त्रिपद: Difference between revisions

Latest revision as of 08:37, 5 November 2024

त्रिपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें तीन पद होते हैं। बीजगणितीय व्यंजक में एक या अधिक पदों के चर और अचर होते हैं। ये व्यंजक $+,-,\times$ और $\div$ जैसे प्रतीकों या संक्रियाओं को विभाजक के रूप में उपयोग करते हैं। इस बीजगणितीय व्यंजक के अंतर्गत एक त्रिपद के साथ-साथ एकपद, द्विपद और बहुपद को वर्गीकृत किया गया है।

परिभाषा

त्रिपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें तीन गैर-शून्य पद होते हैं और व्यंजक में एक से अधिक चर होते हैं। त्रिपद एक प्रकार का बहुपद है लेकिन इसमें तीन पद होते हैं। बहुपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें एक या अधिक पद होते हैं और इसे मानक रूप में $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+.....+a_{n}x^{0}$ के रूप में लिखा जाता है, जहां $a_{0},a_{1},a_{2},.....a_{n}$ स्थिरांक हैं और $n$ एक प्राकृतिक संख्या है।

अनेक चरों और तीन पदों वाले त्रिपदों के उदाहरण $x^{2}+y^{2}+xy$ , $xyz^{3}+x^{2}z^{2}+zy^{3}$ हैं

एक चर वाले त्रिपदों के उदाहरण $x^{2}+2x+3$ , $5x^{4}-4x^{2}+1$ हैं

एक बहुपद को उसके पदों की संख्या के आधार पर विभिन्न नामों से संदर्भित किया जा सकता है। नीचे दी गई तालिका में नामों का उल्लेख किया गया है।

पदों की संख्या	बहुपद	उदाहरण
1	एकपद	$xy$
2	द्विपद	$x+y$
3	त्रिपद	$x^{2}+xz+1$

द्विघात त्रिपद

द्विघात त्रिपद चर और स्थिरांक के साथ एक प्रकार का बीजीय व्यंजक है। इसे $ax^{2}+bx+c$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $x$ चर है और $a,b,c$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं। स्थिरांक ' $a$ ' को अग्रणी गुणांक के रूप में जाना जाता है, ' $b$ ' रैखिक गुणांक है, ' $c$ ' योगात्मक स्थिरांक है। द्विघात त्रिपद विभेदक $D$ का भी वर्णन करता है जहाँ यह व्यंजक की मात्रा को परिभाषित करता है और इसे $D=b^{2}-4ac$ के रूप में लिखा जाता है। विभेदक द्विघात त्रिपदों के विभिन्न मामलों को वर्गीकृत करने में मदद करता है। यदि एकल चर वाले द्विघात त्रिपद का मान शून्य है, तो इसे द्विघात समीकरण के रूप में जाना जाता है अर्थात $ax^{2}+bx+c=0$

त्रिपदों का गुणनखंड कैसे करें?

त्रिपद का गुणनखंडन करने का अर्थ है किसी समीकरण को दो या दो से अधिक द्विपद/एकपद के गुणनफल में विस्तारित करना। इसे $(x+m)(x+n)$ के रूप में लिखा जाता है।

त्रिपद को कई प्रकार से गुणनखंडित किया जा सकता है।

एक चर में द्विघात त्रिपद

एक चर में द्विघात त्रिपद सूत्र का सामान्य रूप $ax^{2}+bx+c$ है, जहाँ $a,b,c$ स्थिर पद हैं और कोई भी $a,b,c$ शून्य नहीं है। $a,b,c$ के मान के लिए, यदि $b^{2}-4ac>0$ है, तो हम सदैव एक द्विघात त्रिपद को गुणनखंडित कर सकते हैं। इसका मतलब है कि $ax^{2}+bx+c=a(x+h)(x+k)$ , जहाँ $h,k$ वास्तविक संख्याएँ हैं।

उदाहरण : गुणनखंडन करें: $3x^{2}-4x-4$

हल:

चरण 1:- सबसे पहले $x^{2}$ के गुणांक और स्थिर पद को गुणा करें।

$3\times -4=-12$

चरण 2:-मध्य पद $-4x$ को ऐसे तोड़ें कि परिणामी गुणांक संख्याओं को गुणा करने पर हमें परिणाम $-12$ प्राप्त हो

(पहले चरण से प्राप्त किया गया)।

$-4x=-6x+2x$

$-6\times 2=-12$

चरण 3:- मध्य पद में परिवर्तन लागू करके मुख्य समीकरण को पुनः लिखें।

$3x^{2}-4x-4=3x^{2}-6x+2x-4$

चरण 4:- पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को मिलाएं, समीकरण को सरल बनाएं और कोई भी सामान्य संख्या या व्यंजक निकालें।

$3x^{2}-6x+2x-4=3x(x-2)+2(x-2)$

चरण 5:- पुनः दोनों पदों से उभयनिष्ठ $(x-2)$ लीजिए।

$3x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(3x+2)$

इसलिए, $(x-2)$ और $(3x+2)$ , $3x^{2}-4x-4$ के गुणनखंड हैं।

दो चर वाले द्विघात त्रिपद

दो चरों वाले द्विघात त्रिपद को हल करने का कोई विशिष्ट उपाय नहीं है।

उदाहरण : गुणनखंडन करें: $x^{2}+3xy+2y^{2}$

हल:

चरण 1: इस प्रकार के त्रिपद भी ऊपर बताए गए समान नियम का पालन करते हैं, अर्थात, हमें मध्य पद को विभाजित करने की आवश्यकता है।

$x^{2}+3xy+2y^{2}=x^{2}+2xy+xy+2y^{2}$

चरण 2: समीकरण को सरल करें और व्यंजकों की उभयनिष्ठ संख्याएँ निकालें।

$x^{2}+2xy+xy+2y^{2}=x(x+2y)+y(x+2y)$

चरण 3: पुनः दोनों पदों से $(x+2y)$ उभयनिष्ठ लीजिए।

$x(x+2y)+y(x+2y)=(x+y)(x+2y)$

अतः, $(x+y)$ और $(x+2y)$ , $x^{2}+3xy+2y^{2}$ के गुणनखंड हैं।

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+त्रिपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें तीन पद होते हैं। बीजगणितीय व्यंजक में एक या अधिक पदों के चर और अचर होते हैं। ये व्यंजक <math>+,-,\times</math>और <math>\div</math> जैसे प्रतीकों या संक्रियाओं को विभाजक के रूप में उपयोग करते हैं। इस बीजगणितीय व्यंजक के अंतर्गत एक त्रिपद के साथ-साथ [[एकपद]], [[द्विपद]] और [[बहुपद]] को वर्गीकृत किया गया है।
-[[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
+== परिभाषा ==
-त्रिपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें तीन पद होते हैं। बीजगणितीय व्यंजक में एक या अधिक पदों के चर और अचर होते हैं। ये व्यंजक +, -, ×, और ÷ जैसे प्रतीकों या संक्रियाओं को विभाजक के रूप में उपयोग करते हैं। इस बीजगणितीय व्यंजक के अंतर्गत एक त्रिपद के साथ-साथ एकपद, द्विपद और बहुपद को वर्गीकृत किया गया है।
+त्रिपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें तीन गैर-शून्य पद होते हैं और व्यंजक में एक से अधिक चर होते हैं। त्रिपद एक प्रकार का बहुपद है लेकिन इसमें तीन पद होते हैं। बहुपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें एक या अधिक पद होते हैं और इसे मानक रूप में <math>a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+.....+a_nx^0</math> के रूप में लिखा जाता है, जहां <math>a_0,a_1,a_2,.....a_n</math>स्थिरांक हैं और <math>n</math> एक प्राकृतिक संख्या है।
+अनेक चरों और तीन पदों वाले त्रिपदों के उदाहरण <math>x^2+y^2+xy</math> , <math>xyz^3+x^2z^2+zy^3</math>हैं
+एक चर वाले त्रिपदों के उदाहरण <math>x^2+2x+3</math>, <math>5x^4-4x^2+1</math> हैं
+एक बहुपद को उसके पदों की संख्या के आधार पर विभिन्न नामों से संदर्भित किया जा सकता है। नीचे दी गई तालिका में नामों का उल्लेख किया गया है।
+{| class="wikitable"
+|'''पदों की संख्या'''
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+== द्विघात त्रिपद ==
+द्विघात त्रिपद चर और स्थिरांक के साथ एक प्रकार का बीजीय व्यंजक है। इसे <math>ax^2+bx+c</math> के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ <math>x</math> चर है और <math>a,b,c</math> शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं। स्थिरांक '<math>a</math>' को अग्रणी गुणांक के रूप में जाना जाता है, '<math>b</math>' रैखिक गुणांक है, '<math>c</math>' योगात्मक स्थिरांक है। द्विघात त्रिपद विभेदक <math>D</math> का भी वर्णन करता है जहाँ यह व्यंजक की मात्रा को परिभाषित करता है और इसे <math>D=b^2-4ac</math> के रूप में लिखा जाता है। विभेदक द्विघात त्रिपदों के विभिन्न मामलों को वर्गीकृत करने में मदद करता है। यदि एकल चर वाले द्विघात त्रिपद का मान शून्य है, तो इसे द्विघात समीकरण के रूप में जाना जाता है अर्थात <math>ax^2+bx+c=0</math>
+== त्रिपदों का गुणनखंड कैसे करें? ==
+त्रिपद का गुणनखंडन करने का अर्थ है किसी समीकरण को दो या दो से अधिक द्विपद/एकपद के गुणनफल में विस्तारित करना। इसे <math>(x+m)(x+n)</math> के रूप में लिखा जाता है।
+त्रिपद को कई प्रकार से गुणनखंडित किया जा सकता है।
+=== एक चर में द्विघात त्रिपद ===
+एक चर में द्विघात त्रिपद सूत्र का सामान्य रूप <math>ax^2+bx+c</math> है, जहाँ <math>a,b,c</math> स्थिर पद हैं और कोई भी <math>a,b,c</math> शून्य नहीं है। <math>a,b,c</math> के मान के लिए, यदि <math>b^2-4ac>0</math> है, तो हम सदैव एक द्विघात त्रिपद को गुणनखंडित कर सकते हैं। इसका मतलब है कि <math>ax^2+bx+c=a(x+h)(x+k)</math>, जहाँ <math>h,k</math> वास्तविक संख्याएँ हैं।
+'''उदाहरण :''' गुणनखंडन करें: <math>3x^2-4x-4</math>
-== परिभाषा ==
+'''हल:'''
+'''चरण 1:-'''  सबसे पहले <math>x^2</math>के गुणांक और स्थिर पद को गुणा करें।
+<math>3 \times -4=-12</math>
+'''चरण 2:-'''मध्य पद <math>-4x</math> को ऐसे तोड़ें कि परिणामी गुणांक संख्याओं को गुणा करने पर हमें परिणाम <math>-12</math> प्राप्त हो
+(पहले चरण से प्राप्त किया गया)।
+<math>-4x=-6x+2x</math>
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+'''चरण 3:-''' मध्य पद में परिवर्तन लागू करके मुख्य समीकरण को पुनः लिखें।
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+'''चरण 4:-''' पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को मिलाएं, समीकरण को सरल बनाएं और कोई भी सामान्य संख्या या व्यंजक निकालें।
+<math>3x^2-6x+2x-4=3x(x-2)+2(x-2)</math>
+'''चरण 5:-''' पुनः दोनों पदों से उभयनिष्ठ <math>(x-2)</math> लीजिए।
+<math>3x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(3x+2)</math>
+इसलिए, <math>(x-2)</math> और <math>(3x+2)</math>, <math>3x^2-4x-4</math> के गुणनखंड हैं।
+=== दो चर वाले द्विघात त्रिपद ===
+दो चरों वाले द्विघात त्रिपद को हल करने का कोई विशिष्ट उपाय नहीं है।
+'''उदाहरण :''' गुणनखंडन करें: <math>x^2+3xy+2y^2</math>
+'''हल:'''
+'''चरण 1:'''  इस प्रकार के त्रिपद भी ऊपर बताए गए समान नियम का पालन करते हैं, अर्थात, हमें मध्य पद को विभाजित करने की आवश्यकता है।
+<math>x^2+3xy+2y^2 =x^2+2xy+xy+2y^2</math>
+'''चरण 2:''' समीकरण को सरल करें और व्यंजकों की उभयनिष्ठ संख्याएँ निकालें।
+<math>x^2+2xy+xy+2y^2=x(x+2y)+y(x+2y)</math>
+'''चरण 3:''' पुनः दोनों पदों से <math>(x+2y)</math> उभयनिष्ठ लीजिए।
+<math>x(x+2y)+y(x+2y)=(x+y)(x+2y)</math>
+अतः, <math>(x+y)</math> और  <math>(x+2y)</math>, <math>x^2+3xy+2y^2</math> के गुणनखंड हैं।
+[[Category:बहुपद]]
+[[Category:गणित]]
+[[Category:कक्षा-9]]