दिक्-कोसाइन: Difference between revisions

Latest revision as of 11:54, 16 December 2024

दिक्- कोसाइन, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः $x$ -अक्ष, $y$ -अक्ष, $z$ -अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोसाइन है। दिक्- कोसाइन की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या एक सरल रेखा के लिए की जा सकती है। यह त्रि- अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोसाइन है।

आइए दिक्- कोसाइन, दिक्- कोसाइन के बीच संबंध और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिक्- कोसाइन के बारे में अधिक जानें।

दिक्-कोसाइन

परिभाषा

दिक्- कोसाइन त्रि- आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या रेखा का संबंध त्रि- अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिक्- कोसाइन इस रेखा द्वारा क्रमशः $x$ -अक्ष, $y$ -अक्ष और $z$ -अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोसाइन है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण $\alpha$ , $\beta$ और $\gamma$ हैं, तो दिक्- कोसाइन क्रमशः $Cos\alpha ,Cos\beta ,Cos\gamma$ हैं।

एक सदिश ${\overrightarrow {A}}=a{\overset {\frown }{i}}+b{\overset {\frown }{j}}+c{\overset {\frown }{k}}$ के लिए दिक्- कोसाइन $Cos\alpha ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\beta ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\ Cos\gamma ={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

हैं।

दिक्- कोसाइन को $l,m,n$ द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम प्रायः दिक्- कोसाइन को इस प्रकार दर्शाते हैं $l={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},m={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},n={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ l त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु $A(a,b,c)$ के लिए दिक्- कोसाइन इस बिंदु को मूल $O$ से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन है। रेखा $OA$ की दिक्- कोसाइन है l $l={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},m={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},n={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

दिक्- कोसाइन के बीच संबंध

बिंदु $(a,b,c)$ को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन क्रमशः $Cos\alpha ,Cos\beta ,Cos\gamma$ है, और मूल बिंदु से इस बिंदु की दूरी $r$ है। यहाँ इन दिक्- कोसाइन के मान $Cos\alpha =a/r,Cos\beta =b/r,Cos\gamma =c/r$ . हैं दूरी $r$ का मान ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ है

यहाँ हमारा उद्देश्य इस बिंदु की दिक्- कोसाइन के बीच संबंध ज्ञात करना है। आइए हम बिंदु की दिक्- कोसाइन का वर्ग करें और उन्हें जोड़ें।

$Cos^{2}\alpha +Cos^{2}\beta +Cos^{2}\gamma =a^{2}/r^{2}+b^{2}/r^{2}+c^{2}/r^{2}$

$Cos^{2}\alpha +Cos^{2}\beta +Cos^{2}\gamma =(a^{2}+b^{2}+c^{2})/r^{2}$

लेकिन हमारे पास $r^{2}={a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ है। इसे उपरोक्त अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर हमें यह प्राप्त होता है।

$Cos^{2}\alpha +Cos^{2}\beta +Cos^{2}\gamma =r^{2}/r^{2}$

$Cos^{2}\alpha +Cos^{2}\beta +Cos^{2}\gamma =1$

आइए अब हम $l=Cos\alpha ,m=Cos\beta ,n=Cos\gamma$ पर विचार करें। इसलिए हमारे पास दिक्- कोसाइन के बीच संबंध $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ है।

त्रि-आयामी ज्यामिति में दिक्- कोसाइन

दो बिंदुओं $(x_{1},y_{1},z_{1})$ और $(x_{2},y_{2},z_{2})$ को मिलाने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन की गणना इन दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाओं के दिक्- अनुपातों का उपयोग करके और इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करके आसानी से की जा सकती है। इन दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा का दिक्- अनुपात $x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}$ है। और इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी ${\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}$ है।

किसी रेखा की दिक्- कोसाइन की गणना दो बिंदुओं के बीच की दूरी के साथ संबंधित दिक्- अनुपातों को विभाजित करके की जाती है। दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के लिए दिक्- कोसाइन का सूत्र इस प्रकार है।

दिक्-कोसाइन $=(x_{2}-x_{1}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2},y_{2}-y_{1}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2},z_{2}-z_{1}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2})$

उदाहरण

उदाहरण : बिंदु $(-4,2,3)$ को मूल बिंदु से मिलाने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन ज्ञात करें।

समाधान:

मूल बिंदु $(0,0,0)$ और बिंदु $(-4,2,3)$ को मिलाने वाली रेखा के लिए दिक्- अनुपात $-4,2,3$ हैं।

रेखा का परिमाण $={\sqrt {(-4)^{2}+2^{2}+3^{2})}}={\sqrt {29}}$

इसलिए दिक्- कोसाइन $(-4/{\sqrt {29}},2/{\sqrt {29}},3/{\sqrt {29}})$ हैं।

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-Direction cosines
+दिक्- कोसाइन, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष, <math>z</math>-अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोसाइन है। दिक्- कोसाइन की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या एक सरल [[रेखा]] के लिए की जा सकती है। यह त्रि- अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोसाइन है।
+आइए दिक्- कोसाइन, दिक्- कोसाइन के बीच संबंध और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिक्- कोसाइन के बारे में अधिक जानें।
+[[File:दिक्-कोसाइन.jpg|thumb|दिक्-कोसाइन|251x251px]]
+== परिभाषा ==
+दिक्- कोसाइन त्रि- आयामी अंतरिक्ष में एक [[सदिश गुणन|सदिश]] या रेखा का संबंध त्रि- अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिक्- कोसाइन इस रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष और <math>z</math>-अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोसाइन है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>और <math>\gamma</math> हैं, तो दिक्- कोसाइन क्रमशः <math>Cos\alpha, Cos\beta, Cos\gamma</math> हैं।
+एक सदिश <math>\overrightarrow{A}=a\overset{\frown}{i}+b\overset{\frown}{j}+c \overset{\frown}{k} </math>  के लिए दिक्- कोसाइन <math> Cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\gamma = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
+हैं।
+दिक्- कोसाइन को <math>l, m, n</math> द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम प्रायः दिक्- कोसाइन को इस प्रकार दर्शाते हैं <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math> l  त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु <math>A (a, b, c)</math>के लिए दिक्- कोसाइन इस बिंदु को मूल <math>O</math> से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन है। रेखा <math>OA</math> की दिक्- कोसाइन है  l <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
+== दिक्- कोसाइन के बीच संबंध ==
+बिंदु <math>(a, b, c)</math> को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन क्रमशः <math>Cos\alpha, Cos\beta, Cos\gamma</math>  है, और मूल बिंदु से इस बिंदु की दूरी <math>r</math> है। यहाँ इन दिक्- कोसाइन के मान <math>Cos\alpha = a/r, Cos\beta=b/r, Cos\gamma=c/r</math>.  हैं  दूरी <math>r</math> का मान <math>\sqrt{a^2+b^2+c^2}</math> है
+यहाँ हमारा उद्देश्य इस बिंदु की दिक्- कोसाइन के बीच संबंध ज्ञात करना है। आइए हम बिंदु की दिक्- कोसाइन का वर्ग करें और उन्हें जोड़ें।
+<math>Cos^2\alpha + Cos^2\beta + Cos^2\gamma = a^2/r^2 + b^2/r^2 + c^2/r^2</math>
+<math>Cos^2\alpha + Cos^2\beta + Cos^2\gamma = (a^2+ b^2 + c^2)/r^2</math>
+लेकिन हमारे पास <math>r^2= {a^2+b^2+c^2}</math> है। इसे उपरोक्त अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर हमें यह प्राप्त होता है।
+<math>Cos^2\alpha + Cos^2\beta + Cos^2\gamma = r^2/r^2</math>
+<math>Cos^2\alpha + Cos^2\beta + Cos^2\gamma =1</math>
+आइए अब हम <math>l = Cos\alpha, m = Cos\beta, n = Cos\gamma</math> पर विचार करें। इसलिए हमारे पास दिक्- कोसाइन के बीच संबंध <math>l^2 + m^2 + n^2 = 1</math> है।
+== त्रि-आयामी ज्यामिति में दिक्- कोसाइन ==
+दो बिंदुओं <math>(x_1,y_1,z_1)</math>और <math>(x_2,y_2,z_2)</math> को मिलाने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन की गणना इन दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाओं के दिक्- अनुपातों का उपयोग करके और इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करके आसानी से की जा सकती है। इन दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा का दिक्- अनुपात <math>x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1</math> है। और इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी <math>\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}</math> है।
+किसी रेखा की दिक्- कोसाइन की गणना दो बिंदुओं के बीच की दूरी के साथ संबंधित दिक्- अनुपातों को विभाजित करके की जाती है। दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के लिए दिक्- कोसाइन का सूत्र इस प्रकार है।
+दिक्-कोसाइन <math>=(x_2-x_1\sqrt{(x_2-x_1)^2}+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2,y_2-y_1\sqrt{(x_2-x_1)^2}+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2,z_2-z_1\sqrt{(x_2-x_1)^2}+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1) ^2)</math>
+== उदाहरण ==
+'''उदाहरण''' : बिंदु <math>(-4, 2, 3)</math> को मूल बिंदु से मिलाने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन ज्ञात करें।
+'''समाधान''':
+मूल बिंदु <math>(0, 0, 0)</math>और बिंदु <math>(-4, 2, 3)</math> को मिलाने वाली रेखा के लिए दिक्- अनुपात <math>-4, 2, 3</math> हैं।
+रेखा का परिमाण <math>=\sqrt{(-4)^2+2^2+3^2)}=\sqrt{29}</math>
+इसलिए दिक्- कोसाइन <math>(-4/\sqrt{29}, 2/\sqrt{29}, 3/\sqrt{29})</math> हैं।
+इसलिए दिक्- कोसाइन <math>(-4/\sqrt{29}, 2/\sqrt{29}, 3/\sqrt{29})</math> हैं।
 [[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]
 [[Category:सदिश बीजगणित]]