वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक: Difference between revisions

Latest revision as of 15:55, 12 June 2024

वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक निरंतर और आवृत्ति वितरण के रूप में आँकड़ों का माध्यक है। माध्यक दिए गए आँकड़ों का सबसे मध्यमान मान है जो आँकड़ों के निचले आधे भाग को ऊपरी आधे भाग से अलग करता है। वर्गीकृत आँकड़ों के माध्यक की गणना करते समय निम्नलिखित बातें उपस्थित होती हैं:

माध्यिका वर्ग
संचयी बारंबारता
वर्गीकृत आँकड़ों के सूत्र की माध्यिका

माध्यिका की परिभाषा

माध्यिका किसी दिए गए आँकड़ों के समुच्चयों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद सबसे मध्य मान है। यदि सूची में वस्तुओं की कुल संख्या विषम है, तो मानों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद मध्यतम मान को माध्यिका के रूप में लिया जाता है।

माध्यिका = ${\frac {(n+1)}{2}}$ ^वां पद, जहां 𝑛 प्रेक्षणों की कुल संख्या है।

यदि आँकड़ों के समुच्चयों में वस्तुओं की संख्या सम है, तो दो मध्य मानों का औसत माध्यिका के रूप में लिया जाता है।

माध्यिका = $({\frac {n}{2}}$ ^वां पद+ $({\frac {n}{2}}+1)$ ^वां पद $)$ / $2$ जहां 𝑛 प्रेक्षणों की कुल संख्या है।

उदाहरण: आइए आंकड़ों पर विचार करें: $48,20,50,69,73,85$ । माध्यिका क्या है?

हल:

आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर, हमें $20,48,50,69,73,85$ . प्राप्त होते हैं। यहां, $n$ (प्रेक्षणों की संख्या) = $6$

सम आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

माध्यिका = $({\frac {n}{2}}$ ^वां पद + $({\frac {n}{2}}+1)$ ^वां पद $)$ / $2$

माध्यिका = $({\frac {6}{2}}$ ^वां पद + $({\frac {6}{2}}+1)$ ^वां पद $)$ / $2$

माध्यिका = $(3$ ^वां पद + $4$ ^वां पद $)$ / $2$

माध्यिका = ${\frac {(50+69)}{2}}={\frac {119}{2}}=59.5$

वर्गीकृत आँकड़ों के सूत्र की माध्यिका

माध्यिका = $l+\left[{\frac {({\frac {n}{2}}-c)}{f}}\right]\times h$

$l$ = माध्यिका वर्ग की निम्न(निचली) सीमा
$n$ = प्रेक्षणों की कुल संख्या
$c$ = पूर्ववर्ती (माध्यिका वर्ग की) कक्षा की संचयी बारंबारता
$f$ =माध्यिका वर्ग की बारंबारता
$h$ =प्रत्येक वर्गमाप

वर्गीकृत डेटा की माध्यिका ज्ञात करने की प्रक्रिया

किसी भी दिए गए आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात करना सरल है क्योंकि माध्यिका आँकड़ों का सबसे मध्य मान है। चूंकि आँकड़ों को वर्गीकृत किया गया है, इसलिए इसे वर्ग अंतरालों में विभाजित किया गया है। समूहीकृत आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात करने की प्रक्रिया(चरण) यहां दिए गए हैं।

चरण 1: वर्ग अंतरालों और बारंबारताओं के साथ बारंबारता बंटन सारणी बनाएं।
चरण 2: वर्तमान मान के साथ बारंबारता के पूर्ववर्ती संचयी मान को जोड़कर आँकड़ों की संचयी बारंबारता की गणना करें।
चरण 3: आवृत्ति के मानों को जोड़कर $n$ का मान ज्ञात करें (जो संचयी आवृत्ति स्तंभ के अंतिम मान के अलावा कुछ नहीं है)
चरण 4: माध्यिका वर्ग ज्ञात करें। यदि $n$ विषम है, तो माध्यिका वाँ मान है। यदि $n$ सम है, तो माध्यिका ${\frac {(n+1)}{2}}$ वें और ${\frac {n}{2}}$ वें तथा $({\frac {n}{2}}+1)$ वें प्रेक्षणों का औसत होगा।
चरण 5: वर्ग अंतराल की निम्न सीमा और संचयी बारंबारता ज्ञात करें।
चरण 6: आंकड़ों में माध्यिका के लिए सूत्र लागू करें: माध्यिका = $l+\left[{\frac {({\frac {n}{2}}-c)}{f}}\right]\times h$

इसे बेहतर समझने के लिए आइए एक उदाहरण देखें।

निम्नलिखित आंकड़ों के लिए माध्यिका की गणना करें:

अंक	छात्रों की संख्या
$0-20$	$6$
$20-40$	$20$
$40-60$	$37$
$60-80$	$10$
$80-100$	$7$

हल:

हमें माध्यिका ज्ञात करने के लिए संचयी बारंबारताओं की गणना करनी होगी।


अंक	छात्रों की संख्या	संचयी बारंबारता
$0-20$	$6$	$0+6=6$
$20-40$	$20$	$6+20=26$
$40-60$	$37$	$26+37=63$
$60-80$	$10$	$63+10=73$
$80-100$	$7$	$73+7=80$

$n=$ संचयी बारंबारता का अंतिम मान $=80$

चूँकि $n$ सम है, इसलिए हम ${\frac {n}{2}}$ ^वें और $({\frac {n}{2}}+1)$ ^वें प्रेक्षण का औसत ज्ञात करेंगे अर्थात् $40$ से अधिक संचयी आवृत्ति $63$ है और वर्ग $40-60$ है। अत: माध्यिका वर्ग $40-60$ है।

$l=40,f=37,c=26,h=20$

माध्यिका सूत्र का उपयोग करने पर

माध्यिका = $l+\left[{\frac {({\frac {n}{2}}-c)}{f}}\right]\times h$

$=40+\left[{\frac {({\frac {80}{2}}-26)}{37}}\right]\times 20$

$=40+\left[{\frac {(40-26)}{37}}\right]\times 20$

$=40+\left[{\frac {14}{37}}\right]\times 20$

$=40+7.57$

माध्यिका $=47.57$

@@ Line 1: / Line 1: @@
+वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक निरंतर और आवृत्ति वितरण के रूप में आँकड़ों का माध्यक है। माध्यक दिए गए आँकड़ों का सबसे मध्यमान मान है जो आँकड़ों के निचले आधे भाग को ऊपरी आधे भाग से अलग करता है। वर्गीकृत आँकड़ों के माध्यक की गणना करते समय निम्नलिखित बातें उपस्थित होती हैं:
+* माध्यिका वर्ग
+* संचयी बारंबारता
+* वर्गीकृत आँकड़ों के सूत्र की माध्यिका
+== माध्यिका की परिभाषा ==
+माध्यिका किसी दिए गए आँकड़ों के समुच्चयों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद सबसे मध्य मान है। यदि सूची में वस्तुओं की कुल संख्या विषम है, तो मानों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद मध्यतम मान को माध्यिका के रूप में लिया जाता है।
+माध्यिका = <math>\frac{(n+1)}{2}</math> <sup>वां</sup> पद, जहां 𝑛 प्रेक्षणों की कुल संख्या है।
+यदि आँकड़ों के समुच्चयों में वस्तुओं की संख्या सम है, तो दो मध्य मानों का औसत माध्यिका के रूप में लिया जाता है।
+माध्यिका = <math>(\frac{n}{2}</math> <sup>वां</sup> पद+ <math>(\frac{n}{2}+1)</math><sup>वां</sup> पद<math>)</math>/ <math>2</math>  जहां 𝑛 प्रेक्षणों की कुल संख्या है।
+'''उदाहरण''': आइए आंकड़ों पर विचार करें: <math>48,20,50,69,73,85</math>। माध्यिका क्या है?
+'''हल:'''
+आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर, हमें  <math>20,48,50,69,73,85
+</math>. प्राप्त होते हैं। यहां, <math>n</math> (प्रेक्षणों की संख्या) = <math>6</math>
+सम आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
+माध्यिका = <math>(\frac{n}{2}</math> <sup>वां</sup> पद + <math>(\frac{n}{2}+1)</math><sup>वां</sup> पद<math>)</math>/ <math>2</math>
+माध्यिका = <math>(\frac{6}{2}</math> <sup>वां</sup> पद + <math>(\frac{6}{2}+1)</math><sup>वां</sup> पद<math>)</math>/ <math>2</math>
+माध्यिका = <math>(3</math><sup>वां</sup> पद + <math>4</math><sup>वां</sup> पद<math>)</math>/ <math>2</math>
+माध्यिका = <math>\frac{(50+69)}{2}=\frac{119}{2}=59.5</math>
+== वर्गीकृत आँकड़ों के सूत्र की माध्यिका ==
+माध्यिका = <math>l+\left [ \frac{(\frac{n}{2}-c)}{f} \right ]   \times h</math>
+* <math>l</math> = माध्यिका वर्ग की निम्न(निचली) सीमा
+* <math>n</math> = प्रेक्षणों की कुल संख्या
+* <math>c</math> = पूर्ववर्ती (माध्यिका वर्ग की) कक्षा की संचयी बारंबारता
+* <math>f</math> =माध्यिका वर्ग की बारंबारता
+* <math>h</math> =प्रत्येक वर्गमाप
+== वर्गीकृत डेटा की माध्यिका ज्ञात करने की प्रक्रिया ==
+किसी भी दिए गए आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात करना सरल है क्योंकि माध्यिका आँकड़ों का सबसे मध्य मान है। चूंकि आँकड़ों को वर्गीकृत किया गया है, इसलिए इसे वर्ग अंतरालों में विभाजित किया गया है। समूहीकृत आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात करने की प्रक्रिया(चरण) यहां दिए गए हैं।
+* चरण 1: वर्ग अंतरालों और बारंबारताओं के साथ बारंबारता बंटन सारणी बनाएं।
+* चरण 2: वर्तमान मान के साथ बारंबारता के पूर्ववर्ती संचयी मान को जोड़कर आँकड़ों की संचयी बारंबारता की गणना करें।
+* चरण 3: आवृत्ति के मानों को जोड़कर <math>n</math> का मान ज्ञात करें (जो संचयी आवृत्ति स्तंभ के अंतिम मान के अलावा कुछ नहीं है)
+* चरण 4: माध्यिका वर्ग ज्ञात करें। यदि <math>n</math>  विषम है, तो माध्यिका वाँ मान है। यदि <math>n</math> सम है, तो माध्यिका <math>\frac{(n+1)}{2}</math>वें और <math>\frac{n}{2}</math>वें तथा <math>(\frac{n}{2}+1)</math>वें प्रेक्षणों का औसत होगा।
+* चरण 5: वर्ग अंतराल की निम्न सीमा और संचयी बारंबारता ज्ञात करें।
+* चरण 6: आंकड़ों में माध्यिका के लिए सूत्र लागू करें: माध्यिका = <math>l+\left [ \frac{(\frac{n}{2}-c)}{f} \right ]   \times h</math>
+इसे बेहतर समझने के लिए आइए एक उदाहरण देखें।
+निम्नलिखित आंकड़ों के लिए माध्यिका की गणना करें:
+{| class="wikitable"
+!अंक
+!छात्रों की संख्या
+|-
+|<math>0-20</math>
+|<math>6</math>
+|-
+|<math>20-40</math>
+|<math>20</math>
+|-
+|<math>40-60</math>
+|<math>37</math>
+|-
+|<math>60-80</math>
+|<math>10</math>
+|-
+|<math>80-100</math>
+|<math>7</math>
+|}
+'''हल:'''
+हमें माध्यिका ज्ञात करने के लिए संचयी बारंबारताओं की गणना करनी होगी।
+{| class="wikitable"
+|+
+!अंक
+!छात्रों की संख्या
+!संचयी बारंबारता
+|-
+|<math>0-20</math>
+|<math>6</math>
+|<math>0+6=6</math>
+|-
+|<math>20-40</math>
+|<math>20</math>
+|<math>6+20=26</math>
+|-
+|<math>40-60</math>
+|<math>37</math>
+|<math>26+37=63</math>
+|-
+|<math>60-80</math>
+|<math>10</math>
+|<math>63+10=73</math>
+|-
+|<math>80-100</math>
+|<math>7</math>
+|<math>73+7=80</math>
+|}
+<math>n=</math> संचयी बारंबारता का अंतिम मान<math>=80</math>
+चूँकि <math>n</math> सम है, इसलिए हम <math>\frac{n}{2}</math><sup>वें</sup> और <math>(\frac{n}{2}+1)</math><sup>वें</sup> प्रेक्षण का औसत ज्ञात करेंगे अर्थात् <math>40</math> से अधिक संचयी आवृत्ति <math>63</math> है और वर्ग <math>40-60</math> है। अत: माध्यिका वर्ग <math>40-60</math> है।
+<math>l=40 , f=37 ,c=26,h=20</math>
+माध्यिका सूत्र का उपयोग करने पर
+माध्यिका = <math>l+\left [ \frac{(\frac{n}{2}-c)}{f} \right ]   \times h</math>
+<math>=40+\left [ \frac{(\frac{80}{2}-26)}{37} \right ]   \times 20</math>
+<math>=40+\left [ \frac{(40-26)}{37} \right ]   \times 20</math>
+<math>=40+\left [ \frac{14}{37} \right ]   \times 20</math>
+<math>=40+7.57</math>
+माध्यिका <math>=47.57</math>
 [[Category:सांख्यिकी]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]