आव्यूहों पर संक्रियाएँ

आव्यूहों पर संक्रियाओं में आव्यूहों के जोड़, घटाव और गुणन के अंकगणितीय संक्रियाएँ सम्मिलित हैं। इसके अतिरिक्त, हम आव्यूहों का स्थानान्तरण और व्युत्क्रम भी पा सकते हैं, जिसे आव्यूहों पर संक्रियाओं के रूप में भी सम्मिलित किया जा सकता है। आव्यूहों पर संक्रियाएँ, दो या दो से अधिक आव्यूहों को एक आव्यूह में संयोजित करने में मदद करते हैं।

आव्यूहों का जोड़

आव्यूहों को जोड़ना मूलभूत संचालन में से एक है जो आव्यूहों पर किया जाता है। आव्यूहों के संगत अवयवों को जोड़कर एक ही कोटि के दो या दो से अधिक आव्यूहों को जोड़ा जा सकता है। यदि $A=[a_{ij}]$ और $B=[b_{ij}]$ एक ही कोटि के दो आव्यूह हैं तो आव्यूह $A$ और $B$ का योग $A+B=[a_{ij}]+[b_{ij}]=[a_{ij}+b_{ij}]$ है:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&.....&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&.....&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&.....&a_{3n}\\.&.&.....&.\\.&.&.....&.\\a_{m1}&a_{m2}&.....&a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}$ + ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&.....&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&.....&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&.....&a_{3n}\\.&.&.....&.\\.&.&.....&.\\a_{m1}&a_{m2}&.....&a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}$ $=$

${\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&.....&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&.....&a_{2n}+b_{2n}\\a_{31}+b_{31}&a_{32}+b_{32}&.....&a_{3n}+b_{3n}\\.&.&.....&.\\.&.&.....&.\\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&.....&a_{mn}+b_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}$

उदाहरण:

$A={\begin{bmatrix}2&4&6\\8&10&12\\14&16&18\end{bmatrix}}$ $B={\begin{bmatrix}1&3&5\\7&9&11\\13&15&17\end{bmatrix}}$

$A+B={\begin{bmatrix}2+1&4+3&6+5\\8+7&10+9&12+11\\14+13&16+15&18+17\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&7&11\\15&19&23\\27&31&35\end{bmatrix}}$

आव्यूहों का घटाव

समान कोटि के दो आव्यूहों को आव्यूहों के संगत अवयवों को घटाकर घटाया जा सकता है। यदि $A=[a_{ij}]$ और $B=[b_{ij}]$ एक ही कोटि के दो आव्यूह हैं तो $A$ और $B$ का आव्यूहों का घटाव $A-B=[a_{ij}]-[b_{ij}]=[a_{ij}-b_{ij}]$ है:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&.....&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&.....&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&.....&a_{3n}\\.&.&.....&.\\.&.&.....&.\\a_{m1}&a_{m2}&.....&a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}$ _ ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&.....&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&.....&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&.....&a_{3n}\\.&.&.....&.\\.&.&.....&.\\a_{m1}&a_{m2}&.....&a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}$ $=$

${\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}&.....&a_{1n}-b_{1n}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}&.....&a_{2n}-b_{2n}\\a_{31}-b_{31}&a_{32}-b_{32}&.....&a_{3n}-b_{3n}\\.&.&.....&.\\.&.&.....&.\\a_{m1}-b_{m1}&a_{m2}-b_{m2}&.....&a_{mn}-b_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}$

उदाहरण:

$A={\begin{bmatrix}2&4&6\\8&10&12\\14&16&18\end{bmatrix}}$ $B={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}$

$A-B={\begin{bmatrix}2-1&4-2&6-3\\8-4&10-5&12-6\\14-7&16-8&18-9\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}$

आव्यूहों का गुणन

दो आव्यूहों $A$ और $B$ का गुणन संभव है यदि $A$ में स्तंभों की संख्या $B$ में पंक्तियों की संख्या के समान है। कोटि $m\times n$ के आव्यूह $A$ को कोटि $n\times p$ के आव्यूह $B$ के साथ गुणा करने के लिए परिणामी आव्यूह, कोटि $m\times p$ का आव्यूह $C$ होता है।

दो आव्यूहों के गुणन के लिए, आव्यूह की पंक्तियों के अवयवों को दूसरे आव्यूह के स्तंभों के अवयवों से गुणा किया जाता है, और इस गुणनफल के योग के परिणामस्वरूप परिणामी गुणनफल आव्यूह के अवयव प्राप्त होते हैं। इसे कोटि $3\times 3$ के आव्यूह $A$ को कोटि $3\times 2$ के आव्यूह $B$ के साथ गुणा करने के पश्चात प्राप्त कोटि $3\times 2$ के परिणामी आव्यूह $C$ के द्वारा नीचे दिखाए गए विधि से अधिक स्पष्ट रूप से समझा जा सकता है।

$A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&j\end{bmatrix}}_{m\times n}$ $B={\begin{bmatrix}k&m\\n&p\\q&r\end{bmatrix}}_{n\times p}$

$A\times B=C={\begin{bmatrix}ak+bn+cq&am+bp+cr\\dk+en+fq&dm+ep+fr\\gk+hn+jq&gm+hp+jr\end{bmatrix}}_{m\times p}$

उदाहरण:

$A={\begin{bmatrix}2&4&6\\8&10&12\\14&16&18\end{bmatrix}}$ $B={\begin{bmatrix}1&2\\4&5\\7&8\end{bmatrix}}$

$A\times B=C={\begin{bmatrix}2\times 1+4\times 4+6\times 7&2\times 2+4\times 5+6\times 8\\8\times 1+10\times 4+12\times 7&8\times 2+10\times 5+12\times 8\\14\times 1+16\times 4+18\times 7&14\times 2+16\times 5+18\times 8\end{bmatrix}}$

$C={\begin{bmatrix}2+16+42&4+20+48\\8+40+84&16+50+96\\14+64+126&28+80+144\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}60&72\\132&162\\204&252\end{bmatrix}}$