AP के प्रथम n पदों का योग: Difference between revisions

Latest revision as of 12:50, 18 September 2023

एक समांतर श्रेढ़ी में $n$ पद होते हैं और यदि हमें उस समांतर श्रेढ़ी के प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात करना है , तो हमें एक सूत्र की आवश्यकता होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को बिना सूत्र के जोड़ेंगे , तो इसे हल करने में अधिक समय लगने तथा प्रायः इस विधि से सही उत्तर नहीं प्राप्त होने के संभावनाएँ भी होंगी। इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले $n$ पदों को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।

समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र

मान लीजिए एक समांतर श्रेढ़ी है, जिसका पहला पद $a$ तथा सार्व अंतर $d$ है । इस श्रेढ़ी का $n^{th}$ पद $a_{n}=a+(n-1)d$ होगा ।

मान लीजिए $S$ इस श्रेढ़ी के $n$ पदों का योग दर्शाता है , तो हम कह सकते हैं कि ,

$S=a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+....+[a+(n-1)d]$ $........(1)$

उपर्युक्त दिए गए पदों को उल्टे क्रम मे लिखने पर, $S=[a+(n-1)d]+[a+(n-2)d]+[a+(n-3)d]+......+(a+d)+a$ $........(2)$

उपर्युक्त दिए गए समीकरण $(1)$ एवं $(2)$ को पद अनुसार जोड़ने पर,

$2S=[2a+(n-1)d]+[2a+(n-1)d]+.....+[2a+(n-1)d]+[2a+(n-1)d].......n$ बार

$2S=n[2a+(n-1)d]$

$S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$

$S=$ समांतर श्रेढ़ी के पहले $n$ पदों का योग

$a=$ पहला पद

$n=$ पदों की संख्या

$d=$ सार्व अंतर

उदाहरण 1

1. समान्तर श्रेढ़ी $1,10,19,28,...$ के पहले $16$ पदों का योग ज्ञात करो ।

हल

यहाँ, पहला पद $a=1$

सार्व अंतर $d=10-1=9$

पदों की संख्या $n=16$

$S_{16}$ ( पहले $16$ पदों का योग ) =?

पहले $n$ पदों के योग के सूत्र द्वारा,

$S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$

$S_{16}$ = ${\frac {16}{2}}[2\times 1+(16-1)9]$

$S_{16}$ $=8[2+15\times 9]$

$S_{16}$ $=8[2+135]$

$S_{16}$ $=8[137]$

$S_{16}$ $=1096$

अतः , समान्तर श्रेढ़ी के पहले $16$ पदों का योग $1096$ है ।

उदाहरण 2

किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम $14$ पदों का योग $1505$ है , तथा उसका पहला पद $10$ है , सार्व अंतर ज्ञात करें ?

हल

पहला पद $a=10$

$S_{14}$ ( पहले $14$ पदों का योग) = $1505$

पदों की संख्या $n=14$

पहले $n$ पदों के योग के सूत्र द्वारा,

$S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$

$1505={\frac {14}{2}}[2\times 10+(14-1)d]$

$1505=7(20+13d)$

${\frac {1505}{7}}=20+13d$

$215=20+13d$

$13d=215-20$

$13d=195$

$d={\frac {195}{13}}$

$d=15$

अतः , समान्तर श्रेढ़ी का सार्व अंतर $15$ है ।

अभ्यास प्रश्न

प्रथम $n$ धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए ।
समान्तर श्रेढ़ी के पहले $24$ पदों का योग ज्ञात कीजिए , जिसका $n^{th}$ पद $3+2n$ द्वारा दिए गया है ।

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 [[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
-पिछली इकाई में हमने समांतर श्रेणी के n<sup>th</sup> पद ( n<sup>th</sup> term) का मान निकालना सीख, हम जानते हैं कि एक समांतर श्रेणी में  (n terms)  n पद  होते हैं और यदि हमें उसे समांतर श्रेणी के ,प्रथम n  पदों का योग अर्थात ( sum of  first n terms of an AP), निकालना है तो हमें एक सूत्र की जरूरत होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को जोड़ेंगे तो इसे हल करने में अधिक समय लगेगा ।  कभी-कभी यह विधि सही उत्तर भी नहीं देगी, इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले n terms को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।
+[[Category:Vidyalaya Completed]]
+एक समांतर श्रेढ़ी में  <math>n</math> पद  होते हैं और यदि हमें उस समांतर श्रेढ़ी के प्रथम <math>n</math> पदों का योग ज्ञात करना है , तो हमें एक सूत्र की आवश्यकता होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को बिना सूत्र के जोड़ेंगे , तो इसे हल करने में अधिक समय लगने तथा प्रायः इस विधि से सही उत्तर नहीं प्राप्त होने के संभावनाएँ भी होंगी। इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले  <math>n</math> पदों को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।
-== समांतर श्रेणी के प्रथम n  पदों का योग ==
+== समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n  पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र ==
+मान लीजिए एक समांतर श्रेढ़ी है, जिसका पहला पद <math>a</math> तथा सार्व अंतर <math>d</math>  है ।
+इस  [[AP का nवाँ पद|श्रेढ़ी का <math>n^{th}</math> पद  <math>a_n=a+(n-1)d</math>]]  होगा ।
-'''S<sub>n</sub>= n/2[ 2a + (n-1)d]'''
+मान लीजिए <math>S</math> इस श्रेढ़ी के <math>n</math> पदों का योग दर्शाता है , तो हम कह सकते हैं कि ,
+<math>S= a+ (a+d)+(a+2d)+(a+3d)+....+[a+(n-1)d] </math>     <math>........(1)</math>
+उपर्युक्त दिए गए पदों को उल्टे क्रम मे लिखने पर,
+<math>S= [a+(n-1)d] + [a+(n-2)d] +[a+(n-3)d]+......+(a+d)+a      </math>      <math>........(2)</math>
-S<sub>n = समांतर श्रेणी  के प्रथम n  पदों का योग</sub>
+उपर्युक्त दिए गए समीकरण <math>(1)</math> एवं <math>(2)</math> को पद अनुसार जोड़ने पर,
-a = पहला पद ( first term)
+<math>2S= [2a+(n-1)d]+[2a+(n-1)d]+ ..... +[2a+(n-1)d]+[2a+(n-1)d] ....... n</math> बार
-n = पदों की संख्या (number of terms)
+<math>2S= n[2a+(n-1)d]</math>
-d = सार्व अंतर (common difference)
-=== <u>उदाहरण 1)-</u> ===
+<math>S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]</math>
-. समान्तर श्रेढ़ी : 1, 10, 19, 28 ………… के पहले 16 पदों का योग ज्ञात करो ।
-<u>हल</u> – यहाँ पहला पद (a) first term = 1
+<math>S =</math> समांतर श्रेढ़ी के पहले <math>n</math>  पदों का योग
-सार्व अंतर (d) common difference = 10 – 1 = 9
+<math>a =</math> पहला पद
-पदों की संख्या (n) number of terms = 16,
+<math>n =</math> पदों की संख्या
-  S<sub>16</sub> ( पहले 16 पदों का योग) =?
+<math>d =</math> सार्व अंतर
-पहले n पदों के योग के सूत्र द्वारा,  S<sub>n</sub>= n/2[ 2a + (n-1)d]
+=== उदाहरण 1 ===
+. समान्तर श्रेढ़ी  <math>1, 10, 19, 28, ...</math> के पहले  <math>16</math> पदों का योग ज्ञात करो ।
-मान रखने पर,    S<sub>16</sub> = 16/2[2⨯1 + (16 – 1)9]
+'''हल'''
- S<sub>16</sub> = 8[2 + 15⨯9]
+यहाँ, पहला पद  <math>a=1</math>
-  S<sub>16</sub> = 8[2 + 135]
+सार्व अंतर  <math>d=10-1=9</math>
-  S<sub>16</sub> = 8[137]
+पदों की संख्या  <math>n=16</math>
-  S<sub>16</sub> = 1096
+  <math>S_{16}</math> ( पहले  <math>16</math>पदों का योग ) =?
-इसलिए, पहले 16 पदों का योग 1096 है।
+पहले <math>n</math> पदों के योग के सूत्र द्वारा,
-=== <u>उदाहरण 2)-</u> ===
+<math>S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]</math>
-किसी समांतर श्रेणी के प्रथम 14 पदों का योग 1505 है, तथा उसका पहला पद 10 है ,उसका 25<sup>th</sup>पद ज्ञात करें?
-<u>हल</u> – यहाँ पहला पद (a) first term = 10
+<math>S_{16}</math>= <math>\frac{16}{2}[2\times1 + (16 - 1)9]</math>
-  S<sub>14</sub> ( पहले 14 पदों का योग) = 1505
+<math>S_{16}</math> <math>=8[2 + 15\times9] </math>
-पदों की संख्या (n) number of terms = 14
+<math>S_{16}</math> <math>=8[2 + 135] </math>
-पहले n पदों के योग के सूत्र द्वारा,  S<sub>n</sub>= n/2[ 2a + (n-1)d]
+<math>S_{16}</math> <math>= 8[137]</math>
-मान रखने पर, 1505= 14/2 [ 2 ⨯ 10 + ( 14-1)d]
+<math>S_{16}</math> <math>= 1096</math>
-= 7 ( 20+ 13d)
+अतः , समान्तर श्रेढ़ी के पहले <math>16</math> पदों  का योग <math>1096</math> है ।
-= 20+ 13d
+=== उदाहरण 2 ===
+किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम <math>14</math> पदों का योग <math>1505</math> है , तथा उसका पहला पद <math>10</math> है , सार्व अंतर ज्ञात करें ?
-d=195
+'''हल'''
-d=15 ( common difference)
+पहला पद  <math>a=10</math>
-समांतर श्रेणी के n वाँ पद का सूत्र  द्वारा,    a<sub>n</sub> = a + (n – 1)d
+<math>S_{14}</math> ( पहले <math>14</math> पदों का योग) = <math>1505</math>
-<sup>th</sup>पद= a + (25-1)d
+पदों की संख्या  <math>n=14</math>
-= 10+ 24 ⨯ 15
+पहले <math>n</math> पदों के योग के सूत्र द्वारा,
-= 370
+<math>S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]</math>
-समांतर श्रेणी का 25<sup>th</sup> पद 370   है।
+<math>1505= \frac{14}{2} [ 2 \times 10 + ( 14-1)d]</math>
+<math>1505= 7 ( 20+ 13d)</math>
+<math>\frac{1505}{7}= 20+ 13d</math>
+<math>215=20+13d</math>
+<math>13d=215-20</math>
+<math>13d=195</math>
+<math>d=\frac{195}{13}</math>
+<math>d=15</math>
+अतः , समान्तर श्रेढ़ी का सार्व अंतर  <math>15</math> है ।
 == अभ्यास प्रश्न ==
-# समांतर श्रेणी का योग ज्ञात करें      4-1/n, 7-2/n, 10-3/n, .................. n पदों तक ।
+# प्रथम <math>n</math> धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए  ।
-# समांतर श्रेणी  के a<sub>12</sub> तथा सर्व अंतर d  का मान क्रमशः 37 और 3 है ,  पहला पद ,  S<sub>12</sub>  ज्ञात करें   ।
+# समान्तर श्रेढ़ी के पहले <math>24</math> पदों का योग ज्ञात कीजिए , जिसका <math>n^{th}</math> पद <math>3+2n</math> द्वारा दिए गया है ।