प्रायोगिक प्रायिकता: Difference between revisions

Latest revision as of 12:01, 21 November 2023

किसी प्रयोग के परिणामों के आधार पर जो प्रायिकता निर्धारित की जाती है , उसे प्रयोगात्मक प्रायिकता कहा जाता है। इसे आनुभविक संभाव्यता के रूप में भी जाना जाता है । प्रायोगिक प्रायिकता^[1] एक प्रायिकता है जो प्रयोगों की एक श्रृंखला के आधार पर निर्धारित की जाती है । उनकी संभावना निर्धारित करने के लिए एक यादृच्छिक प्रयोग किया जाता है और अनेक बार दोहराया जाता है , और प्रत्येक पुनरावृत्ति को हम परीक्षण के रूप में मानते है । किसी घटना के घटित होने या न घटित होने की संभावना का पता लगाने के लिए प्रयोग किया जाता है । यह सिक्का उछालना, पासा फेकना या स्पिनर घुमाना हो सकता है ।

विशेषताएं

प्रायोगिक प्रायिकता की विशेषताएं निम्नलिखित हैं :

प्रायोगिक प्रायिकता निर्धारित करने के लिए प्रयोग करने की आवश्यकता होती है ।
इस प्रायिकता को जानने के लिए हम किसी घटना के घटित होने की संख्या और परीक्षणों की कुल संख्या को विभाजित करते हैं ।
प्रायोगिक प्रायिकता केवल 'अनुमान' होती हैं ।
प्रायोगिक प्रायिकता को ऐसे प्रयोग की प्रत्येक घटना पर लागू किया जा सकता है , जिसे बड़ी संख्या में दोहराया जा सकता है ।
सभी परिणामों की प्रायोगिक प्रायिकता का योग 1 होता है ।

प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र

प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र निम्नलिखित हैं :

$P(E)=$ किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

जहां , $P(E)$ प्रायोगिक प्रायिकता है ।

उदाहरण

1) फ्रांसीसी प्रकृतिवादी कॉम्टे डी बफ़न ने एक सिक्का $4040$ बार उछाला और $2048$ चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता,

प्रायोगिक प्रायिकता $=$ किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या $={\frac {2048}{4040}}$ $=0.507$

2) ब्रिटेन के जे.ई. केरिच ने एक सिक्के को $10000$ बार उछाला और $5067$ चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता ,

प्रायोगिक प्रायिकता $=$ किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या $={\frac {5067}{10000}}$ $=0.5067$

3) सांख्यिकीविद् कार्ल पियर्सन ने एक सिक्के को $24000$ बार उछाला और $12012$ चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता ,

प्रायोगिक प्रायिकता $=$ किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या $={\frac {12012}{24000}}$ $=0.5005$

जैसे-जैसे टॉस की संख्या बढ़ती है , चित की प्रायोगिक प्रायिकता संख्या $0.5$ अर्थात, ${\frac {1}{2}}$ के आसपास स्थिर होती दिख रही है , जिसे हम चित प्राप्त करने की सैद्धांतिक प्रायिकता कहते हैं ।

उदाहरण 1

इस सप्ताह जॉन द्वारा प्रति दिन तैयार किए गए केक की संख्या $4,7,6,9,5,9$ और $5$ के क्रम में है । इन आंकड़ों पर आधारित प्रायोगिक प्रायिकता क्या होगी कि जॉन अगले दिन $6$ से कम केक बनाएगा ?^[2]

हल

परीक्षणों की कुल संख्या $=7$ ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )

अगले दिन $6$ से कम केक तैयार करने की कुल संख्या $=3$ ( प्रश्न में दिए गए आंकड़ों के अनुसार $6$ से कम केक तैयार करने की संख्या $4,5,5$ है , अर्थात कुल संख्या $3$ होगी )

अगले दिन $6$ से कम केक तैयार करने की प्रायोगिक प्रायिकता ,

$P(E)=$ किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

$P(E)={\frac {3}{7}}$

$P(E)=0.428$

अतः , अगले दिन $6$ से कम केक तैयार करने की प्रायोगिक प्रायिकता $0.428$ होगी ।

उदाहरण 2

निम्नलिखित तालिका $6$ तरफा पासे को $80$ बार फेंकने के बाद किए गए अवलोकनों को दर्शाती है^[3]


परिणाम	आवृत्ति
1	13
2	10
3	15
4	14
5	12
6	11

$4$ से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात कीजिये ।

हल

दी गयी तालिका के अनुसार $4$ से कम संख्या $(1,2,3)$ आने की कुल संख्या $=13+10+15=38$

परीक्षणों की कुल संख्या $=80$ ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )

$4$ से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता ,

$P(E)=$ किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

$P(E)={\frac {38}{80}}$

$P(E)=0.475$

अतः , दी गयी तालिका के अनुसार , $4$ से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता $0.475$ होगी ।

संदर्भ

[1] "परिभाषा".

[2] "उदाहरण 1".

[3] "उदाहरण 2".

[1]

[2]

[3]

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 [[Category:प्रायिकता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
+[[Category:Vidyalaya Completed]]
 किसी प्रयोग के परिणामों के आधार पर जो प्रायिकता निर्धारित की जाती है , उसे प्रयोगात्मक प्रायिकता कहा जाता है। इसे आनुभविक संभाव्यता के रूप में भी जाना जाता है । प्रायोगिक प्रायिकता<ref>{{Cite web|url=https://www.cuemath.com/data/experimental-probability/|title=परिभाषा}}</ref> एक प्रायिकता है जो प्रयोगों की एक श्रृंखला के आधार पर निर्धारित की जाती है । उनकी संभावना निर्धारित करने के लिए एक यादृच्छिक प्रयोग किया जाता है और अनेक बार दोहराया जाता है , और प्रत्येक पुनरावृत्ति को हम परीक्षण के रूप में मानते है । किसी घटना के घटित होने या न घटित होने की संभावना का पता लगाने के लिए प्रयोग किया जाता है । यह सिक्का उछालना, पासा फेकना या स्पिनर घुमाना हो सकता है ।
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 जहां , <math>P(E)</math>  प्रायोगिक प्रायिकता है ।
 ====उदाहरण====
-# फ्रांसीसी प्रकृतिवादी कॉम्टे डी बफ़न ने एक सिक्का <math>4040</math> बार उछाला और <math>2048</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की  प्रायिकता ,                           प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math>  किसी घटना के घटित होने की संख्या /  परीक्षणों की कुल संख्या <math>=\frac{2048}{4040}</math>  <math>=0.507</math>
+) फ्रांसीसी प्रकृतिवादी कॉम्टे डी बफ़न ने एक सिक्का <math>4040</math> बार उछाला और <math>2048</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता,
-#ब्रिटेन के जे.ई. केरिच ने एक सिक्के को <math>10000</math> बार उछाला और <math>5067</math>  चित प्राप्त हुए ।  इस प्रयोग  में चित पाने की प्रायिकता ,                                    प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math>  किसी घटना के घटित होने की संख्या /  परीक्षणों की कुल संख्या    <math>=\frac{5067}{10000}</math>  <math>=0.5067</math>
-#सांख्यिकीविद् कार्ल पियर्सन ने एक सिक्के को <math>24000</math> बार उछाला और <math>12012</math>  चित प्राप्त हुए ।  इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता ,                               प्रायोगिक प्रायिकता  <math>=</math>  किसी घटना के घटित होने की संख्या /  परीक्षणों की कुल संख्या   <math>=\frac{12012}{24000}</math>  <math>=0.5005</math>
+प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math>  किसी घटना के घटित होने की संख्या /  परीक्षणों की कुल संख्या <math>=\frac{2048}{4040}</math>  <math>=0.507</math>
+) ब्रिटेन के जे.ई. केरिच ने एक सिक्के को <math>10000</math> बार उछाला और <math>5067</math>  चित प्राप्त हुए ।  इस प्रयोग  में चित पाने की प्रायिकता ,
+प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math>  किसी घटना के घटित होने की संख्या /  परीक्षणों की कुल संख्या    <math>=\frac{5067}{10000}</math>  <math>=0.5067</math>
+) सांख्यिकीविद् कार्ल पियर्सन ने एक सिक्के को <math>24000</math> बार उछाला और <math>12012</math>  चित प्राप्त हुए ।  इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता ,
+प्रायोगिक प्रायिकता  <math>=</math>  किसी घटना के घटित होने की संख्या /  परीक्षणों की कुल संख्या   <math>=\frac{12012}{24000}</math>  <math>=0.5005</math>
 जैसे-जैसे टॉस की संख्या बढ़ती है ,  चित  की प्रायोगिक प्रायिकता  संख्या <math>0.5</math> अर्थात, <math>\frac{1}{2}</math> के आसपास स्थिर होती दिख रही है , जिसे हम चित प्राप्त करने की [[सैद्धांतिक प्रायिकता]] कहते हैं ।
 == उदाहरण 1 ==
-एक सिक्के को 5 बार उछाला जाता है<ref>{{Cite web|url=https://www.geeksforgeeks.org/empirical-probability/|title=उदाहरण 1}}</ref> और तीनों बार चित दिखाई देता है, सिक्का उछालने पर पट दिखने की प्रायोगिक प्रायिकता क्या है ?
+इस सप्ताह जॉन द्वारा प्रति दिन तैयार किए गए केक की संख्या <math>4, 7, 6, 9, 5, 9</math> और <math>5</math> के क्रम में है । इन आंकड़ों पर आधारित  प्रायोगिक प्रायिकता  क्या होगी कि जॉन अगले दिन <math>6</math> से कम केक बनाएगा  ?<ref>{{Cite web|url=https://www.vedantu.com/maths/experimental-probability|title=उदाहरण 1}}</ref>
 हल
-परीक्षणों की कुल संख्या <math>=5</math> ( एक सिक्के को 5 बार उछाला जाता है )
+परीक्षणों की कुल संख्या <math>=7</math> ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )
-चित आने की कुल संख्या <math>=3</math> ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )
+अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार  करने की कुल संख्या <math>=3</math> ( प्रश्न में दिए गए आंकड़ों के अनुसार  <math>6</math> से कम केक तैयार करने की संख्या <math>4,5,5</math> है  , अर्थात  कुल संख्या <math>3</math>  होगी )
-सिक्का उछालने पर पट दिखने की  संख्या  <math>=0</math>
+अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार  करने की  प्रायोगिक प्रायिकता ,
-सिक्का उछालने पर पट दिखने की प्रायोगिक प्रायिकता ,
 <math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या /  परीक्षणों की कुल संख्या
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 मान रखने पर ,
-<math>P(E)=\frac{0}{5}</math>
+<math>P(E)=\frac{3}{7}</math>
-<math>P(E)=0</math>
+<math>P(E)=0.428</math>
-अतः ,  सिक्का उछालने पर पट दिखने की प्रायोगिक प्रायिकता  <math>0</math>  होगी ।
+अतः , अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार  करने की  प्रायोगिक प्रायिकता <math>0.428</math> होगी ।
 == उदाहरण 2 ==
-इस सप्ताह जॉन द्वारा प्रति दिन तैयार<ref>{{Cite web|url=https://www.vedantu.com/maths/experimental-probability|title=उदाहरण 2}}</ref> किए गए केक की संख्या <math>4, 7, 6, 9, 5, 9</math> और <math>5</math> के क्रम में है । इन आंकड़ों पर आधारित  प्रायोगिक प्रायिकता  क्या होगी कि जॉन अगले दिन <math>6</math> से कम केक बनाएगा  ?
+निम्नलिखित तालिका <math>6</math> तरफा पासे को <math>80</math> बार फेंकने के बाद किए गए अवलोकनों को दर्शाती है<ref>{{Cite web|url=https://www.vedantu.com/maths/experimental-probability|title=उदाहरण 2}}</ref>
+{| class="wikitable"
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+!परिणाम
+!आवृत्ति
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+<math>4</math> से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात कीजिये ।
 हल
-परीक्षणों की कुल संख्या <math>=7</math> ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )
+दी गयी तालिका के अनुसार <math>4</math> से कम संख्या <math>(1,2,3)</math> आने की कुल संख्या <math>=13+10+15=38</math>
-अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार  करने की कुल संख्या <math>=3</math> ( प्रश्न में दिए गए आंकड़ों के अनुसार  <math>6</math> से कम केक तैयार करने की  संख्या )
+परीक्षणों की कुल संख्या <math>=80</math> ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )
-अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार  करने की  प्रायोगिक प्रायिकता ,
+<math>4</math> से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता ,
 <math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या /  परीक्षणों की कुल संख्या
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 मान रखने पर ,
-<math>P(E)=\frac{3}{7}</math>
+<math>P(E)=\frac{38}{80}</math>
-<math>P(E)=0.428</math>
+<math>P(E)=0.475</math>
-अतः , अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार  करने की  प्रायोगिक प्रायिकता <math>0.428</math> होगी ।
+अतः , दी गयी तालिका के अनुसार , <math>4</math> से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>0.475</math> होगी ।
 == संदर्भ ==