अनवसानी(असांत) आवर्ती दशमलव प्रसार: Difference between revisions

Latest revision as of 11:05, 6 May 2024

अनवसानी(असांत) दशमलव वे दशमलव होते हैं जिनमें कभी न समाप्त होने वाले दशमलव अंक होते हैं और वे सदैव के लिए जारी रहते हैं।

अनवसानी दशमलव परिभाषा

अनवसानी दशमलव को उन दशमलव संख्याओं के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनके दशमलव अंकों में कोई समापन बिंदु नहीं होता है और जो सदैव के लिए जारी रहते हैं। ऐसा तब होता है जब एक लाभांश को एक भाजक द्वारा विभाजित किया जाता है लेकिन शेष कभी भी $0$ नहीं होता है और इसलिए प्रक्रिया दोहराई जाती रहती है और भागफल में अनवसानी दशमलव प्राप्त होता है जहां दशमलव अंक आते रहते हैं और कभी समाप्त नहीं होते हैं . एक अनवसानी दशमलव में दशमलव स्थानों की अनंत संख्या होती है और इसे अनवसानी नाम दिया गया है क्योंकि दशमलव कभी समाप्त नहीं होगा।

उदाहरण के लिए, $1.333333....$ $4.65675747775....$ आदि

अनवसानी(असांत) दशमलव प्रसार के प्रकार

एक अनवसानी(असांत) दशमलव प्रसार में अनंत स्थानों की संख्या होती है और इसका विस्तार सदैव चलता रहता है। हमारे पास दो प्रकार के अनवसानी दशमलव प्रसार हैं और वे इस प्रकार हैं:

अनवसानी(असांत) आवर्ती दशमलव प्रसार
अनवसानी(असांत) गैर-आवर्ती दशमलव प्रसार

अनवसानी(असांत) आवर्ती दशमलव प्रसार

अनवसानी आवर्ती दशमलव को असांत आवर्ती दशमलव के नाम से भी जाना जाता है। इस प्रसार में, दशमलव स्थान एक विशिष्ट प्रतिरूप(पैटर्न) में दशमलव मानों की पुनरावृत्ति के साथ सदैव के लिए जारी रहेंगे।

उदाहरण के लिए, ${\frac {2}{9}}=0.2222222....$ एक अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार है। दशमलव की पुनरावृत्ति को दोहराई जाने वाली संख्याओं के शीर्ष पर एक रेखा (बार) दिखाकर भी दर्शाया जा सकता है, यानी $0.2222222....$ को $0.{\bar {2}}$ के रूप में भी दर्शाया जा सकता है। इसी प्रकार, ${\frac {1}{7}}=0.142857142857....$ जिसे $0.{\bar {1}}{\bar {4}}{\bar {2}}{\bar {8}}{\bar {5}}{\bar {7}}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है, यह भी एक असांत आवर्ती दशमलव प्रसार है क्योंकि दशमलव का ब्लॉक 142857 हर 6 अंकों के बाद दोहराया जाता है। असांत आवर्ती दशमलव को सदैव एक परिमेय संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है।

अनवसानी(असांत) अनावर्ती दशमलव प्रसार

अनवसानी अनावर्ती दशमलव को अनवसानी गैर-आवर्ती दशमलव के नाम से भी जाना जाता है क्योंकि दशमलव के बाद के मानों की पुनरावृत्ति या समाप्ति नहीं होती है।

उदाहरण के लिए, $1.4142135....$ , $2.35638745....$ एक अनवसानी अनावर्ती दशमलव को परिमेय संख्या में परिवर्तित नहीं किया जा सकता। इसलिए, असांत अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय संख्या के रूप में भी जाना जाता है। ध्यान दें कि pi( $\pi$ ) एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसका प्रसार अनवसानी, अनावर्ती है अर्थात, $3.1415926535897....$

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 == अनवसानी दशमलव परिभाषा ==
-अनवसानी दशमलव को उन दशमलव संख्याओं के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनके दशमलव अंकों में कोई समापन बिंदु नहीं होता है और जो सदैव के लिए जारी रहते हैं। ऐसा तब होता है जब एक लाभांश को एक भाजक द्वारा विभाजित किया जाता है लेकिन शेष कभी भी 0 नहीं होता है और इसलिए प्रक्रिया दोहराई जाती रहती है और भागफल में अनवसानी दशमलव प्राप्त होता है जहां दशमलव अंक आते रहते हैं और कभी समाप्त नहीं होते हैं . एक अनवसानी दशमलव में दशमलव स्थानों की अनंत संख्या होती है और इसे अनवसानी नाम दिया गया है क्योंकि दशमलव कभी समाप्त नहीं होगा।
+अनवसानी दशमलव को उन दशमलव संख्याओं के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनके दशमलव अंकों में कोई समापन बिंदु नहीं होता है और जो सदैव के लिए जारी रहते हैं। ऐसा तब होता है जब एक लाभांश को एक भाजक द्वारा विभाजित किया जाता है लेकिन शेष कभी भी <math>0</math> नहीं होता है और इसलिए प्रक्रिया दोहराई जाती रहती है और भागफल में अनवसानी दशमलव प्राप्त होता है जहां दशमलव अंक आते रहते हैं और कभी समाप्त नहीं होते हैं . एक अनवसानी दशमलव में दशमलव स्थानों की अनंत संख्या होती है और इसे अनवसानी नाम दिया गया है क्योंकि दशमलव कभी समाप्त नहीं होगा।
 उदाहरण के लिए, <math>1.333333....</math><math>4.65675747775....</math>आदि
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 === अनवसानी(असांत) आवर्ती दशमलव प्रसार ===
-अनवसानी आवर्ती दशमलव को अनवसानी आवर्ती दशमलव के नाम से भी जाना जाता है। इस विस्तार में, दशमलव स्थान एक विशिष्ट पैटर्न में दशमलव मानों की पुनरावृत्ति के साथ हमेशा के लिए जारी रहेंगे।
+अनवसानी आवर्ती दशमलव को असांत आवर्ती दशमलव के नाम से भी जाना जाता है। इस प्रसार में, दशमलव स्थान एक विशिष्ट प्रतिरूप(पैटर्न) में दशमलव मानों की पुनरावृत्ति के साथ सदैव के लिए जारी रहेंगे।
-उदाहरण के लिए, <math>\frac{2}{9}=0.2222222....</math> एक अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार है। दशमलव की पुनरावृत्ति को दोहराई जाने वाली संख्याओं के शीर्ष पर एक बार दिखाकर भी दर्शाया जा सकता है, यानी <math>0.2222222....</math>को <math>0.\bar{2}</math> के रूप में भी दर्शाया जा सकता है। इसी प्रकार,<math>\frac{1}{7}=0.142857142857....</math> जिसे <math>0.\bar{1}\bar{4}\bar{2}\bar{8}\bar{5}\bar{7}
+उदाहरण के लिए, <math>\frac{2}{9}=0.2222222....</math> एक अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार है। दशमलव की पुनरावृत्ति को दोहराई जाने वाली संख्याओं के शीर्ष पर एक रेखा (बार) दिखाकर भी दर्शाया जा सकता है, यानी <math>0.2222222....</math>को <math>0.\bar{2}</math> के रूप में भी दर्शाया जा सकता है। इसी प्रकार,<math>\frac{1}{7}=0.142857142857....</math> जिसे <math>0.\bar{1}\bar{4}\bar{2}\bar{8}\bar{5}\bar{7}
-</math> के रूप में भी लिखा जा सकता है, यह भी एक असांत आवर्ती दशमलव विस्तार है क्योंकि दशमलव का ब्लॉक 142857 हर 6 अंकों के बाद दोहराया जाता है। असांत आवर्ती दशमलव को हमेशा एक परिमेय संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है।
+</math> के रूप में भी लिखा जा सकता है, यह भी एक असांत आवर्ती दशमलव प्रसार है क्योंकि दशमलव का ब्लॉक 142857 हर 6 अंकों के बाद दोहराया जाता है। असांत आवर्ती दशमलव को सदैव एक परिमेय संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है।
-=== अनवसानी(असांत) गैर-आवर्ती दशमलव प्रसार ===
+=== अनवसानी(असांत) अनावर्ती दशमलव प्रसार ===
+अनवसानी अनावर्ती दशमलव को अनवसानी गैर-आवर्ती दशमलव के नाम से भी जाना जाता है क्योंकि दशमलव के बाद के मानों की पुनरावृत्ति या समाप्ति नहीं होती है।
+उदाहरण के लिए, <math>1.4142135....</math> , <math>2.35638745....</math>एक अनवसानी अनावर्ती दशमलव को परिमेय संख्या में परिवर्तित नहीं किया जा सकता। इसलिए, असांत अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय संख्या के रूप में भी जाना जाता है। ध्यान दें कि pi(<math>\pi</math>) एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसका प्रसार अनवसानी, अनावर्ती है अर्थात, <math>3.1415926535 897....</math>