आव्यूह के सहखंडज और व्युत्क्रम: Difference between revisions

Latest revision as of 13:59, 8 February 2024

किसी आव्यूह के व्युत्क्रम की गणना करने के लिए आव्यूह के सहखंडज की आवश्यकता होती है।

आव्यूह का सहखंडज

आव्यूह $A$ का सहखंडज, $A$ के सहखंड आव्यूह का परिवर्त है। वर्ग आव्यूह $A$ का सहखंडज $A$ (adj. $A$ ) द्वारा निरूपित किया जाता है। मान लीजिए $A=[a_{ij}]$ , $n$ कोटि का एक वर्ग आव्यूह है।

किसी आव्यूह का सहखंडज ज्ञात करने में सम्मिलित प्रक्रिया इस प्रकार हैं:

आव्यूह $A$ के सभी अवयवों का उपसारणिक आव्यूह $M$ को ज्ञात करें ।
आव्यूह $M$ के सभी उपसारणिक अवयवों का सहखंड आव्यूह $C$ को ज्ञात करें ।
सहखंड आव्यूह $C$ का परिवर्त लेते हुए सहखंडज $A$ (adj. $A$ ) को ज्ञात करें ।

3 X 3आव्यूह का सहखंडज

$A={\begin{bmatrix}2&-1&3\\0&5&2\\1&-1&-2\end{bmatrix}}$

प्रक्रिया 1: आव्यूह $A$ के सभी अवयवों का उपसारणिक आव्यूह $M$ को ज्ञात करें ।

पंक्ति 1:

$2={\begin{vmatrix}5&2\\-1&-2\end{vmatrix}}=(-10-(-2))=-10+2=-8$ का उपसारणिक

$-1={\begin{vmatrix}0&2\\1&-2\end{vmatrix}}=(0-2)=-2$ का उपसारणिक

$3={\begin{vmatrix}0&5\\1&-1\end{vmatrix}}=(0-5))=-5$ का उपसारणिक

पंक्ति 2:

$0={\begin{vmatrix}-1&3\\-1&-2\end{vmatrix}}=(2-(-3))=2+3=5$ का उपसारणिक

$5={\begin{vmatrix}2&3\\1&-2\end{vmatrix}}=(-4-3)=-7$ का उपसारणिक

$2={\begin{vmatrix}2&-1\\1&-1\end{vmatrix}}=(-2-(-1))=-1$ का उपसारणिक

पंक्ति 3:

$1={\begin{vmatrix}-1&3\\5&2\end{vmatrix}}=(-2-15)=-17$ का उपसारणिक

$-1={\begin{vmatrix}2&3\\0&2\end{vmatrix}}=(4-0)=4$ का उपसारणिक

$-2={\begin{vmatrix}2&-1\\0&5\end{vmatrix}}=(10-0)=10$ का उपसारणिक

आव्यूह $A$ का उपसारणिक $M={\begin{bmatrix}-8&-2&-5\\5&-7&-1\\-17&4&10\end{bmatrix}}$

प्रक्रिया 2: आव्यूह $M$ के सभी उपसारणिक अवयवों का सहखंड आव्यूह $C$ को ज्ञात करें ।

$3\ X\ 3$ आव्यूह के सहखंडों को ज्ञात करने के लिए, संबंधित उपसारणिक को उनकी स्थिति के अनुसार नीचे दिए गए चिह्नों से गुणा किया जाना चाहिए।

$C={\begin{bmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{bmatrix}}$

आव्यूह $A$ का उपसारणिक $M={\begin{bmatrix}-8&-2&-5\\5&-7&-1\\-17&4&10\end{bmatrix}}$

आव्यूह $A$ का सहखंड $C={\begin{bmatrix}-8&2&-5\\-5&-7&1\\-17&-4&10\end{bmatrix}}$

प्रक्रिया 3: सहखंड आव्यूह $C$ का परिवर्त लेते हुए सहखंडज $A$ (adj. $A$ ) को ज्ञात करें ।

आव्यूह $A$ का सहखंडज(एडजॉइंट) adj $A$ =सहखंड आव्यूह $C$ $={\begin{bmatrix}-8&-5&-17\\2&-7&-4\\-5&1&10\end{bmatrix}}$ का परिवर्त

आव्यूह का व्युत्क्रम

आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम, जिसे $A^{-1}$ के रूप में दर्शाया जाता है, आव्यूह के सहखंडज का उपयोग करके पाया जाता है।

A^-1 = (1/|A|) × adj(A). यहाँ, $A^{-1}=\left[{\frac {1}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\right]\times adj(A)$

यहाँ

${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}$ = $A$ का सारणिक

$adj(A)$ = $A$ का सहखंडज

3 X 3 आव्यूह का व्युत्क्रम

$A=$ ${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&-1&3\\0&5&2\\1&-1&-2\end{vmatrix}}=2(-10-(-2))-(-1)(0-2)+3(0-5)=2(-8)-2-15=-33$ का सारणिक

$A=$ $adj(A)$ $={\begin{bmatrix}-8&-5&-17\\2&-7&-4\\-5&1&10\end{bmatrix}}$ का सहखंडज

आव्यूह $A=$ $A^{-1}=\left[{\frac {1}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\right]\times adj(A)$ का व्युत्क्रम

$A^{-1}=\left[{\frac {1}{-33}}\right]\times {\begin{bmatrix}-8&-5&-17\\2&-7&-4\\-5&1&10\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {8}{33}}&{\frac {5}{33}}&{\frac {17}{33}}\\-{\frac {2}{33}}&{\frac {7}{33}}&{\frac {4}{33}}\\{\frac {5}{33}}&-{\frac {1}{33}}&-{\frac {10}{33}}\end{bmatrix}}$

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 किसी आव्यूह के व्युत्क्रम की गणना करने के लिए आव्यूह के सहखंडज की आवश्यकता होती है।
-== आव्यूह के सहखंडज ==
+== आव्यूह का सहखंडज ==
 आव्यूह <math>A</math> का सहखंडज,  <math>A</math> के सहखंड आव्यूह का परिवर्त है। वर्ग आव्यूह <math>A</math> का सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) द्वारा निरूपित किया जाता है। मान लीजिए <math>A=[a_{ij}]</math>, <math>n</math> कोटि का एक वर्ग आव्यूह है।
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 * सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त  लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।
-=== <math>3 \ X \ 3</math> आव्यूह का सहखंडज ===
+=== 3 X 3आव्यूह का सहखंडज ===
 <math>A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}</math>
-'''Step 1:''' Find the minor matrix <math>M</math> of all the elements of matrix <math>A</math>.
-'''Step 1:''' Find the minor matrix <math>M</math> of all the elements of matrix <math>A</math>.
+'''प्रक्रिया 1:''' आव्यूह <math>A</math> के सभी अवयवों का उपसारणिक आव्यूह <math>M</math> को ज्ञात करें ।
-'''''Row 1:'''''
+'''''पंक्ति 1:'''''
-Minor of <math>2 = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}=(-10-(-2))=-10+2=-8</math>
+<math>2 = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}=(-10-(-2))=-10+2=-8</math> का उपसारणिक
-Minor of <math>-1 = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}=(0-2)=-2</math>
+<math>-1 = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}=(0-2)=-2</math> का उपसारणिक
-Minor of <math>3 = \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=(0-5))=-5</math>
+<math>3 = \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=(0-5))=-5</math> का उपसारणिक
-'''''Row 2:'''''
+'''''पंक्ति 2:'''''
-Minor of <math>0 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}=(2-(-3))=2+3=5</math>
+<math>0 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}=(2-(-3))=2+3=5</math> का उपसारणिक
-Minor of <math>5 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}=(-4-3)=-7</math>
+<math>5 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}=(-4-3)=-7</math> का उपसारणिक
-Minor of <math>2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=(-2-(-1))=-1</math>
+<math>2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=(-2-(-1))=-1</math> का उपसारणिक
-'''''Row 3:'''''
+'''''पंक्ति 3:'''''
-Minor of <math>1 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}=(-2-15)=-17</math>
+<math>1 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}=(-2-15)=-17</math> का उपसारणिक
-Minor of <math>-1 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}=(4-0)=4</math>
+<math>-1 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}=(4-0)=4</math> का उपसारणिक
-Minor of <math>-2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}=(10-0)=10</math>
+<math>-2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}=(10-0)=10</math> का उपसारणिक
-Minor of Matrix <math>A</math> is <math>M= \begin{bmatrix} -8 & -2 & -5 \\ 5 & -7 & -1 \\ -17 & 4 & 10 \end{bmatrix}</math>
+आव्यूह <math>A</math> का उपसारणिक <math>M= \begin{bmatrix} -8 & -2 & -5 \\ 5 & -7 & -1 \\ -17 & 4 & 10 \end{bmatrix}</math>
-'''Step 2:''' Find the cofactor matrix <math>C</math> of all the minor elements of matrix <math>M</math>
-To find the cofactors of <math>3 \ X \ 3</math> matrix, the corresponding minors should be multiplied by the signs below according to their position.
+'''प्रक्रिया''' '''2:''' आव्यूह <math>M</math> के सभी उपसारणिक अवयवों का सहखंड आव्यूह <math>C</math> को ज्ञात करें ।
+<math>3 \ X \ 3</math> आव्यूह के सहखंडों को ज्ञात करने  के लिए, संबंधित उपसारणिक को उनकी स्थिति के अनुसार नीचे दिए गए चिह्नों से गुणा किया जाना चाहिए।
 <math>C= \begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}</math>
-Minor of Matrix <math>A</math> is <math>M= \begin{bmatrix} -8 & -2 & -5 \\ 5 & -7 & -1 \\ -17 & 4 & 10 \end{bmatrix}</math>
+आव्यूह <math>A</math> का उपसारणिक <math>M= \begin{bmatrix} -8 & -2 & -5 \\ 5 & -7 & -1 \\ -17 & 4 & 10 \end{bmatrix}</math>
+आव्यूह <math>A</math> का सहखंड  <math>C= \begin{bmatrix} -8 & 2 & -5 \\ -5 & -7 & 1 \\ -17 & -4 & 10 \end{bmatrix}</math>
-Cofactor of Matrix A is <math>C= \begin{bmatrix} -8 & 2 & -5 \\ -5 & -7 & 1 \\ -17 & -4 & 10 \end{bmatrix}</math>
-'''Step 3:''' Find the adj <math>A</math> by taking the transpose of the cofactor matrix <math>C</math>
+'''प्रक्रिया'''  '''3:''' सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त  लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।
-Adjoint of Matrix A is adj <math>A</math> = Transpose of the Cofactor Matrix <math>C</math> <math>= \begin{bmatrix} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \end{bmatrix}</math>
+आव्यूह <math>A</math> का सहखंडज(एडजॉइंट) adj <math>A</math> =सहखंड आव्यूह <math>C</math> <math>= \begin{bmatrix} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \end{bmatrix}</math>का परिवर्त
-== Inverse of a Matrix ==
+== आव्यूह का व्युत्क्रम ==
-The inverse of a matrix <math>A</math>, which is represented as <math>A^{-1}</math>, is found using the adjoint of a matrix.
+आव्यूह <math>A</math> का व्युत्क्रम, जिसे <math>A^{-1}</math> के रूप में दर्शाया जाता है, आव्यूह के सहखंडज का उपयोग करके पाया जाता है।
-A<sup>-1</sup> = (1/|A|) × adj(A). Here, <math>A^{-1}=\left [\frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}\right ] \times adj(A)</math>
+A<sup>-1</sup> = (1/|A|) × adj(A). यहाँ, <math>A^{-1}=\left [\frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}\right ] \times adj(A)</math>
-Here
+यहाँ
-* <math>\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}</math>= the determinant of <math>A</math>
+* <math>\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}</math>= <math>A</math> का सारणिक
-* <math>adj(A)</math>= adjoint of <math>A</math>
+* <math>adj(A)</math>= <math>A</math> का सहखंडज
-=== Inverse of a <math>3 \ X \ 3</math> Matrix ===
+=== 3 X 3 आव्यूह का व्युत्क्रम ===
-determinant of <math>A =</math>  <math>{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}=2(-10-(-2))-(-1)(0-2)+3(0-5)=2(-8)-2-15=-33</math>
+<math>A =</math>  <math>{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}=2(-10-(-2))-(-1)(0-2)+3(0-5)=2(-8)-2-15=-33</math> का सारणिक
-Adjoint of Matrix <math>A =</math> <math>adj(A)</math> <math>= \begin{bmatrix} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \end{bmatrix}</math>
+<math>A =</math> <math>adj(A)</math> <math>= \begin{bmatrix} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \end{bmatrix}</math> का सहखंडज
-Inverse of matrix <math>A =</math><math>A^{-1}=\left [\frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}\right ] \times adj(A)</math>
+आव्यूह <math>A =</math><math>A^{-1}=\left [\frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}\right ] \times adj(A)</math> का व्युत्क्रम
 <math>A^{-1}=\left [\frac{1}{-33}\right ] \times  \begin{bmatrix} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{8}{33} & \frac{5}{33} & \frac{17}{33} \\ - \frac{2}{33} & \frac{7}{33} & \frac{4}{33} \\ \frac{5}{33} & - \frac{1}{33} &