बहुपद: Difference between revisions

Latest revision as of 08:32, 5 November 2024

बहुपद चर, अचर और घातांक (केवल पूर्ण संख्याएँ) की संयुक्त अभिव्यक्ति है , जिसमें समांतर /अंकगणितीय व्यंजक जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग सम्मिलित होते हैं। सरल शब्दों में कहें तो, बीजगणित में धन $(+)$ और ऋण $(-)$ चिह्नों से संबंद्ध कई पदों के व्यंजक को बहुपद कहते हैं ।

$5y^{2}+19y$ , $10x$ , $z^{3}$ , $-99$ आदि बहुपद के कुछ उदाहरण हैं ।

बहुपद का मानक रूप

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+........+a_{1}x+a_{0}$

जहाँ $a_{n},a_{n-1},a_{n-2},.............,a_{1},a_{0}$ को $x^{n},x^{n-1},x^{n-2},......x$ का गुणांक कहा जाता है तथा $P(x)$ बहुपद हैं ।

बहुपद की पहचान

यदि किसी व्यंजक के सभी पदों की घात एक धनात्मक पूर्णांक होती हो , तो वह बहुपद कहलाता हैं। यदि किसी व्यंजक की घात, भिन्न, ऋणात्मक पूर्णांक या अपरिमेय संख्या होती है , तो वह बहुपद नहीं कहलाता हैं।

उदाहरण

$9x^{2}-x+8$ एक बहुपद है , क्योकि $x$ की घात धनात्मक हैं ।

${\sqrt {x}}+{\sqrt {2}}$ एक बहुपद नहीं है , क्योकि $x$ की घात परिमेय संख्या हैं ।

$z^{-2}+9$ एक बहुपद नही है , क्योंकि $z$ की घात ऋणात्मक हैं ।

बहुपद का निरूपण

बहुपद फलन को $P(x)$ द्वारा निरूपित किया जाता है , जहाँ $x$ चर का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए $P(x)=4x^{3}+2$

यदि चर को $a$ द्वारा निरूपित किया जाता है , तो बहुपद का निरूपण $P(a)$ द्वारा होगा ।

बहुपद की घात

यदि $P(x)$ एक बहुपद है, तो चर $x$ की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है ।

उदाहरण

बहुपद $19c^{45}+34c^{7}+987$ की घात ज्ञात कीजिए ।

उपर्युक्त दिए गए बहुपद में चर $c$ की उच्चतम घात $45$ है , अतः बहुपद की घात 45 होगी ।

घात के आधार पर बहुपदों का विभाजन

घात के आधार पर बहुपदों को निम्न वर्गों में विभाजित किया गया है :

1) रैखिक बहुपद : ऐसे बहुपद जिसमें चर की उच्चतम घात अर्थात बहुपद की घात एक हो , उन्हें हम रैखिक बहुपद कहते हैं । हम रैखिक बहुपद को $ax+b$ रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहाँ $a,b$ वास्तविक संख्याएं है एवं $a\neq 0$ हैं ।

उदाहरण : $2x-9,4z+8$ आदि ।

2) द्विघात बहुपद : ऐसे बहुपद जिसमें चर की उच्चतम घात अर्थात बहुपद की घात दो हो , उन्हें हम द्विघात बहुपद कहते हैं । हम द्विघात बहुपद को $ax^{2}+bx+c$ रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहाँ $a,b,c$ वास्तविक संख्याएं है एवं $a\neq 0$ हैं ।

उदाहरण : $2x^{2}-9x-9,4z^{2}+8$ आदि ।

3) घन बहुपद : ऐसे बहुपद जिसमें चर की उच्चतम घात अर्थात बहुपद की घात तीन हो , उन्हें हम घन बहुपद कहते हैं । हम घन बहुपद को $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहाँ $a,b,c,d$ वास्तविक संख्याएं है एवं $a\neq 0$ हैं ।

उदाहरण : $2-x^{3},9x^{3}-4x^{2}+3x+1$ आदि ।

पदों के आधार पर बहुपदों का विभाजन

पदों के आधार पर बहुपदों का विभाजन निम्नलिखित है ,

1) एकलपद : ऐसे व्यंजक जिनमें एक ही पद होता है , उन्हें हम एकलपद कहते हैं । उदाहरण : $9z^{2},3x$ आदि ।

2) द्विपद : ऐसे व्यंजक जिनमें दो पद होते हैं , उन्हें हम द्विपद कहते हैं । उदाहरण : $8t+3,10y^{2}-70$ आदि ।

3) त्रिपद : ऐसे व्यंजक जिनमें तीन पद होते हैं , उन्हें हम त्रिपद कहते हैं । उदाहरण : $7x^{3}+7x+9,9z^{2}+9z+3$ आदि ।

बहुत से ऐसे व्यंजक होते हैं , जिनमें तीन से अधिक पद होते हैं , उन्हें हम बहुपदों की श्रेणी में रखते हैं ।

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 [[Category:बहुपद]]
-बहुपद चर, अचर और घातांक (केवल पूर्ण संख्याएँ) की संयुक्त अभिव्यक्ति है , जिसमें अंकगणितीय व्यंजक जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग सम्मिलित होते हैं। सरल शब्दों में कहें तो, बीजगणित में धन <math>(+)</math> और ऋण <math>(-)</math> चिह्नों से संबंद्ध कई पदों के व्यंजक को बहुपद कहते हैं।
+बहुपद चर, अचर और घातांक (केवल पूर्ण संख्याएँ) की संयुक्त अभिव्यक्ति है , जिसमें समांतर /अंकगणितीय व्यंजक जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग सम्मिलित होते हैं। सरल शब्दों में कहें तो, बीजगणित में धन <math>(+)</math> और ऋण <math>(-)</math> चिह्नों से संबंद्ध कई पदों के व्यंजक को बहुपद कहते हैं ।
 <math>5y^2+19y</math> , <math>10x</math> , <math>z^3</math>, <math>-99</math> आदि बहुपद के कुछ उदाहरण हैं ।
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 <math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+........+a_1x+a_0</math>
-जहाँ <math>a_n,a_{n-1},a_{n-2},.............,a_1,a_0</math>   को  <math>x^n,x^{n-1},x^{n-2},......x</math>  का गुणांक  कहा जाता है तथा <math>P(x)</math> बहुपद हैं ।
+जहाँ   <math>a_n,a_{n-1},a_{n-2},.............,a_1,a_0</math>   को  <math>x^n,x^{n-1},x^{n-2},......x</math>  का गुणांक  कहा                     जाता है            तथा <math>P(x)</math> बहुपद हैं ।
 == बहुपद की पहचान ==
-यदि किसी व्यंजक के सभी पदों की घात एक धनात्मक पूर्णाक होती हो , तो वह बहुपद कहलाता हैं। यदि किसी व्यंजक की घात, भिन्न, ऋणात्मक पूर्णाक या अपरिमेय संख्या होती है , तो वह बहुपद नहीं कहलाता हैं।
+यदि किसी व्यंजक के सभी पदों की घात एक धनात्मक पूर्णांक होती हो , तो वह बहुपद कहलाता हैं। यदि किसी व्यंजक की घात, भिन्न, ऋणात्मक पूर्णांक  या अपरिमेय संख्या होती है , तो वह बहुपद नहीं कहलाता हैं।
 === उदाहरण ===
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 === उदाहरण ===
+बहुपद  <math>19c^{45}+34c^{7}+987</math>  की घात ज्ञात कीजिए ।
+उपर्युक्त दिए गए बहुपद में चर <math>c</math> की उच्चतम घात <math>45</math> है , अतः बहुपद की घात 45 होगी ।
+=== घात के आधार पर बहुपदों का विभाजन ===
+घात के आधार पर बहुपदों को निम्न वर्गों में विभाजित किया गया है :
+) [[रैखिक बहुपद]] : ऐसे बहुपद जिसमें चर की उच्चतम घात अर्थात बहुपद की घात एक हो , उन्हें हम रैखिक बहुपद कहते हैं । हम रैखिक बहुपद को <math>ax+b</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहाँ <math>a,b</math>  वास्तविक संख्याएं है एवं <math>a\neq0</math> हैं ।
-[[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]][[Category:गणित]]
+उदाहरण : <math>2x-9 , 4z+8 </math> आदि ।
+) द्विघात बहुपद : ऐसे बहुपद जिसमें चर की उच्चतम घात अर्थात बहुपद की घात दो हो , उन्हें हम द्विघात बहुपद कहते हैं । हम द्विघात बहुपद को <math>ax^2+bx+c</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहाँ <math>a,b,c</math>  वास्तविक संख्याएं है एवं <math>a\neq0</math> हैं ।
+उदाहरण : <math>2x^2-9x-9   ,    4z^2+8 </math> आदि ।
+) घन बहुपद : ऐसे बहुपद जिसमें चर की उच्चतम घात अर्थात बहुपद की घात तीन हो , उन्हें हम घन बहुपद कहते हैं । हम घन बहुपद को <math>ax^3+bx^2+cx+d</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहाँ <math>a,b,c,d</math>  वास्तविक संख्याएं है एवं <math>a\neq0</math> हैं ।
+उदाहरण : <math>2-x^3, 9x^3-4x^2+3x+1 </math> आदि ।
+== पदों के आधार पर  बहुपदों का विभाजन ==
+पदों के आधार पर  बहुपदों का विभाजन निम्नलिखित है ,
+) एकलपद : ऐसे व्यंजक जिनमें  एक ही पद होता है , उन्हें हम एकलपद कहते हैं । उदाहरण :  <math>9z^2 , 3x </math> आदि ।
+)  [[द्विपद]] :  ऐसे व्यंजक जिनमें  दो पद होते हैं , उन्हें हम द्विपद कहते हैं  । उदाहरण : <math>8t+3 , 10y^2-70</math> आदि ।
+)  [[त्रिपद]] :  ऐसे व्यंजक जिनमें तीन पद होते हैं , उन्हें हम त्रिपद कहते हैं  । उदाहरण : <math>7x^3+7x+9 , 9z^2+9z+3</math> आदि ।
+बहुत से ऐसे व्यंजक होते हैं , जिनमें तीन से अधिक पद होते हैं , उन्हें हम बहुपदों की श्रेणी में रखते हैं ।
+[[Category:गणित]]
+[[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
+[[Category:Vidyalaya Completed]]