अनुक्रम: Difference between revisions

Latest revision as of 16:23, 20 October 2023

अनुक्रम, संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची है जो एक विशेष प्रतिरुप का अनुसरण करती है। वास्तविक जीवन में हम कई स्थानों पर अनुक्रम देखते हैं। उदाहरण के लिए, एक पंक्ति में मकान संख्या, किसी पुस्तक की पृष्ठ संख्या।

परिभाषा

अनुक्रम संख्याओं (या तत्वों) की एक सूची है जो एक विशेष पैटर्न प्रदर्शित करती है। अनुक्रम में प्रत्येक तत्व को एक पद कहा जाता है। एक अनुक्रम परिमित हो सकता है, जिसका अर्थ है कि इसमें शब्दों की एक विशिष्ट संख्या है, या अपरिमित का अर्थ है कि यह अनिश्चित काल तक जारी रहता है।

हम किसी अनुक्रम के पदों को इसके $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}.......a_{n}$ द्वारा निरूपित करते हैं। पादांक पद की स्थिति को दर्शाता है। $n^{th}$ पद अनुक्रम के $n^{th}$ स्थान पर मौजूद संख्या है और इसे $a_{n}$ पद द्वारा निरूपित किया जाता है। $n^{th}$ पद को अनुक्रम का सामान्य पद भी कहा जाता है।

उदाहरण

आइए इसे एक उदाहरण से समझते हैं।

$1,3,5,7,9,11......$ एक अनुक्रम है जहां किन्हीं दो पदों के बीच सार्व अंतर $2$ होता है और जब तक ऊपरी सीमा नहीं दी जाती तब तक अनुक्रम अनंत तक बढ़ता रहता है। यह उदाहरण अपरिमित अनुक्रम के लिए है।

इस उदाहरण में $a_{1}=1,a_{2}=3,a_{3}=5,a_{4}=7,a_{5}=9,a_{6}=11$

एक और उदाहरण $1,2,4,8,16,32,64$ एक अनुक्रम है जहां किन्हीं दो पदों के बीच सार्व अनुपात $2$ है और अनुक्रम $64$ पर समाप्त होता है। यह उदाहरण परिमित अनुक्रम के लिए है।

इस उदाहरण में $a_{1}=1,a_{2}=2,a_{3}=4,a_{4}=8,a_{5}=16,a_{6}=32,a_{7}=64$

अनुक्रमों के प्रकार

समांतर अनुक्रम

समांतर अनुक्रम संख्याओं का एक क्रम है जिसमें प्रत्येक क्रमिक पद अपने पूर्ववर्ती पद और एक निश्चित संख्या का योग होता है। इस निश्चित संख्या को सार्व अंतर कहा जाता है।

समांतर अनुक्रम के पद रूप के होते हैं $a,a+d,a+2d,.......$

उदाहरण : $1,4,7,10,.......$ यहाँ $a=1,d=3$

गुणोत्तर अनुक्रम

गुणोत्तर अनुक्रम एक ऐसा क्रम है जहां प्रत्येक पद का उसके पूर्ववर्ती पद से एक स्थिर अनुपात होता है। इस अनुपात को "सार्व अनुपात" कहा जाता है। गुणोत्तर अनुक्रम के पद इस प्रकार हैं $a,ar,ar^{2},......$

उदाहरण : $1,4,16,64,.......$ यहाँ $a=1,d=4$

फिबोनाची अनुक्रम

फिबोनाची अनुक्रम एक अनुक्रम है जहां प्रत्येक पद पिछले दो पूर्ववर्ती पदों का योग होता है।

उदाहरण :

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 == परिभाषा ==
-अनुक्रम संख्याओं (या तत्वों) की एक सूची है जो एक विशेष पैटर्न प्रदर्शित करती है। अनुक्रम में प्रत्येक तत्व को एक ''पद'' कहा जाता है। एक अनुक्रम ''परिमित'' हो सकता है, जिसका अर्थ है कि इसमें शब्दों की एक विशिष्ट संख्या है, या ''अपरिमित''  का अर्थ है कि यह अनिश्चित काल तक जारी रहता है।
+अनुक्रम संख्याओं (या तत्वों) की एक सूची है जो एक विशेष पैटर्न प्रदर्शित करती है। अनुक्रम में प्रत्येक तत्व को एक ''पद'' कहा जाता है। एक अनुक्रम ''परिमित''  हो सकता है, जिसका अर्थ है कि इसमें शब्दों की एक विशिष्ट संख्या है, या ''अपरिमित''  का अर्थ है कि यह अनिश्चित काल तक जारी रहता है।
-हम किसी अनुक्रम के पदों को इसके  <math>a_1,a_2,a_3,a_4.......a_n</math>   द्वारा निरूपित करते हैं। पादांक पद की स्थिति को दर्शाता है। <math>n^{th}</math> पद अनुक्रम के <math>n^{th}</math> स्थान पर मौजूद संख्या है और इसे <math>a_n</math> पद द्वारा निरूपित किया जाता है। <math>n^{th} </math>पद को अनुक्रम का ''सामान्य पद'' भी कहा जाता है।
+हम किसी अनुक्रम के पदों को इसके  <math>a_1,a_2,a_3,a_4.......a_n</math>   द्वारा निरूपित करते हैं। पादांक पद की स्थिति को दर्शाता है। <math>n^{th}</math> पद अनुक्रम के <math>n^{th}</math> स्थान पर मौजूद संख्या है और इसे <math>a_n</math> पद द्वारा निरूपित किया जाता है। <math>n^{th} </math>पद को अनुक्रम का ''सामान्य पद''  भी कहा जाता है।
 == उदाहरण ==
 आइए इसे एक उदाहरण से समझते हैं।
-<math>1,3,5,7,9,11......</math> एक अनुक्रम है जहां किन्हीं दो पदों के बीच सार्व अंतर <math>2</math> होता है और जब तक ऊपरी सीमा नहीं दी जाती तब तक अनुक्रम अनंत तक बढ़ता रहता है। यह उदाहरण ''अपरिमित'' अनुक्रम के लिए है।
+<math>1,3,5,7,9,11......</math> एक अनुक्रम है जहां किन्हीं दो पदों के बीच सार्व अंतर <math>2</math> होता है और जब तक ऊपरी सीमा नहीं दी जाती तब तक अनुक्रम अनंत तक बढ़ता रहता है। यह उदाहरण ''अपरिमित''  अनुक्रम के लिए है।
 इस उदाहरण में <math>a_1=1,a_2=3,a_3=5,a_4=7,a_5=9,a_6=11</math>
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 इस उदाहरण में <math>a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8,a_5=16,a_6=32,a_7=64</math>
+== अनुक्रमों के प्रकार ==
+=== समांतर अनुक्रम ===
+समांतर अनुक्रम संख्याओं का एक क्रम है जिसमें प्रत्येक क्रमिक पद अपने पूर्ववर्ती पद और एक निश्चित संख्या का योग होता है। इस निश्चित संख्या को सार्व अंतर कहा जाता है।
+समांतर अनुक्रम के पद रूप के होते हैं <math>a,a+d,a+2d,.......</math>
+उदाहरण : <math>1,4,7,10,.......</math> यहाँ  <math>a=1,d=3</math>
+=== गुणोत्तर अनुक्रम ===
+गुणोत्तर अनुक्रम एक ऐसा क्रम है जहां प्रत्येक पद का उसके पूर्ववर्ती पद से एक स्थिर अनुपात होता है। इस अनुपात को "सार्व अनुपात" कहा जाता है। गुणोत्तर अनुक्रम के पद इस प्रकार हैं <math>a,ar,ar^2,......</math>
+उदाहरण : <math>1,4,16,64,.......</math> यहाँ  <math>a=1,d=4</math>
+=== फिबोनाची अनुक्रम ===
+फिबोनाची अनुक्रम एक अनुक्रम है जहां प्रत्येक पद पिछले दो पूर्ववर्ती पदों का योग होता है।
+उदाहरण :
 [[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]]
 [[Category:कक्षा-11]]
 [[Category:गणित]]