह इष्टतम मान व्यवहार्य क्षेत्र के एक कोने बिंदु* (शीर्ष) पर होना चाहिए।

प्रमेय 2: मान लें कि $R$ रैखिक प्रोग्रामन समस्या के लिए व्यवहार्य क्षेत्र है, और $Z=ax+by$ उद्देशीय फलन है। यदि $R$ परिबद्ध है**, तो उद्देशीय फलन $Z$ का $R$ पर अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान होता है और इनमें से प्रत्येक के एक कोने बिंदु (शीर्ष) पर होता है।

उद्देशीय फलन का हल

रैखिक प्रोग्रामन समस्या के उद्देशीय फलन का व्यवहार्य क्षेत्र उद्देशीय फलन का ग्राफ़ बनाकर, कोने के बिंदुओं को ढूँढ़कर और फिर अधिकतम और न्यूनतम मान ढूँढ़कर प्राप्त किया जाता है। आइए इसे नीचे दिए गए चरणों में समझने का प्रयास करें।

उद्देशीय फलन $Z=ax+by$ को एक रेखा के रैखिक समीकरण के रूप में दर्शाया जाता है, और प्रतिबंध $x<k,$ और $y<m$ को भी ग्राफ़ में रेखाओं के रूप में दर्शाया जाता है।
सरल निरीक्षण द्वारा और फलन $Z$ , प्रतिबंध रेखाओं और अक्ष रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को ढूँढ़कर कोने के बिंदुओं की पहचान करें।
इसके अलावा, प्रत्येक कोने के बिंदु के लिए उद्देशीय फलन $Z$ का मूल्यांकन करें, और उद्देशीय फलन के लिए अधिकतम मान $M$ और न्यूनतम मान $m$ की पहचान करें।
यदि व्यवहार्य क्षेत्र परिबद्ध है, तो $M,m$ की पहचान करना आसान है, और यदि व्यवहार्य क्षेत्र परिबद्ध नहीं है, तो हम अधिकतम और न्यूनतम मान की पहचान करने के लिए नीचे दिए गए दो चरणों की जाँच कर सकते हैं।
$M$ , $Z$ का अधिकतम मान है, यदि $ax+by>M$ द्वारा निर्धारित खुले अर्ध-तल का व्यवहार्य क्षेत्र के साथ कोई सामान्य बिंदु नहीं है। अन्यथा, $Z$ का कोई अधिकतम मान नहीं है।
इसी प्रकार, यदि $ax+by<m$ द्वारा निर्धारित खुले अर्ध-तल का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, तो $m$ , $Z$ का न्यूनतम मान है। अन्यथा, $Z$ का कोई न्यूनतम मान नहीं है।

उद्देशीय फलन का अनुप्रयोग

उद्देशीय फलन का उन फलन में बहुत उपयोग होता है जिनका उपयोग मुनाफ़े को अनुकूलित करने, लागत को कम करने और सीमित संसाधनों का इष्टतम उपयोग करने के लिए किया जाता है। उद्देशीय फलन के विभिन्न अनुप्रयोग इस प्रकार हैं।

विनिर्माण समस्या: एक विनिर्माण फर्म द्वारा उत्पादित किए जाने वाले विभिन्न उत्पादों की इकाइयों की संख्या मशीन के समय, मैन-घंटे की संख्या, प्रति इकाई आइटम गोदाम स्थान पर निर्भर करती है। जब हम लागत को कम करने और आवश्यक संसाधनों को आवंटित करने की समस्या को हल कर रहे हों, तो इन सभी पर विचार किया जाना चाहिए।
आहार समस्याएँ: आहार के विभिन्न घटकों को भोजन में किस अनुपात में उपस्थित किया जाना चाहिए ताकि प्राप्त पोषक तत्वों को अनुकूलित किया जा सके और आहार की लागत को भी कम किया जा सके, यह एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या है जिसे उद्देशीय फलन का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
परिवहन समस्या: दूरी को कम करने, ड्रॉपिंग पॉइंट की संख्या बढ़ाने, ईंधन की लागत को कम करने के लिए जिन विभिन्न मार्गों का अनुसरण करना पड़ता है, वह एक अनुकूलन समस्या है, जिसे उद्देशीय फलन के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है और सर्वोत्तम समाधान के लिए हल किया जा सकता है।

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-Objective function
+उद्देशीय  फलन  का उपयोग मुख्य रूप से रैखिक प्रोग्रामन की अनुकूलन समस्याओं को दर्शाने और हल करने के लिए किया जाता है। उद्देशीय  फलन  <math>Z = ax + by</math>  के रूप का होता है, जहाँ <math>x, y</math> निर्णय चर हैं। इष्टतम समाधान ज्ञात करने के लिए फलन  <math>Z = ax + by</math> को अधिकतम या न्यूनतम किया जाना चाहिए। यहाँ उद्देशीय  फलन  बाधाओं <math>x > 0, y > 0</math> द्वारा नियंत्रित होता है। अनुकूलन समस्याएँ जिनमें लाभ को अधिकतम करने, लागत को न्यूनतम करने या संसाधनों के उपयोग को न्यूनतम करने की आवश्यकता होती है, उद्देशीय  फलन  का उपयोग करती हैं।
-[[Category:अनुप्रयुक्त गणित]][[Category:गणित]]
+उद्देशीय  फलन  का उपयोग उद्योग, वाणिज्य, प्रबंधन, अनुप्रयुक्त विज्ञान में कई वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। आइए उदाहरणों, अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नों की मदद से उद्देशीय  फलन  को हल करने, इसके प्रमेयों, अनुप्रयोगों के बारे में अधिक जानें।
+== परिभाषा ==
+उद्देशीय फलन  अनुकूलीकरण समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है। <math>Z = ax + by</math>  के रूप का एक रैखिक प्रतिनिधित्व, जहाँ <math>a, b</math>  बाध्यताएं हैं, और <math>x, y</math> चर हैं, जिन्हें अधिकतम या न्यूनतम किया जाना है, उद्देशीय  फलन  कहलाता है। चर <math>x</math> और <math>y</math> को निर्णय चर कहा जाता है। एक उद्देशीय  फलन  कुछ बाधाओं द्वारा नियंत्रित होता है, जिनमें से कुछ  <math>x > 0, y > 0</math> हैं।
+'''उद्देशीय फलन''' : <math>Z = ax + by</math>
+एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या का उद्देशीय  फलन  इष्टतम समाधान ज्ञात करने के लिए आवश्यक है: लाभ को अधिकतम करना, लागत को कम करना, या संसाधनों के उपयोग को कम करना, संसाधनों का सही उपयोग करना। [[रैखिक प्रोग्रामन समस्या और उसका गणितीय सूत्रीकरण|रैखिक प्रोग्रामन]] में उद्देशीय  फलन का वाणिज्य, उद्योग और अनुप्रयुक्त विज्ञान की समस्याओं का प्रतिनिधित्व करने में व्यापक अनुप्रयोग है।
+== उद्देशीय फलन के प्रमेय ==
+रैखिक प्रोग्रामन समस्या के उद्देशीय फलन के दो महत्वपूर्ण प्रमेय इस प्रकार हैं।
+'''प्रमेय 1''': मान लें कि रैखिक प्रोग्रामन समस्या के लिए R व्यवहार्य क्षेत्र (उत्तल बहुभुज) है और <math>Z = ax + by</math> उद्देशीय  फलन  है। जब Z का एक इष्टतम मान (अधिकतम या न्यूनतम) होता है, जहाँ चर <math>x</math> और <math>y</math>   [[रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं के भिन्न प्रकार|रैखिक]] असमानताओं द्वारा वर्णित बाधाओं के अधीन होते हैं, तो यह इष्टतम मान व्यवहार्य क्षेत्र के एक कोने बिंदु* (शीर्ष) पर होना चाहिए।
+'''प्रमेय 2''': मान लें कि <math>R</math>  रैखिक प्रोग्रामन समस्या के लिए व्यवहार्य क्षेत्र है, और <math>Z = ax + by</math> उद्देशीय  फलन  है। यदि <math>R</math> परिबद्ध है**, तो उद्देशीय  फलन  <math>Z</math> का <math>R</math> पर अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान होता है और इनमें से प्रत्येक  के एक कोने बिंदु (शीर्ष) पर होता है।
+== उद्देशीय  फलन  का हल ==
+रैखिक प्रोग्रामन समस्या के उद्देशीय  फलन  का व्यवहार्य क्षेत्र उद्देशीय  फलन  का ग्राफ़ बनाकर, कोने के बिंदुओं को ढूँढ़कर और फिर अधिकतम और न्यूनतम मान ढूँढ़कर प्राप्त किया जाता है। आइए इसे नीचे दिए गए चरणों में समझने का प्रयास करें।
+* उद्देशीय  फलन <math>Z = ax + by</math> को एक रेखा के रैखिक समीकरण के रूप में दर्शाया जाता है, और प्रतिबंध  <math>x < k,</math> और <math>y < m</math> को भी ग्राफ़ में रेखाओं के रूप में दर्शाया जाता है।
+* सरल निरीक्षण द्वारा और फलन  <math>Z</math>, प्रतिबंध रेखाओं और अक्ष रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को ढूँढ़कर कोने के बिंदुओं की पहचान करें।
+* इसके अलावा, प्रत्येक कोने के बिंदु के लिए उद्देशीय फलन <math>Z</math> का मूल्यांकन करें, और उद्देशीय  फलन  के लिए अधिकतम मान <math>M</math> और न्यूनतम मान <math>m</math> की पहचान करें।
+* यदि व्यवहार्य क्षेत्र परिबद्ध है, तो <math>M, m</math> की पहचान करना आसान है, और यदि व्यवहार्य क्षेत्र परिबद्ध नहीं है, तो हम अधिकतम और न्यूनतम मान की पहचान करने के लिए नीचे दिए गए दो चरणों की जाँच कर सकते हैं।
+* <math>M</math>, <math>Z</math> का अधिकतम मान है, यदि <math>ax + by > M</math> द्वारा निर्धारित खुले अर्ध-तल का व्यवहार्य क्षेत्र के साथ कोई सामान्य बिंदु नहीं है। अन्यथा, <math>Z</math> का कोई अधिकतम मान नहीं है।
+* इसी प्रकार, यदि <math>ax + by < m</math> द्वारा निर्धारित खुले अर्ध-तल का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, तो <math>m</math>,  <math>Z</math> का न्यूनतम मान है। अन्यथा, <math>Z</math> का कोई न्यूनतम मान नहीं है।
+== उद्देशीय फलन का अनुप्रयोग ==
+उद्देशीय  फलन  का उन फलन  में बहुत उपयोग होता है जिनका उपयोग मुनाफ़े को अनुकूलित करने, लागत को कम करने और सीमित संसाधनों का इष्टतम उपयोग करने के लिए किया जाता है। उद्देशीय  फलन  के विभिन्न अनुप्रयोग इस प्रकार हैं।
+* '''विनिर्माण समस्या''': एक विनिर्माण फर्म द्वारा उत्पादित किए जाने वाले विभिन्न उत्पादों की इकाइयों की संख्या मशीन के समय, मैन-घंटे की संख्या, प्रति इकाई आइटम गोदाम स्थान पर निर्भर करती है। जब हम लागत को कम करने और आवश्यक संसाधनों को आवंटित करने की समस्या को हल कर रहे हों, तो इन सभी पर विचार किया जाना चाहिए।
+* '''आहार समस्याएँ''': आहार के विभिन्न घटकों को भोजन में किस अनुपात में उपस्थित किया जाना चाहिए ताकि प्राप्त पोषक तत्वों को अनुकूलित किया जा सके और आहार की लागत को भी कम किया जा सके, यह एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या है जिसे उद्देशीय  फलन  का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
+* '''परिवहन समस्या:''' दूरी को कम करने, ड्रॉपिंग पॉइंट की संख्या बढ़ाने, ईंधन की लागत को कम करने के लिए जिन विभिन्न मार्गों का अनुसरण करना पड़ता है, वह एक अनुकूलन समस्या है, जिसे उद्देशीय  फलन  के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है और सर्वोत्तम समाधान के लिए हल किया जा सकता है।
+[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]
+[[Category:रैखिक प्रोग्रामन]]