संख्या पद्धति: Difference between revisions

Latest revision as of 20:56, 23 April 2024

संख्या पद्धति/प्रणाली संख्याओं का नामकरण या प्रतिनिधित्व करने की पद्धति है। संख्या एक गणितीय मान है जो वस्तुओं को गिनने या मापने में मदद करती है और यह विभिन्न गणितीय गणनाएँ करने में मदद करती है।

परिभाषा

संख्या पद्धति को संख्याओं को व्यक्त करने के लिए लिखने की पद्धति के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह अंकों या अन्य प्रतीकों का सुसंगत तरीके से उपयोग करके किसी दिए गए सेट की संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए गणितीय संकेतन है। यह प्रत्येक संख्या का एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व प्रदान करता है और आंकड़ों की अंकगणित और बीजगणितीय संरचना का प्रतिनिधित्व करता है। यह हमें जोड़, घटाव, गुणा और भाग जैसे अंकगणितीय ऑपरेशन संचालित करने की भी अनुमति देता है।

किसी संख्या में किसी भी अंक का मान निम्न द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

अंक
संख्या में उसका स्थान
संख्या पद्धति का आधार

संख्या पद्धतियों के प्रकार

गणित में विभिन्न प्रकार की संख्या पद्धतियाँ हैं। चार सर्वाधिक सामान्य संख्या पद्धति इस प्रकार हैं:

दशमलव संख्या पद्धति (आधार- $10$ })
द्वि आधारी(बाइनरी) संख्या पद्धति (आधार- $2$ })
अष्टाधारी संख्या पद्धति (आधार- $8$ })
षोडश आधारी(हेक्साडेसिमल) संख्या पद्धति (आधार- $16$ })

दशमलव संख्या पद्धति (आधार 10 संख्या पद्धति)

दशमलव संख्या पद्धति का आधार $10$ है क्योंकि यह $0$ से $9$ तक दस अंकों का उपयोग करता है। दशमलव संख्या पद्धति में, दशमलव बिंदु के बाईं ओर की क्रमिक स्थानइकाइयों, दहाई, सैकड़ों, हजारों आदि को दर्शाती है। यह पद्धति दशमलव संख्याओं में व्यक्त की जाती है। प्रत्येक स्थान आधार का एक विशेष घात दर्शाता है ( $10$ )।

दशमलव संख्या पद्धति के उदाहरण:

दशमलव संख्या $1234$ में इकाई स्थान में अंक $4$ शामिल है,दहाई के स्थान पर $3$ , सैकड़े के स्थान पर $2$ , और हज़ार के स्थान पर $1$ जिसका मान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$(1\times 10^{3})+(2\times 10^{2})+(3\times 10^{1})+(4\times 10^{0})$

$(1\times 1000)+(2\times 100)+(3\times 10)+(4\times 1)$

$(1000+200+30+4)$

$1234$

द्वि आधारी(बाइनरी) संख्या पद्धति (आधार 2 संख्या पद्धति)

आधार $2$ संख्या पद्धति को द्वि आधारी संख्या प्रणाली के रूप में भी जाना जाता है, जिसमें मात्र दो द्वि आधारी अंक उपस्थित होते हैं, यानी, $0$ और $1$ । इस प्रणाली के अंतर्गत वर्णित अंकों को द्विआधारी संख्या के रूप में जाना जाता है जो कि $0$ और $1$ का संयोजन हैं। उदाहरण के लिए, $1110$ एक द्विआधारी संख्या है।

द्वि आधारी(बाइनरी) संख्या पद्धति के उदाहरण:

$(14)_{10}$ को द्वि आधारी(बाइनरी) संख्या के रूप में लिखें।

हल:

$2$	$14$
$2$	$7$	$0$	$\uparrow$
$2$	$3$	$1$	$\uparrow$
	$1$	$1$	$\uparrow$
	$\rightarrow$	$\rightarrow$

प्रक्रिया :

संख्या $14$ को $2$ से विभाजित करें, भागफल $7$ है और शेषफल $0$ है।

भागफल $7$ को $2$ से विभाजित करें, भागफल $3$ है और शेषफल $1$ है।

भागफल $3$ को $2$ से विभाजित करें, भागफल $1$ है और शेषफल $1$ है।

ऊपर दिए गए बाण चिन्ह की दिशा के अनुसार संख्याएँ लिखें -

$(14)_{10}=(1110)_{2}$

अष्टाधारी संख्या पद्धति (आधार 8 संख्या पद्धति)

अष्टाधारी संख्या पद्धति में, आधार $8$ है और यह संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए $0$ से $7$ तक की संख्याओं का उपयोग करता है। अष्टाधारी संख्याएँ साधारणतः कंप्यूटर अनुप्रयोगों में उपयोग की जाती हैं।

उदाहरण के लिए, $(14110)_{8}$ एक अष्टाधारी संख्या है जो $(2158)_{10}$ के समतुल्य है।

षोडश आधारी(हेक्साडेसिमल) संख्या पद्धति (आधार 16 संख्या पद्धति)

षोडश आधारी(हेक्साडेसिमल) पद्धति में, संख्याओं को आधार $16$ के साथ लिखा या दर्शाया जाता है। हेक्साडेसिमल प्रणाली में, संख्याओं को पहले दशमलव प्रणाली की तरह ही दर्शाया जाता है, यानी $0$ से $9$ तक। फिर, संख्याओं को $A$ से $F$ तक वर्णमाला का उपयोग करके दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, $(F2)_{16}$ एक षोडश आधारी(हेक्साडेसिमल) संख्या है जो $(242)_{10}$

@@ Line 17: / Line 17: @@
 # दशमलव संख्या पद्धति (आधार-<math>10</math>})
-# द्वि आधारी(बाइनरी) आधारी संख्या पद्धति (आधार-<math>2</math>})
+# द्वि आधारी(बाइनरी) संख्या पद्धति (आधार-<math>2</math>})
 # अष्टाधारी संख्या पद्धति (आधार-<math>8</math>})
 # षोडश आधारी(हेक्साडेसिमल) संख्या पद्धति (आधार-<math>16</math>})
@@ Line 26: / Line 26: @@
 '''दशमलव संख्या पद्धति के उदाहरण:'''
-दशमलव संख्या <math>1234</math> में इकाई स्थान में अंक  शामिल है,दहाई के स्थान पर 3, सैकड़े के स्थान पर 2, और हज़ार के स्थान पर 1 जिसका मान इस प्रकार लिखा जा सकता है:
+दशमलव संख्या <math>1234</math> में इकाई स्थान में अंक <math>4</math> शामिल है,दहाई के स्थान पर <math>3</math>, सैकड़े के स्थान पर <math>2</math>, और हज़ार के स्थान पर <math>1</math> जिसका मान इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 <math>(1\times10^3)+(2\times10^2)+(3\times10^1)+(4\times10^0)</math>
@@ Line 35: / Line 35: @@
 <math>1234</math>
+=== द्वि आधारी(बाइनरी) संख्या पद्धति (आधार 2 संख्या पद्धति) ===
+आधार <math>2</math> संख्या पद्धति को द्वि आधारी संख्या प्रणाली के रूप में भी जाना जाता है, जिसमें मात्र दो द्वि आधारी अंक उपस्थित होते हैं, यानी, <math>0</math> और <math>1</math>। इस प्रणाली के अंतर्गत वर्णित अंकों को द्विआधारी संख्या के रूप में जाना जाता है जो कि  <math>0</math> और <math>1</math> का संयोजन हैं। उदाहरण के लिए, <math>1110</math> एक द्विआधारी संख्या है।
+'''द्वि आधारी(बाइनरी) संख्या पद्धति के उदाहरण:'''
+<math>(14)_{10}</math> को द्वि आधारी(बाइनरी) संख्या के रूप में लिखें।
+'''हल:'''
+{| class="wikitable"
+|<math>2</math>
+|<math>14</math>
+|
+|
+|-
+|<math>2</math>
+|<math>7</math>
+|<math>0</math>
+|<math>\uparrow</math>
+|-
+|<math>2</math>
+|<math>3</math>
+|<math>1</math>
+|<math>\uparrow</math>
+|-
+|
+|<math>1</math>
+|<math>1</math>
+|<math>\uparrow</math>
+|-
+|
+|<math>\rightarrow</math>
+|<math>\rightarrow</math>
+|
+|}
+'''प्रक्रिया :'''
+संख्या <math>14</math> को <math>2</math> से विभाजित करें, भागफल <math>7</math> है और शेषफल <math>0</math> है।
+भागफल <math>7</math> को <math>2</math> से विभाजित करें, भागफल <math>3</math> है और शेषफल <math>1</math> है।
+भागफल <math>3</math> को <math>2</math> से विभाजित करें, भागफल <math>1</math> है और शेषफल <math>1</math> है।
+ऊपर दिए गए बाण चिन्ह की दिशा के अनुसार संख्याएँ लिखें -
+<math>(14)_{10} = (1110)_{2}</math>
+=== अष्टाधारी संख्या पद्धति (आधार 8 संख्या पद्धति) ===
+अष्टाधारी संख्या पद्धति  में, आधार <math>8</math> है और यह संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए <math>0</math> से <math>7</math> तक की संख्याओं का उपयोग करता है। अष्टाधारी संख्याएँ साधारणतः कंप्यूटर अनुप्रयोगों में उपयोग की जाती हैं।
+उदाहरण के लिए, <math>(14110)_8</math> एक अष्टाधारी संख्या है जो <math>(2158)_{10
+}</math> के समतुल्य है।
+=== षोडश आधारी(हेक्साडेसिमल) संख्या पद्धति (आधार 16 संख्या पद्धति) ===
+षोडश आधारी(हेक्साडेसिमल) पद्धति में, संख्याओं को आधार <math>16 </math> के साथ लिखा या दर्शाया जाता है। हेक्साडेसिमल प्रणाली में, संख्याओं को पहले दशमलव प्रणाली की तरह ही दर्शाया जाता है, यानी <math>0</math> से <math>9</math> तक। फिर, संख्याओं को <math>A</math> से <math>F</math> तक वर्णमाला का उपयोग करके दर्शाया जाता है।
+उदाहरण के लिए, <math>(F2)_{16
+}</math> एक षोडश आधारी(हेक्साडेसिमल) संख्या है जो <math>(242)_{10
+}</math>