द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल

द्विघात समीकरण का हल ज्ञात करने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है , पूर्ण वर्ग बनाकर हल करने की विधि । इस इकाई में हम पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण को हल करना सीखेंगे । इस विधि में हम द्विघात समीकरण के मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ को पूर्ण वर्ग रूप में परिवर्तित करते हैं , जिससे हम उसको मूलो को सरलता से ज्ञात कर सके ।

पूर्ण वर्ग बनाने की विधि

मान लीजिए $ax^{2}+bx+c=0$ , $a\neq 0$ दिया गया द्विघात समीकरण है । पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का पालन करेंगे :

1. यदि दिए गए द्विघात समीकरण में $a$ का मान $1$ के बराबर नहीं है , तो संपूर्ण समीकरण को $a$ से इस प्रकार विभाजित करें कि $x^{2}$ का गुणांक $1$ हो ।
2. अब दोनों तरफ पद $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ें ।
3. समीकरण के बाईं ओर को द्विपद पद के वर्ग के रूप में गुणनखंडित करें ।
4. दोनों तरफ वर्गमूल लें ।
5. चर $x$ को हल करें और मूल खोजें ।

सामान्य रूप

उपर्युक्त चरणों का सामान्य रूप निम्नवत् है :

मान लीजिए $ax^{2}+bx+c=0$ , $a\neq 0$ दिया गया द्विघात समीकरण है ।

दोनों तरफ $a$ से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है ,

$x^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)x+\left({\frac {c}{a}}\right)=0$

पद $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग $\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$जोड़ने एवं घटाने पर उपर्युक्त समीकरण लिखा जा सकता है ,

$\left[x+{\frac {b}{2a}}\right]^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{a}}\right)=0$

$\left[x+{\frac {b}{2a}}\right]^{2}-\left[{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}}\right]=0$

$\left[x+{\frac {b}{2a}}\right]^{2}=\left[{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}}\right]$

यदि $b^{2}-4ac\geq 0$, तो वर्गमूल निकालने पर हमें प्राप्त होता है ,

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{2a}}}$

उदाहरण 1

वर्ग पूर्ण करने की विधि से द्विघात समीकरण $x^{2}+x-6=0$ के मूल ज्ञात कीजिए

हल

दिया गया द्विघात समीकरण है , $x^{2}+x-6=0$