समान समुच्चय: Difference between revisions

Latest revision as of 16:37, 26 March 2024

समुच्चय सिद्धांत में समान समुच्चय ऐसे समुच्चय हैं जिनमें अवयवों की संख्या समान होती है और सभी अवयव समान होते हैं।

परिभाषा

दो समुच्चय $A$ और $B$ समान कहलाते हैं यदि उनके अवयव पूर्णतः समान हों और हम $A=B$ लिखते हैं। अन्यथा, समुच्चयों को असमान कहा जाता है और हम $A\neq B$ लिखते हैं।

उदाहरण:

(i) मान लीजिए $A=\{1,2,3,4\}$ और $B=\{4,3,2,1\}$ । तब $A=B$ ।

(ii) सिद्ध करें कि $A=\{x:x$ इस प्रकार अभाज्य है कि $1<x<10\}$ और $B=\{2,3,5,7\}$ समान समुच्चय हैं।

हल: $A=\{x:x$ इस प्रकार अभाज्य है कि $1<x<10\}=\{2,3,5,7\}$

अब, $A$ और $B$ में अवयवों की संख्या समान है, अर्थात, $4$ और सभी अवयव भी समान हैं।

अतः, $A=B$

$A=\{x:x$ इस प्रकार अभाज्य है कि $1<x<10\}=\{2,3,5,7\}=B$

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-Equal sets are sets in set theory in which the number of elements is the same and all elements are equal.
+समुच्चय सिद्धांत में समान समुच्चय ऐसे समुच्चय हैं जिनमें अवयवों की संख्या समान होती है और सभी अवयव समान होते हैं।
-== Definition ==
+== परिभाषा ==
-Two sets <math>A</math> and <math>B</math> are said to be equal if they have exactly the same elements and we write <math>A=B</math>. Otherwise, the sets are said to be unequal and we write <math>A \neq B</math>.
+दो समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math>  समान कहलाते हैं यदि उनके अवयव पूर्णतः समान हों और हम <math>A=B</math> लिखते हैं। अन्यथा, समुच्चयों को असमान कहा जाता है और हम<math>A \neq B</math> लिखते हैं।
-'''Examples:'''
+'''उदाहरण:'''
-(i) Let <math>A=\{1,2,3,4\}</math> and <math>B=\{4,3,2,1\}</math>. Then <math>A=B</math>.
+(i) मान लीजिए <math>A=\{1,2,3,4\}</math> और <math>B=\{4,3,2,1\}</math>। तब <math>A=B</math>।
-(ii) Prove that <math>A=\{x:x</math> is prime such that <math>1<x<10 \}</math>  and <math>B=\{2,3,5,7\}</math>are equal sets.
+(ii) सिद्ध करें कि <math>A=\{x:x</math>  इस प्रकार अभाज्य है कि <math>1<x<10 \}</math>  और <math>B=\{2,3,5,7\}</math>समान समुच्चय हैं।
-'''Solution:''' <math>A=\{x:x</math> is prime such that <math>1<x<10 \}=\{2,3,5,7\}</math>
+'''हल:'''  <math>A=\{x:x</math> इस प्रकार अभाज्य है कि <math>1<x<10 \}=\{2,3,5,7\}</math>
-Now, the number of elements in <math>A</math> and <math>B</math> are the same, i.e., <math>4</math> and all the elements are also equal.
+अब, <math>A</math> और <math>B</math> में अवयवों की संख्या समान है, अर्थात, <math>4</math> और सभी अवयव भी समान हैं।
-Therefore, <math>A=B</math>
+अतः, <math>A=B</math>
-<math>A=\{x:x</math> is prime such that <math>1<x<10 \}=\{2,3,5,7\}=B</math>
+<math>A=\{x:x</math> इस प्रकार अभाज्य है कि <math>1<x<10 \}=\{2,3,5,7\}=B</math>
 [[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]