AP का nवाँ पद: Difference between revisions
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संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला, जिसमें दो क्रमागत संख्याओं के बीच का सार्व अंतर स्थिर रहता है,ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम समांतर श्रेढ़ी कहते हैं । | |||
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उपर्युक्त उदाहरणों मे प्रत्येक अगला पद पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । इस निश्चित संख्या को हम सार्व अंतर कहते हैं । यह धनात्मक ऋणात्मक और शून्य भी हो सकती है । अतः , ये सभी उदाहरण समांतर | उपर्युक्त उदाहरणों मे प्रत्येक अगला पद, पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । इस निश्चित संख्या को हम सार्व अंतर कहते हैं । यह धनात्मक, ऋणात्मक, और शून्य भी हो सकती है । अतः, ये सभी उदाहरण समांतर श्रेढ़ीयों के उदाहरण हैं। | ||
== समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप == | == समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप == | ||
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== समांतर श्रेढ़ी के n वे पद का सूत्र == | == समांतर श्रेढ़ी के n वे पद का सूत्र == | ||
मान लीजिए <math>a_1 , a_2 , a_3 ,....</math> एक समांतर श्रेढ़ी है, जिसका पहला पद <math>a</math> तथा सार्व अंतर <math>d</math> है । | मान लीजिए <math>a_1 , a_2 , a_3 ,....</math> एक समांतर श्रेढ़ी है , जिसका पहला पद <math>a</math> तथा सार्व अंतर <math>d</math> है । | ||
तब , दूसरा पद | तब , दूसरा पद | ||
<math>a_2=a+d</math> | |||
<math>a_2=a+ (2-1)d</math> | <math>a_2=a+ (2-1)d</math> | ||
तीसरा पद | तीसरा पद | ||
<math>a_3=a_2+d</math> | |||
<math>a_3=(a+d)+d</math> | <math>a_3=(a+d)+d</math> | ||
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<math>9^{th}</math> पद <math>a_9</math> <math>= ?</math> | <math>9^{th}</math> पद <math>a_9</math> <math>= ?</math> | ||
<math>n^{th}</math> पद के सूत्र द्वारा , | <math>n^{th}</math> पद के सूत्र द्वारा , | ||
<math>a_n=a+(n-1)d</math> | |||
<math>a_9 = 12 + (9 - 1)6</math> | <math>a_9 = 12 + (9 - 1)6</math> | ||
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<math>a_9=12+48</math> | <math>a_9=12+48</math> | ||
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अर्थात , दी गई समान्तर श्रेढ़ी का <math>9^{th}</math> पद <math>60</math> है। | अर्थात , दी गई समान्तर श्रेढ़ी का <math>9^{th}</math> पद <math>60</math> है। | ||
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पदों की संख्या <math>n= ?</math> | पदों की संख्या <math>n= ?</math> | ||
<math>n^{th}</math> पद के सूत्र द्वारा , | |||
<math>a_n=a+(n-1)d</math> | |||
<math>400= 8 + (n - 1)4</math> | <math>400= 8 + (n - 1)4</math> | ||
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<math>n = 99</math> | <math>n = 99</math> | ||
अर्थात, दी गई समांतर श्रेढ़ी में कुल <math>99</math> | अर्थात, दी गई समांतर श्रेढ़ी में कुल <math>99</math> पद हैं । | ||
== अभ्यास प्रश्न == | == अभ्यास प्रश्न == | ||
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# समांतर श्रेढ़ी <math>21,18,15,...</math> का कौन सा पद <math>-87</math> होगा ? | # समांतर श्रेढ़ी <math>21,18,15,...</math> का कौन सा पद <math>-87</math> होगा ? | ||
# दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ <math>3</math> से विभाज्य हैं ? | # दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ <math>3</math> से विभाज्य हैं ? | ||
# <math>n</math> के किस मान के लिए, दो समांतर | # <math>n</math> के किस मान के लिए, दो समांतर श्रेढ़ीयों <math>63, 65, 67, . .</math> और <math>3, 10, 17, . . .</math> के <math>n^{th}</math> पद बराबर हैं ? | ||
Latest revision as of 12:12, 1 October 2023
संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला, जिसमें दो क्रमागत संख्याओं के बीच का सार्व अंतर स्थिर रहता है,ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम समांतर श्रेढ़ी कहते हैं ।
उदाहरण
उपर्युक्त उदाहरणों मे प्रत्येक अगला पद, पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । इस निश्चित संख्या को हम सार्व अंतर कहते हैं । यह धनात्मक, ऋणात्मक, और शून्य भी हो सकती है । अतः, ये सभी उदाहरण समांतर श्रेढ़ीयों के उदाहरण हैं।
समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप
समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप निम्न रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है ।
जहां प्रथम पद तथा सार्व अंतर है ।
समांतर श्रेढ़ी के n वे पद का सूत्र
मान लीजिए एक समांतर श्रेढ़ी है , जिसका पहला पद तथा सार्व अंतर है ।
तब , दूसरा पद
तीसरा पद
इसी क्रम में आगे बढ़ते हुए, हम कह सकते हैं कि ,
पद
यहाँ , = पद
पहला पद
पदों की संख्या
सार्व अंतर
उदाहरण 1
1) समान्तर श्रेढ़ी का पद ज्ञात कीजिये।
हल
पहला पद
सार्व अंतर
पदों की संख्या
पद
पद के सूत्र द्वारा ,
अर्थात , दी गई समान्तर श्रेढ़ी का पद है।
उदाहरण 2
समान्तर श्रेढ़ी का कौन सा पद है?
हल
प्रथम पद
सार्व अंतर
पद
पदों की संख्या
पद के सूत्र द्वारा ,
अर्थात, दी गई समांतर श्रेढ़ी में कुल पद हैं ।
अभ्यास प्रश्न
- समांतर श्रेढ़ी का दसवां पद क्या होगा ?
- समांतर श्रेढ़ी का कौन सा पद होगा ?
- दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ से विभाज्य हैं ?
- के किस मान के लिए, दो समांतर श्रेढ़ीयों और के पद बराबर हैं ?
