त्रिभुज के गुण: Difference between revisions

Latest revision as of 10:55, 18 September 2024

प्रमेय 1: समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं

चित्र 1- समद्विबाहु त्रिभुज

प्रमाण: चित्र 1 में दिखाए गए समद्विबाहु त्रिभुज $BCA$ पर विचार करें, जहाँ $AB=AC$ है।

हमें यह सिद्ध करना होगा कि भुजाओं $AB$ और $AC$ के सम्मुख कोण समान अर्थात् $\angle ABC=\angle ACB$ हैं।

हम पहले $\angle BAC$ का एक समद्विभाजक बनाते हैं और इसे $AD$ नाम देते हैं।

अब $\triangle BAD$ और $\triangle CAD$ में हमारे पास है,

$AB=AC$ (दिया हुआ)

$\angle BAD=\angle CAD$ (संरचना से)

$AD=AD$ (दोनों में समान)

अत:, $\triangle BAD\cong \triangle CAD$ (SAS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा)

इसलिए, $\angle ABC=\angle ACB$ (CPCT द्वारा)

अतः सिद्ध हुआ।

प्रमेय 2: किसी त्रिभुज के समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।

प्रमाण: चित्र-1 में दिखाए गए त्रिभुज $BCA$ में, आधार कोण समान हैं और हमें यह प्रमाणित करने की आवश्यकता है कि $AB=AC$ या

$BCA$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

एक समद्विभाजक $AD$ की रचना कीजिए जो भुजा $BC$ से समकोण पर मिलता है।

अब $\triangle BAD$ और $\triangle CAD$ में हमारे पास है,

$\angle BAD=\angle CAD$ (संरचना से)

$AD=AD$ (समान भुजाएँ)

$\angle BDA=\angle CDA=90^{\circ }$ (संरचना से)

अत:, $\triangle BAD\cong \triangle CAD$ (ASA सर्वांगसमता मानदंड द्वारा)

इसलिए, $AB=AC$ (CPCT द्वारा)

अथवा $\triangle BCA$ समद्विबाहु है।

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+प्रमेय 1: समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं
+[[File:Isosceles Triangle -1.jpg|alt=Fig 1 - Isosceles triangle|none|thumb|चित्र 1-  समद्विबाहु त्रिभुज]]
+प्रमाण: चित्र 1 में दिखाए गए समद्विबाहु त्रिभुज <math>BCA</math> पर विचार करें, जहाँ <math>AB=AC</math> है।
+हमें यह सिद्ध करना होगा कि भुजाओं <math>AB</math>और <math>AC</math> के सम्मुख कोण समान अर्थात् <math>\angle ABC = \angle ACB</math> हैं।
+हम पहले <math>\angle BAC</math>का एक समद्विभाजक बनाते हैं और इसे <math>AD</math> नाम देते हैं।
+अब <math>\triangle BAD</math> और <math>\triangle CAD</math> में हमारे पास है,
+<math>AB=AC</math>                                                       (दिया हुआ)
+<math>\angle BAD =\angle CAD </math>                                      (संरचना से)
+<math>AD=AD</math>                                                           (दोनों में समान)
+अत:,  <math>\triangle BAD \cong \triangle CAD</math>                            (SAS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा)
+इसलिए, <math>\angle ABC =\angle ACB </math>                                    (CPCT द्वारा)
+अतः सिद्ध हुआ।
+प्रमेय 2: किसी त्रिभुज के समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।
+प्रमाण: चित्र-1 में दिखाए गए त्रिभुज <math>BCA</math> में, आधार कोण समान हैं और हमें यह प्रमाणित करने की आवश्यकता है कि <math>AB=AC</math> या
+<math>BCA</math> एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
+एक समद्विभाजक <math>AD</math> की रचना कीजिए जो भुजा <math>BC</math> से समकोण पर मिलता है।
+अब  <math>\triangle BAD</math> और <math>\triangle CAD</math> में हमारे पास है,
+<math>\angle BAD =\angle CAD </math>                                         (संरचना से)
+<math>AD=AD</math>                                                      (समान भुजाएँ)
+<math>\angle BDA =\angle CDA = 90^\circ </math>                               (संरचना से)
+अत:, <math>\triangle BAD \cong \triangle CAD</math>                                 (ASA सर्वांगसमता मानदंड द्वारा)
+इसलिए,  <math>AB=AC</math>                                            (CPCT द्वारा)
+अथवा <math>\triangle BCA</math> समद्विबाहु है।
 [[Category:त्रिभुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
-Properties of a Triangle