श्रेणी: Difference between revisions

Latest revision as of 15:36, 1 November 2023

श्रेणी अनुक्रम के तत्वों का योग है। उदाहरण के लिए $2,4,6,8$ चार तत्वों वाला एक अनुक्रम है और संबंधित श्रेणी $2+4+6+8$ होगी जहां श्रेणी का योग या श्रेणी का मान 20 होगा।

श्रेणी का अर्थ

गणित में एक श्रेणी, अनुक्रमों की अवधारणा पर आधारित है। यदि हमारे पास एक अनुक्रम $a_{1},a_{2},a_{3}....a_{n}$ है तो व्यंजक $a_{1}+a_{2}+a_{3}+....+a_{n}$ को उस अनुक्रम से जुड़ी श्रेणी के रूप में जाना जाता है। एक श्रेणी परिमित या अपरिमित हो सकती है, यह इस पर निर्भर करता है कि अनुक्रम परिमित है या अपरिमित है। श्रेणी को प्रायः सिग्मा संकेतन (Σ) का उपयोग करके एक संक्षिप्त रूप में दर्शाया जाता है, जो इसमें सम्मिलित योग को दर्शाता है।^[1]

इसलिए, श्रेणी $a_{1}+a_{2}+a_{3}+....+a_{n}$ को $\textstyle \sum _{k=1}^{N}\displaystyle a_{k}$ के रूप में संक्षिप्त किया जा सकता है

अनुक्रम और श्रेणी के बीच अंतर

अनुक्रम	श्रेणी
अनुक्रम में, तत्वों को नियमों के एक विशेष समुच्चय का पालन करते हुए एक विशेष क्रम में रखा जाता है।^[2]	श्रेणी में तत्वों के क्रम में रखने की आवश्यकता नहीं है।
यह केवल तत्वों का एक समुच्चय (सेट) है जो एक प्रतिरूप का पालन करता है।	यह उन तत्वों का योग है जो एक प्रतिरूप का अनुसरण करते हैं।
संख्याओं की उपस्थिति का क्रम महत्वपूर्ण है.	संख्याओं की उपस्थिति का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है.
उदाहरण: समांतर अनुक्रम $1,3,5,7,9,11,13,15$	उदाहरण: समांतर श्रेणी $1+3+5+7+9+11+13+15$

श्रेणी के प्रकार

समांतर श्रेणी

समांतर श्रेणी, समांतर अनुक्रम का उपयोग करके बनाई गई एक श्रेणी है। उदाहरण के लिए $1+3+5+7+9+11+13+15$ एक समांतर श्रेणी है।

समांतर श्रेणी का प्रतिनिधित्व $a+(a+d)+(a+2d).......$ द्वारा किया जाता है

गुणोत्तर श्रेणी

गुणोत्तर श्रेणी, गुणोत्तर अनुक्रम का उपयोग करके बनाई गई एक श्रेणी है। उदाहरण के लिए $1+2+4+8+16+32$ एक गुणोत्तर श्रेणी है।

गुणोत्तर श्रेणी का प्रतिनिधित्व $a+ar+ar^{2}......$ द्वारा किया जाता है

संदर्भ

[1] श्रेणी

[2] अनुक्रम और श्रेणी

[1]

[2]

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 श्रेणी अनुक्रम के तत्वों का योग है। उदाहरण के लिए  <math>2,4,6,8</math> चार तत्वों वाला एक अनुक्रम है और संबंधित श्रेणी <math>2+4+6+8
 </math>  होगी जहां श्रेणी का योग या श्रेणी का मान 20 होगा।
+== श्रेणी का अर्थ ==
+गणित में एक श्रेणी, अनुक्रमों की अवधारणा पर आधारित है। यदि हमारे पास एक अनुक्रम <math>a_1,a_2,a_3....a_n</math> है तो व्यंजक <math>a_1+a_2+a_3+....+a_n</math> को उस अनुक्रम से जुड़ी श्रेणी के रूप में जाना जाता है। एक श्रेणी परिमित या अपरिमित हो सकती है, यह इस पर निर्भर करता है कि अनुक्रम परिमित है या अपरिमित है। श्रेणी को प्रायः  सिग्मा संकेतन (Σ) का उपयोग करके एक संक्षिप्त रूप में दर्शाया जाता है, जो इसमें सम्मिलित योग को दर्शाता है।<ref>[https://testbook.com/maths/series श्रेणी]</ref>
+इसलिए, श्रेणी <math>a_1+a_2+a_3+....+a_n</math> को <math>\textstyle \sum_{k=1}^N \displaystyle a_k</math> के रूप में संक्षिप्त किया जा सकता है
 == अनुक्रम और श्रेणी के बीच अंतर ==
 {| class="wikitable"
-!Sequence
+!अनुक्रम
-!Series
+!श्रेणी
 |-
-|In sequence, elements are placed in a particular
+|अनुक्रम में, तत्वों को नियमों के एक विशेष समुच्चय का पालन करते हुए एक विशेष क्रम में रखा जाता है।<ref>[https://www.cuemath.com/numbers/sequence-and-series/ अनुक्रम और श्रेणी]</ref>
-order following a particular set of rules.
+|श्रेणी में तत्वों के क्रम में रखने की आवश्यकता नहीं है।
-|In series, the order of the elements is not
-necessary.
 |-
-|It is just a collection (set) of elements that
+|यह केवल तत्वों का एक समुच्चय (सेट) है जो एक प्रतिरूप का पालन करता है।
-follow a pattern.
+|यह उन तत्वों का योग है जो एक प्रतिरूप का अनुसरण करते हैं।
-|It is a sum of elements that
-follow a pattern.
 |-
-|Order of appearance of the numbers is
+|संख्याओं की उपस्थिति का क्रम महत्वपूर्ण है.
-important.
+|संख्याओं की उपस्थिति का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है.
-|The order of appearance is
-not important.
 |-
-|Example: '''''Arithmetic Sequence'''''
+|उदाहरण: '''''समांतर अनुक्रम'''''
 <math>1,3,5,7,9,11,13,15</math>
-|Example: '''''Arithmetic Series'''''
+|उदाहरण:  '''''समांतर श्रेणी'''''
 <math>1+3+5+7+9+11+13+15</math>
 |}
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 === समांतर श्रेणी ===
-[[अनुक्रम|समांतर श्रेणी]], समांतर अनुक्रम का उपयोग करके बनाई गई एक श्रेणी है। उदाहरण के लिए <math>1+3+5+7+9+11+13+15</math> एक समांतर श्रेणी है।
+समांतर श्रेणी, [[अनुक्रम|समांतर अनुक्रम]] का उपयोग करके बनाई गई एक श्रेणी है। उदाहरण के लिए <math>1+3+5+7+9+11+13+15</math> एक समांतर श्रेणी है।
-समांतर श्रेणी का प्रतिनिधित्व <math>a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) +</math>..<math>a </math>  <math>a+(a+d)+(a+2d).......</math> द्वारा किया जाता है
+समांतर श्रेणी का प्रतिनिधित्व  <math>a+(a+d)+(a+2d).......</math> द्वारा किया जाता है
 === गुणोत्तर श्रेणी ===
-[[अनुक्रम|गुणोत्तर श्रेणी]], एक गुणोत्तर अनुक्रम का उपयोग करके बनाई गई एक श्रेणी है। उदाहरण के लिए <math>1+2+4+8+16+32</math> एक गुणोत्तर श्रेणी है।
+गुणोत्तर श्रेणी, [[अनुक्रम|गुणोत्तर अनुक्रम]] का उपयोग करके बनाई गई एक श्रेणी है। उदाहरण के लिए <math>1+2+4+8+16+32</math> एक गुणोत्तर श्रेणी है।
+गुणोत्तर श्रेणी का प्रतिनिधित्व <math>a+ar+ar^2......</math> द्वारा किया जाता है
-गुणोत्तर श्रेणी का प्रतिनिधित्व <math>a+ar+ar^2......</math>
+== संदर्भ ==
 [[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]