समुच्चयों का कार्टेशियन गुणन: Difference between revisions
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== समुच्चयों के कार्टेशियन गुणन की परिभाषा == | == समुच्चयों के कार्टेशियन गुणन की परिभाषा == | ||
दो अरिक्त समुच्चय A और B दिए गए हैं, सभी क्रमित युग्म <math>(x,y)</math> का समुच्चय, जहां <math>x\in A</math>और <math>y\in B</math> को <math>A</math> और <math>B</math> का कार्टेशियन गुणन कहा जाता है। प्रतीकात्मक रूप से हम लिखते हैं | |||
<math>A=\{ | <math>A X B=\{(x,y): x \in A, y \in B \}</math> | ||
<math> | यदि <math>A=\{1,2,3\}</math> और <math>B=\{4,5\}</math>, तब | ||
<math>A X B=\{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5) \}</math> | |||
<math>B X A=\{(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3) \}</math> | |||
=== समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन === | |||
== समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन == | |||
दो अरिक्त समुच्चय <math>P</math> और <math>Q</math> दिए गए हैं। कार्टेशियन गुणन <math>P X Q</math>, <math>P</math> और <math>Q</math> से अवयवों के सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय है, अर्थात, | दो अरिक्त समुच्चय <math>P</math> और <math>Q</math> दिए गए हैं। कार्टेशियन गुणन <math>P X Q</math>, <math>P</math> और <math>Q</math> से अवयवों के सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय है, अर्थात, | ||
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यदि <math>P</math> या <math>Q</math> शून्य समुच्चय है, तो <math>P X Q</math> भी एक रिक्त समुच्चय होगा, अर्थात्, <math>P X Q = \emptyset</math> | यदि <math>P</math> या <math>Q</math> शून्य समुच्चय है, तो <math>P X Q</math> भी एक रिक्त समुच्चय होगा, अर्थात्, <math>P X Q = \emptyset</math> | ||
== कार्टेशियन गुणन का गणनांक क्या है? == | === कार्टेशियन गुणन का गणनांक क्या है? === | ||
समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> के कार्टेशियन गुणन का गणनांक <math>A X B</math> में क्रमित युग्मों की कुल संख्या होगी | |||
मान लीजिए <math>p</math>, <math>A</math> के अवयवों की संख्या है और <math>q</math>, <math>B</math> में अवयवों की संख्या है। | |||
तो, <math>A</math> और <math>B</math> के कार्टेशियन गुणन में अवयवों की संख्या <math>pq</math> है | |||
अर्थात यदि <math>n(A)=p,n(B)=q</math> तब <math>n(A X B)=pq</math> | अर्थात यदि <math>n(A)=p,n(B)=q</math> तब <math>n(A X B)=pq</math> | ||
=== समुच्चय गुणधर्म का कार्टेशियन गुणन === | |||
(i) दो क्रमित युग्म समान हैं, यदि और केवल यदि संगत पहले अवयव समान हैं और दूसरे अवयव भी समान हैं, | |||
अर्थात <math>(x,y)=(u,v)</math> यदि और केवल यदि <math>x=u , y=v</math>. | |||
(ii) if <math>n(A)=p,n(B)=q</math> तब <math>n(A X B)=pq</math> | |||
(iii) <math>A \ X \ A \ X \ A =\{(a,b,c):a,b,c \in A \}</math>. यहाँ <math>(a,b,c)</math> को क्रमित त्रिक कहा जाता है। | |||
उदाहरण: | |||
तीन समुच्चयों A = {a, b}, B = {1, 2} और C = {x, y} का कार्टेशियन गुणनफल ज्ञात कीजिए। | |||
<math>A=\{a,b\}, B=\{1,2\}</math> and <math>C=\{x,y\}</math> | |||
'''हल:''' | |||
<math>A \ X \ B \ X \ C</math> के क्रमित युग्म नीचे दिए गए अनुसार बनाए जा सकते हैं: | |||
1वां युग्म ⇒ {'''a''', b} × {'''1''', 2} × {'''x''', y} ⇒ <math>(a,1,x)</math> | |||
2वां युग्म ⇒ {'''a''', b} × {'''1''', 2} × {x, '''y'''} ⇒ (a, 1, y) | |||
3वां युग्म ⇒ {'''a''', b} × {1, '''2'''} × {'''x''', y} ⇒ (a, 2, x) | |||
4वां युग्म ⇒ {'''a''', b} × {1, '''2'''} × {x, '''y'''} ⇒ (a, 2, y) | |||
5वां युग्म ⇒ {a, '''b'''} × {'''1''', 2} × {'''x''', y} ⇒ (b, 1, x) | |||
6वां युग्म ⇒ {a, '''b'''} × {'''1''', 2} × {x, '''y'''} ⇒ (b, 1, y) | |||
7वां युग्म ⇒ {a, '''b'''} × {1, '''2'''} × {'''x''', y} ⇒ (b, 2, x) | |||
8वां युग्म ⇒ {a, '''b'''} × {1, '''2'''} × {x, '''y'''} ⇒ (b, 2, y) | |||
इस प्रकार, <math>A \ X \ B \ X \ C</math> के क्रमबद्ध युग्मों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: | |||
<math>A \ X \ B \ X \ C =\{ (a,1,x),(a,1,y),(a,2,x),(a,2,y),(b,1,x),(b,1,y),(b,2,x),(b,2,y)\}</math> | |||
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Latest revision as of 13:08, 3 April 2024
यहां हम सीखेंगे कि दो समुच्चयों के अवयवों के युग्म को कैसे श्रृंखलित किया जाए और फिर शृंखला में दो अवयवों के बीच संबंध कैसे प्रस्तुत किया जाए।
समुच्चयों के कार्टेशियन गुणन की परिभाषा
दो अरिक्त समुच्चय A और B दिए गए हैं, सभी क्रमित युग्म का समुच्चय, जहां और को और का कार्टेशियन गुणन कहा जाता है। प्रतीकात्मक रूप से हम लिखते हैं
यदि और , तब
समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन
दो अरिक्त समुच्चय और दिए गए हैं। कार्टेशियन गुणन , और से अवयवों के सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय है, अर्थात,
यदि या शून्य समुच्चय है, तो भी एक रिक्त समुच्चय होगा, अर्थात्,
कार्टेशियन गुणन का गणनांक क्या है?
समुच्चय और के कार्टेशियन गुणन का गणनांक में क्रमित युग्मों की कुल संख्या होगी
मान लीजिए , के अवयवों की संख्या है और , में अवयवों की संख्या है।
तो, और के कार्टेशियन गुणन में अवयवों की संख्या है
अर्थात यदि तब
समुच्चय गुणधर्म का कार्टेशियन गुणन
(i) दो क्रमित युग्म समान हैं, यदि और केवल यदि संगत पहले अवयव समान हैं और दूसरे अवयव भी समान हैं,
अर्थात यदि और केवल यदि .
(ii) if तब
(iii) . यहाँ को क्रमित त्रिक कहा जाता है।
उदाहरण:
तीन समुच्चयों A = {a, b}, B = {1, 2} और C = {x, y} का कार्टेशियन गुणनफल ज्ञात कीजिए।
and
हल:
के क्रमित युग्म नीचे दिए गए अनुसार बनाए जा सकते हैं:
1वां युग्म ⇒ {a, b} × {1, 2} × {x, y} ⇒
2वां युग्म ⇒ {a, b} × {1, 2} × {x, y} ⇒ (a, 1, y)
3वां युग्म ⇒ {a, b} × {1, 2} × {x, y} ⇒ (a, 2, x)
4वां युग्म ⇒ {a, b} × {1, 2} × {x, y} ⇒ (a, 2, y)
5वां युग्म ⇒ {a, b} × {1, 2} × {x, y} ⇒ (b, 1, x)
6वां युग्म ⇒ {a, b} × {1, 2} × {x, y} ⇒ (b, 1, y)
7वां युग्म ⇒ {a, b} × {1, 2} × {x, y} ⇒ (b, 2, x)
8वां युग्म ⇒ {a, b} × {1, 2} × {x, y} ⇒ (b, 2, y)
इस प्रकार, के क्रमबद्ध युग्मों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
