माध्य - कल्पित माध्य विधि: Difference between revisions

Latest revision as of 08:56, 15 March 2024

सांख्यिकी में,वर्गीकृत आंकड़ों के माध्य की गणना के लिए कल्पित माध्य विधि का उपयोग किया जाता है। यदि दिया गया आंकड़ा बड़ा है, तो माध्य की गणना के लिए प्रत्यक्ष विधि के स्थान पर इस विधि की अनुशंसा की जाती है। यह विधि गणना को कम करने में मदद करती है और परिणाम छोटे संख्यात्मक मानों में आते हैं। यह विधि माध्य का अनुमान लगाने और गणना करने के लिए आसान मान को पूर्णांकित करने पर निर्भर करती है। पुनः यह मान सभी नमूना मानों से घटा दिया जाता है। जब नमूनों को समान आकार श्रेणियों या वर्ग अंतरालों में परिवर्तित किया जाता है, तो एक केंद्रीय वर्ग चुना जाता है और गणना की जाती है।

कल्पित माध्य विधि सूत्र

मान लीजिए $x_{1},x_{2},x_{3}.....x_{n}$ वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु या वर्ग चिह्न हैं और $f_{1},f_{2},f_{3}.....f_{n}$ संबंधित आवृत्तियाँ हैं। कल्पित माध्य विधि का सूत्र है ।

${\bar {x}}=a+{\frac {\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f_{i}d_{i}}{\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f_{i}}}$

यहाँ,

$a$ = कल्पित माध्य

$f_{i}$ = $i$ ^वीं वर्ग की आवृत्ति

$d_{i}$ = $x_{i}-a$ = $i$ ^वीं वर्ग का विचलन

$\sum f_{i}$ =प्रेक्षणों की कुल संख्या

$x_{i}$ = वर्ग चिन्ह = (ऊपरी वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) / 2

उदाहरण: निम्नलिखित तालिका एक परीक्षा में 110 छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों के बारे में जानकारी देती है।


वर्ग अंतराल	आवृत्ति
0 - 10	12
10 - 20	28
20 - 30	32
30 - 40	25
40 - 50	13

कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके विद्यार्थियों के माध्य अंक ज्ञात कीजिए।

हल:

वर्ग अंतराल	आवृत्ति ( $f_{i}$ )	वर्ग चिन्ह ( $x_{i}$ )	$d_{i}=x_{i}-a$	$f_{i}d_{i}$
0 - 10	12	5	5 - 25 = -20	-240
10 - 20	28	15	15 - 25 = -10	-280
20 - 30	32	25 = $a$	25 - 25 = 0	0
30 - 40	25	35	35 - 25 = 10	250
40 - 50	13	45	45 - 25 = 20	260
कुल	$\sum f_{i}=110$			$\sum f_{i}d_{i}=-10$

कल्पित माध्य= $a$ = 25

${\bar {x}}=a+{\frac {\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f_{i}d_{i}}{\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f_{i}}}=25+{\frac {-10}{110}}$

${\bar {x}}=25+{\frac {-1}{11}}=24.9$

विद्यार्थियों के माध्य अंक $24.9$ हैं

@@ Line 4: / Line 4: @@
 == कल्पित माध्य विधि सूत्र ==
-Let <math>x_1,x_2,x_3.....x_n</math> are mid-points or class marks of <math>n</math> class intervals and <math>f_1,f_2,f_3.....f_n</math> are the respective frequencies. The formula of the assumed mean method is
+मान लीजिए <math>x_1,x_2,x_3.....x_n</math> वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु या वर्ग चिह्न हैं और <math>f_1,f_2,f_3.....f_n</math> संबंधित आवृत्तियाँ हैं। कल्पित माध्य विधि का सूत्र है ।
 <math>\bar{x}=a+\frac{\textstyle \sum_{i=1}^n\displaystyle f_id_i}{\textstyle \sum_{i=1}^n\displaystyle f_i}</math>
-Here,
+यहाँ,
-<math>a</math> = assumed mean
+<math>a</math> = कल्पित माध्य
-<math>f_i</math> = frequency of <math>i</math><sup>th</sup> class
+<math>f_i</math> = <math>i</math><sup>वीं</sup>  वर्ग की आवृत्ति
-<math>d_i</math> = <math>x_i-a</math> = deviation of <math>i</math><sup>th</sup> class
+<math>d_i</math> = <math>x_i-a</math> =  <math>i</math><sup>वीं</sup> वर्ग का विचलन
-<math>\sum f_i</math> = Total number of observations
+<math>\sum f_i</math> =प्रेक्षणों की कुल संख्या
-<math>x_i</math>= class mark = (upper class limit + lower class limit) / 2
+<math>x_i</math>= वर्ग चिन्ह = (ऊपरी वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) / 2
-Example: The following table gives information about the marks obtained by 110 students in an examination.
+उदाहरण: निम्नलिखित तालिका एक परीक्षा में 110 छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों के बारे में जानकारी देती है।
 {| class="wikitable"
 |+
-!Class
+!वर्ग अंतराल
-!Frequency
+!आवृत्ति
 |-
 |0 - 10
@@ Line 41: / Line 41: @@
 |13
 |}
-Find the mean marks of the students using the assumed mean method.
+कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके विद्यार्थियों के माध्य अंक ज्ञात कीजिए।
-Solution:
+हल:
 {| class="wikitable"
-!Class
+!वर्ग अंतराल
-!Frequency (<math>f_i</math>)
+!आवृत्ति (<math>f_i</math>)
-!Class mark (<math>x_i</math>)
+!वर्ग चिन्ह (<math>x_i</math>)
 !<math>d_i=x_i-a</math>
 !<math>f_id_i</math>
@@ Line 81: / Line 81: @@
 |260
 |-
-|'''Total'''
+|'''कुल'''
 |<math>\sum f_i=110</math>
 |
@@ Line 87: / Line 87: @@
 |<math>\sum f_id_i=-10</math>
 |}
-Assumed mean = <math>a</math> = 25
+कल्पित माध्य= <math>a</math> = 25
 <math>\bar{x}=a+\frac{\textstyle \sum_{i=1}^n\displaystyle f_id_i}{\textstyle \sum_{i=1}^n\displaystyle f_i}=25+\frac{-10}{110}</math>
 <math>\bar{x}=25+\frac{-1}{11}=24.9</math>
+विद्यार्थियों के माध्य अंक  <math>24.9</math>  हैं