माध्यिका: Difference between revisions

Latest revision as of 20:06, 11 March 2024

माध्यिका किसी भी समूह के लिए मध्य मान का प्रतिनिधित्व करती है। मेडियन एक ही आँकड़ोंबिंदु के साथ बड़ी संख्या में आँकड़ोंबिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने में मदद करता है। माध्यिका गणना करने का सबसे आसान सांख्यिकीय उपाय है। माध्यिका की गणना के लिए, आँकड़ोंको आरोही क्रम में व्यवस्थित करना होगा, और फिर सबसे मध्य आँकड़ोंबिंदु आँकड़ों के माध्यिका का प्रतिनिधित्व करता है।

इसके अलावा, माध्यिका की गणना आँकड़ोंबिंदुओं की संख्या पर निर्भर करती है। विषम संख्या में आँकड़ोंके लिए, माध्य मध्यतम आँकड़ोंहै, और सम संख्या में आँकड़ों के लिए, माध्यिका दो मध्य मानों का औसत है।

परिभाषा

माध्यिका केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन मापों में से एक है। आँकड़ोंके एक सेट का वर्णन करते समय, आँकड़ोंसेट की केंद्रीय स्थिति की पहचान की जाती है। इसे केन्द्रीय प्रवृत्ति का माप कहा जाता है। केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन सबसे सामान्य माप माध्य, माध्यिका और बहुलक हैं।

माध्यिका परिभाषा

आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद प्राप्त मध्यतम अवलोकन के मान को आँकड़ों का माध्यिका कहा जाता है। कई उदाहरणों में, प्रतिनिधित्व के लिए संपूर्ण आँकड़ोंपर विचार करना कठिन होता है, और यहां माध्यिका उपयोगी है। सांख्यिकीय सारांश दूरीक(मीट्रिक) के बीच, माध्यिका गणना करने के लिए एक आसान दूरीक है।

उदाहरण

$4,4,6,3,2$

आँकड़ों के उपरोक्त सेट के लिए माध्यिका ज्ञात कीजिए।

प्रक्रिया 1: दिए गए आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 2, 3, 4, 4, 6।
प्रक्रिया 2: मानों की संख्या गिनें। 5 मान हैं.
प्रक्रिया 3: मध्य मान की तलाश करें। मध्य मान माध्यिका है। अत: माध्यिका = 4.

माध्यिका सूत्र

माध्यिका सूत्र का उपयोग करके, संख्याओं के व्यवस्थित सेट के मध्य मान की गणना की जा सकती है। केन्द्रीय प्रवृत्ति का यह माप ज्ञात करने के लिए समूह के घटकों को बढ़ते क्रम में लिखना आवश्यक है। माध्यिका सूत्र प्रेक्षणों की संख्या और चाहे वे विषम हों या सम, के आधार पर भिन्न-भिन्न होते हैं। निम्नलिखित सूत्रों का समुच्चय दिए गए आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात करने में मदद करेगा।

अवर्गीकृत आँकड़ों के लिए माध्यिका सूत्र

अवर्गीकृत आँकड़ों के लिए माध्यिका सूत्र लागू करते समय निम्नलिखित प्रक्रियाएँ सहायक होते हैं।

प्रक्रिया 1: आँकड़ों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें।
प्रक्रिया 2: अवलोकनों की कुल संख्या की गणना करें ' $n$ '
प्रक्रिया 3: जांचें कि क्या प्रेक्षणों की संख्या ' $n$ '' सम या विषम है।

माध्यिका सूत्र जब n विषम हो

' $n$ ' विषम संख्या वाले प्रेक्षणों वाले संख्याओं के समूह का माध्यिका सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

माध्यिका = $\left[{\frac {n+1}{2}}\right]$ ^वां पद

माध्यिका सूत्र जब n सम हो

' $n$ ' सम संख्या वाले प्रेक्षणों वाले संख्याओं के समूह का माध्यिका सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

माध्यिका = ( $\left[{\frac {n}{2}}\right]$ ^वां पद $+\left[{\frac {n}{2}}+1\right]$ ^वां पद ) / 2

उदाहरण 1: एक समूह(टीम) के सदस्यों की आयु नीचे सूचीबद्ध की गई है। उपरोक्त समुच्चय की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

$42,40,50,60,35,58,32$

हल:

प्रक्रिया 1: डेटा आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

मूल आँकड़े : $42,40,50,60,35,58,32$

मूल आँकड़े : $32,35,40,42,50,58,60$

प्रक्रिया 2: प्रेक्षणों की संख्या गिनें ( $n=7$ , विषम)। यदि प्रेक्षणों की संख्या विषम है, तो हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे।

माध्यिका = $\left[{\frac {n+1}{2}}\right]$ ^वां पद

माध्यिका = $\left[{\frac {7+1}{2}}\right]$ ^वां पद

माध्यिका = $4$ ^वां पद = $42$

उदाहरण 2: एक समूह(टीम) के सदस्यों की आयु नीचे सूचीबद्ध की गई है। उपरोक्त समुच्चय की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

$42,40,50,60,35,58,32,28$

हल:

प्रक्रिया 1: डेटा आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

मूल आँकड़े : $42,40,50,60,35,58,32,28$

मूल आँकड़े : $28,32,35,40,42,50,58,60$

प्रक्रिया 2: प्रेक्षणों की संख्या गिनें ( $n=8$ , सम)। यदि प्रेक्षणों की संख्या सम है, तो हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे।

माध्यिका = ( $\left[{\frac {n}{2}}\right]$ ^वां पद $+\left[{\frac {n}{2}}+1\right]$ वां पद ) / 2

माध्यिका = ( $\left[{\frac {8}{2}}\right]$ ^वां पद $+\left[{\frac {8}{2}}+1\right]$ वां पद ) / 2

माध्यिका = ( $4$ ^वां पद $+\ 5$ ^वां पद ) / 2

माध्यिका = $\left[{\frac {40+42}{2}}\right]=41$

@@ Line 11: / Line 11: @@
 आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद प्राप्त मध्यतम अवलोकन के मान को आँकड़ों का माध्यिका कहा जाता है। कई उदाहरणों में, प्रतिनिधित्व के लिए संपूर्ण आँकड़ोंपर विचार करना कठिन होता है, और यहां माध्यिका उपयोगी है। सांख्यिकीय सारांश दूरीक(मीट्रिक) के बीच, माध्यिका गणना करने के लिए एक आसान दूरीक है।
-==== उदाहरण ====
+=== उदाहरण ===
 <math>4,4,6,3,2</math>
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 '<math> n</math>' विषम संख्या वाले प्रेक्षणों वाले संख्याओं के समूह का माध्यिका सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
-माध्यिका = <math> \left [ \frac{n+1}{2} \right ]</math>वां पद
+माध्यिका = <math> \left [ \frac{n+1}{2} \right ]</math><sup>वां</sup> पद
 === माध्यिका सूत्र जब n सम हो ===
-The median formula of a given set of numbers having '<math> n</math>' even number of observations, can be expressed as:
+'<math> n</math>' सम संख्या वाले प्रेक्षणों वाले संख्याओं के समूह का माध्यिका सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
-Median = ( <math> \left [ \frac{n}{2} \right ]</math><sup>th</sup> term <math> +\left [ \frac{n}{2}+1 \right ]</math>th term ) / 2
+माध्यिका = ( <math> \left [ \frac{n}{2} \right ]</math><sup>वां</sup> पद <math> +\left [ \frac{n}{2}+1 \right ]</math><sup>वां</sup> पद ) / 2
-Example 1''':''' The age of the members of a team has been listed below. Find the median of the above set.
+उदाहरण 1: एक समूह(टीम) के सदस्यों की आयु नीचे सूचीबद्ध की गई है। उपरोक्त समुच्चय की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
 <math>42,40,50,60,35,58,32</math>
-Solution:
+हल:
-Step 1: Arrange the data items in ascending order.
+प्रक्रिया 1: डेटा आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।
-Original data: <math>42,40,50,60,35,58,32</math>
+मूल आँकड़े : <math>42,40,50,60,35,58,32</math>
-Ordered data: <math>32,35,40,42,50,58,60</math>
+मूल आँकड़े : <math>32,35,40,42,50,58,60</math>
-Step 2: Count the number of observations (<math>n=7</math> , odd). If the number of observations is odd, then we will use the following formula
+प्रक्रिया 2: प्रेक्षणों की संख्या गिनें (<math>n=7</math>, विषम)। यदि प्रेक्षणों की संख्या विषम है, तो हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे।
-Median = <math> \left [ \frac{n+1}{2} \right ]</math><sup>th</sup> term
+माध्यिका = <math> \left [ \frac{n+1}{2} \right ]</math><sup>वां</sup> पद
-Median = <math> \left [ \frac{7+1}{2} \right ]</math><sup>th</sup> term
+माध्यिका = <math> \left [ \frac{7+1}{2} \right ]</math><sup>वां</sup> पद
-Median = <math> 4</math><sup>th</sup> term = <math>42</math>
+माध्यिका = <math> 4</math><sup>वां</sup> पद = <math>42</math>
-Example 2''':''' The age of the members of a team has been listed below. Find the median of the above set.
+उदाहरण 2: एक समूह(टीम) के सदस्यों की आयु नीचे सूचीबद्ध की गई है। उपरोक्त समुच्चय की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
 <math>42,40,50,60,35,58,32,28</math>
-Solution:
+हल:
-Step 1: Arrange the data items in ascending order.
+प्रक्रिया 1: डेटा आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।
-Original data: <math>42,40,50,60,35,58,32,28</math>
+मूल आँकड़े : <math>42,40,50,60,35,58,32,28</math>
-Ordered data: <math>28,32,35,40,42,50,58,60</math>
+मूल आँकड़े : <math>28,32,35,40,42,50,58,60</math>
-Step 2: Count the number of observations (<math>n=8</math> , even). If the number of observations is even, then we will use the following formula
+प्रक्रिया 2: प्रेक्षणों की संख्या गिनें (<math>n=8</math>, सम)। यदि प्रेक्षणों की संख्या सम है, तो हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे।
-Median = ( <math> \left [ \frac{n}{2} \right ]</math><sup>th</sup> term <math> +\left [ \frac{n}{2}+1 \right ]</math>th term ) / 2
+माध्यिका = ( <math> \left [ \frac{n}{2} \right ]</math><sup>वां</sup> पद <math> +\left [ \frac{n}{2}+1 \right ]</math>वां पद ) / 2
-Median = ( <math> \left [ \frac{8}{2} \right ]</math><sup>th</sup> term <math> +\left [ \frac{8}{2}+1 \right ]</math>th term ) / 2
+माध्यिका = ( <math> \left [ \frac{8}{2} \right ]</math><sup>वां</sup> पद <math> +\left [ \frac{8}{2}+1 \right ]</math>वां पद ) / 2
-Median = ( <math> 4</math><sup>th</sup> term <math> + \ 5</math><sup>th</sup> term ) / 2
+माध्यिका = ( <math> 4</math><sup>वां</sup> पद <math> + \ 5</math><sup>वां</sup> पद ) / 2
-Median = <math> \left [ \frac{40+42}{2} \right ]=41</math>
+माध्यिका = <math> \left [ \frac{40+42}{2} \right ]=41</math>
 [[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]