रैखिक बहुपद: Difference between revisions

Latest revision as of 13:22, 10 October 2023

रैखिक बहुपद ऐसे बहुपद होते हैं जिसमें चर की उच्चतम घात अर्थात बहुपद की घात एक होती हैं । हम रैखिक बहुपद को $ax+b$ रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहाँ $a,b$ वास्तविक संख्याएं है एवं $a\neq 0$ हैं । उदाहरण : $2x-9,4z+8$ आदि ।

रैखिक बहुपद की घात

यदि $p(x)$ एक रैखिक बहुपद है, तो चर की उच्चतम घात रैखिक बहुपद की घात कहलाती है । रैखिक बहुपद की घात एक होती हैं ।

उदाहरण 1

स्पष्ट करें कि $19r+5$ रैखिक बहुपद है या नहीं ?

हल

उपर्युक्त बहुपद $19r+5$ में चर $r$ की घात एक है , अतः यह एक रैखिक बहुपद का उदाहरण है ।

उदाहरण 2

स्पष्ट करें , निम्न में से कौन सा बहुपद रैखिक बहुपद नहीं है ?

$p(y)=8y+16$
$p(y)=18y+21$
$p(x)=19x-10x^{2}-22$
$p(z)=9z^{2}$

हल

बहुपद $p(y)=8y+16$ में चर $y$ की घात $1$ है , अतः यह रैखिक बहुपद है ।
बहुपद $p(y)=18y+21$ में चर $y$ की घात एक है , अतः यह रैखिक बहुपद है ।
बहुपद $p(x)=19x-10x^{2}-22$ में चर $x$ की उच्चतम घात $2$ है , अतः यह एक रैखिक बहुपद नहीं है ।
बहुपद $p(z)=9z^{2}$ में चर $z$ की उच्चतम घात $2$ है , अतः यह एक रैखिक बहुपद नहीं है ।

रैखिक बहुपद के शून्यक

रैखिक बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए हम उस बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं और उसमें चर का मान ज्ञात करते हैं। चर का मान बहुपद का शून्यक या मूल कहलाता हैं जो बहुपद की घात पर निर्भर करता है ।

यदि $k$ , $p(x)=ax+b$ का एक शून्यक है ,

$p(k)=ak+b=0$

अर्थात, $k={\frac {-b}{a}}$

अतः , रैखिक बहुपद $p(x)=ax+b$ का शून्यक $k={\frac {-b}{a}}$ है ।

उदाहरण

रैखिक बहुपद $p(x)=9x+15$ का शून्यक ज्ञात करें ?

हल

शून्यक ज्ञात करने के लिए , हम रैखिक बहुपद $p(x)=9x+15$ को शून्य के बराबर रखते हैं ,

$p(x)=0$

$9x+15=0$

$9x=-15$

$x={\frac {-15}{9}}$

सरलतम रूप में परिवर्तित करने के लिए अंश एवं हर में $3$ से भाग देने पर ,

$x={\frac {-5}{3}}$

अतः , रैखिक बहुपद $p(x)=9x+15$ का शून्यक $x={\frac {-5}{3}}$ है ।

रैखिक बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध

रैखिक बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध^[1] होता है जो कि निम्नवत है :

हम जानते हैं , रैखिक बहुपद $p(x)=ax+b$ का शून्यक $k={\frac {-b}{a}}$ है ।

अतः , ${\frac {-b}{a}}=$ ( $-$ अचर पद) / $x$ का गुणांक ) रैखिक बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध है ।

उदाहरण

रैखिक बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध के प्रयोग से सिद्ध करें कि रैखिक बहुपद $p(y)=3y+6$ का शून्यक $-2$ है ।

हल

मान लीजिए , रैखिक बहुपद $p(y)=3y+6$ का शून्यक $k$ है $......(1)$

हम जानते हैं , रैखिक बहुपद $p(x)=ax+b$ का शून्यक $k={\frac {-b}{a}}$ होता है ,

जहाँ , ${\frac {-b}{a}}=$ ( $-$ अचर पद) / $x$ का गुणांक )

समीकरण $(1)$ से मान रखने पर ,

${\frac {-b}{a}}=$ ${\frac {-6}{3}}$

$=-2$

अतः , रैखिक बहुपद $p(y)=3y+6$ का शून्यक $-2$ है ।

अभ्यास प्रश्न

रैखिक बहुपद $p(x)=11+{\frac {2}{x}}$ का शून्यक ज्ञात करें ?
रैखिक बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध के प्रयोग से सिद्ध करें कि रैखिक बहुपद $p(z)=10z-20$ का शून्यक $2$ है ।

संदर्भ

↑ MATHEMATICS(NCERT) (revised ed.). p. 11. ISBN 81-7450-634-9.

[1] MATHEMATICS(NCERT) (revised ed.). p. 11. ISBN 81-7450-634-9.

[1]

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 === उदाहरण 2 ===
-निम्न में से कौन सा बहुपद रैखिक बहुपद नहीं है ,  स्पष्ट करें ?
+स्पष्ट करें ,  निम्न में से कौन सा बहुपद रैखिक बहुपद नहीं है ?
 # <math>p(y)=8y+16</math>
-# <math>p(x)= 8y+21x</math>
+# <math>p(y)= 18y+21</math>
-# <math>p(x)=4x+\frac{2}{x}</math>
+# <math>p(x)=19x-10x^2-22</math>
 # <math>p(z)=9z^2</math>
 हल
-# बहुपद  <math>p(y)=8y+16</math>  में चर <math>y</math> की घात <math>1</math> है , अतः यह <math>1</math> रैखिक बहुपद  है ।
+# बहुपद  <math>p(y)=8y+16</math>  में चर <math>y</math> की घात <math>1</math> है , अतः यह रैखिक बहुपद  है ।
-# बहुपद  <math>p(x)= 8y+21x</math>  में चर  <math>x</math> , <math>y</math>  की घात एक है , अतः यह <math>1</math> रैखिक बहुपद  है ।
+# बहुपद  <math>p(y)= 18y+21</math>  में चर  <math>y</math>  की घात एक है , अतः यह रैखिक बहुपद  है ।
-# बहुपद <math>p(x)=4x+\frac{2}{x}</math> व्यवस्थित रूप में लिखने पर हम देखते हैं कि चर <math>x</math> की उच्चतम घात <math>2</math> है , अतः यह एक रैखिक बहुपद नहीं है ।
+# बहुपद  <math>p(x)=19x-10x^2-22</math> में  चर <math>x</math> की उच्चतम घात <math>2</math> है , अतः यह एक रैखिक बहुपद नहीं है ।
 # बहुपद <math>p(z)=9z^2</math> में चर <math>z</math> की उच्चतम घात <math>2</math> है , अतः यह एक रैखिक बहुपद नहीं है ।
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 == रैखिक बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध ==
-रैखिक बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध होता है जो कि निम्नवत है :
+रैखिक बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध<ref>{{Cite book |title=MATHEMATICS(NCERT) |isbn=81-7450-634-9 |edition=revised |pages=11}}</ref> होता है जो कि निम्नवत है :
 हम जानते हैं ,   रैखिक बहुपद  <math>p(x)=ax+b</math>  का शून्यक <math>k=\frac{-b}{a}</math>  है ।
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 अतः , <math>\frac{-b}{a}=</math>  (<math>-</math>अचर पद) / <math>x</math> का गुणांक )   रैखिक बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध है ।
+=== उदाहरण ===
+रैखिक बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध के प्रयोग से सिद्ध करें कि  रैखिक बहुपद  <math>p(y)=3y+6</math> का शून्यक <math>-2</math> है ।
+हल
+मान लीजिए , रैखिक बहुपद <math>p(y)=3y+6</math> का शून्यक <math>k</math>  है                <math>......(1)</math>
+हम जानते हैं ,  रैखिक बहुपद  <math>p(x)=ax+b</math>  का शून्यक <math>k=\frac{-b}{a}</math>  होता है ,
+जहाँ ,  <math>\frac{-b}{a}=</math>  (<math>-</math>अचर पद) / <math>x</math> का गुणांक )
+समीकरण <math>(1)</math> से  मान रखने पर ,
+<math>\frac{-b}{a}=</math> <math>\frac{-6}{3}</math>
+<math>= -2</math>
+अतः , रैखिक बहुपद  <math>p(y)=3y+6</math> का शून्यक <math>-2</math> है ।
+== अभ्यास प्रश्न ==
+# रैखिक बहुपद  <math>p(x)=11+\frac{2}{x}</math>  का शून्यक ज्ञात करें ?
+# रैखिक बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध के प्रयोग से सिद्ध करें कि  रैखिक बहुपद  <math>p(z)=10z-20</math> का शून्यक <math>2</math> है ।
+== संदर्भ ==
 [[Category:बहुपद]]
 [[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
+[[Category:Vidyalaya Completed]]