AP का nवाँ पद: Difference between revisions
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संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला, जिसमें दो क्रमागत संख्याओं के बीच का सार्व अंतर स्थिर रहता है,ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम समांतर श्रेढ़ी कहते हैं । | |||
=== उदाहरण === | |||
# <math>1 ,3, 5, 7 ,9, 11, ....</math> | |||
# <math>2, 4, 6, 8, 10, 12,....</math> | |||
# <math>5, 3, 1, -1, -3, -5,...</math> | |||
# <math>9.25, 9.35, 9.45, 9.55, 9.65,...</math> | |||
उपर्युक्त उदाहरणों मे प्रत्येक अगला पद, पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । इस निश्चित संख्या को हम सार्व अंतर कहते हैं । यह धनात्मक, ऋणात्मक, और शून्य भी हो सकती है । अतः, ये सभी उदाहरण समांतर श्रेढ़ीयों के उदाहरण हैं। | |||
== समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप == | |||
समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप निम्न रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है । | |||
<math>a , a+d , a+2d , a+3d , a+4d , a+5d , a+6d,.....</math> | |||
जहां <math>a</math> प्रथम पद तथा <math>d</math> सार्व अंतर है । | |||
== समांतर श्रेढ़ी के n वे पद का सूत्र == | |||
मान लीजिए <math>a_1 , a_2 , a_3 ,....</math> एक समांतर श्रेढ़ी है , जिसका पहला पद <math>a</math> तथा सार्व अंतर <math>d</math> है । | |||
तब , दूसरा पद | |||
<math>a_2=a+d</math> | |||
<math>a_2=a+ (2-1)d</math> | |||
तीसरा पद | |||
<math>a_3=a_2+d</math> | |||
<math>a_3=(a+d)+d</math> | |||
<math>a_3= a+ (3-1)d</math> | |||
इसी क्रम में आगे बढ़ते हुए, हम कह सकते हैं कि , | |||
<math>n^{th}</math> पद <math>a_n=a+(n-1)d</math> | |||
यहाँ , <math>a_n</math> = <math>n^{th}</math> पद | |||
<math>a =</math> पहला पद | |||
<math>n=</math> पदों की संख्या | |||
<math>d =</math> सार्व अंतर | |||
=== उदाहरण 1 === | |||
1) समान्तर श्रेढ़ी <math>12, 18, 24, 30, 36,...</math> का <math>9^{th}</math> पद ज्ञात कीजिये। | |||
हल | |||
पहला पद <math>a = 12</math> | |||
सार्व अंतर <math>d=18-12=6</math> | |||
पदों की संख्या <math>n= 9</math> | |||
<math>9^{th}</math> पद <math>a_9</math> <math>= ?</math> | |||
<math>n^{th}</math> पद के सूत्र द्वारा , | |||
<math>a_n=a+(n-1)d</math> | |||
<math>a_9 = 12 + (9 - 1)6</math> | |||
<math>a_9 = 12 + (8)6 </math> | |||
<math>a_9=12+48</math> | |||
<math>a_9=60</math> | |||
अर्थात , दी गई समान्तर श्रेढ़ी का <math>9^{th}</math> पद <math>60</math> है। | |||
=== उदाहरण 2 === | |||
समान्तर श्रेढ़ी <math>8, 12, 16,...</math> का कौन सा पद <math>400</math> है? | |||
हल | |||
प्रथम पद <math>a=8</math> | |||
सार्व अंतर <math>d = 12- 8 = 4</math> | |||
<math>n^{th}</math> पद <math>a_n = 400</math> | |||
पदों की संख्या <math>n= ?</math> | |||
<math>n^{th}</math> पद के सूत्र द्वारा , | |||
<math>a_n=a+(n-1)d</math> | |||
<math>400= 8 + (n - 1)4</math> | |||
<math>400 - 8 = 4n - 4</math> | |||
<math>392 = 4n - 4</math> | |||
<math>392 + 4 = 4n</math> | |||
<math>4n = 396</math> | |||
<math>n=\frac{396}{4}</math> | |||
<math>n = 99</math> | |||
अर्थात, दी गई समांतर श्रेढ़ी में कुल <math>99</math> पद हैं । | |||
== अभ्यास प्रश्न == | |||
# समांतर श्रेढ़ी <math>2, 7, 12,...</math> का दसवां पद क्या होगा ? | |||
# समांतर श्रेढ़ी <math>21,18,15,...</math> का कौन सा पद <math>-87</math> होगा ? | |||
# दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ <math>3</math> से विभाज्य हैं ? | |||
# <math>n</math> के किस मान के लिए, दो समांतर श्रेढ़ीयों <math>63, 65, 67, . .</math> और <math>3, 10, 17, . . .</math> के <math>n^{th}</math> पद बराबर हैं ? | |||
Latest revision as of 12:12, 1 October 2023
संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला, जिसमें दो क्रमागत संख्याओं के बीच का सार्व अंतर स्थिर रहता है,ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम समांतर श्रेढ़ी कहते हैं ।
उदाहरण
उपर्युक्त उदाहरणों मे प्रत्येक अगला पद, पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । इस निश्चित संख्या को हम सार्व अंतर कहते हैं । यह धनात्मक, ऋणात्मक, और शून्य भी हो सकती है । अतः, ये सभी उदाहरण समांतर श्रेढ़ीयों के उदाहरण हैं।
समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप
समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप निम्न रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है ।
जहां प्रथम पद तथा सार्व अंतर है ।
समांतर श्रेढ़ी के n वे पद का सूत्र
मान लीजिए एक समांतर श्रेढ़ी है , जिसका पहला पद तथा सार्व अंतर है ।
तब , दूसरा पद
तीसरा पद
इसी क्रम में आगे बढ़ते हुए, हम कह सकते हैं कि ,
पद
यहाँ , = पद
पहला पद
पदों की संख्या
सार्व अंतर
उदाहरण 1
1) समान्तर श्रेढ़ी का पद ज्ञात कीजिये।
हल
पहला पद
सार्व अंतर
पदों की संख्या
पद
पद के सूत्र द्वारा ,
अर्थात , दी गई समान्तर श्रेढ़ी का पद है।
उदाहरण 2
समान्तर श्रेढ़ी का कौन सा पद है?
हल
प्रथम पद
सार्व अंतर
पद
पदों की संख्या
पद के सूत्र द्वारा ,
अर्थात, दी गई समांतर श्रेढ़ी में कुल पद हैं ।
अभ्यास प्रश्न
- समांतर श्रेढ़ी का दसवां पद क्या होगा ?
- समांतर श्रेढ़ी का कौन सा पद होगा ?
- दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ से विभाज्य हैं ?
- के किस मान के लिए, दो समांतर श्रेढ़ीयों और के पद बराबर हैं ?
