शेषफल प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 09:13, 5 November 2024

शेषफल प्रमेय सूत्र का उपयोग किसी बहुपद को रैखिक बहुपद से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

शेषफल प्रमेय

शेषफल प्रमेय में कहा गया है कि "जब एक बहुपद $p(x)$ को एक रैखिक बहुपद $(x-a)$ ,से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल $p(a)$ होता है।"

---

शेषफल प्रमेय

शेषफल प्रमेय बीजगणित में एक मूलभूत अवधारणा है और इसका उपयोग तब शेषफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है जब एक बहुपद को रैखिक अभिव्यक्ति द्वारा विभाजित किया जाता है। हम जानते हैं कि एक बहुपद को दूसरे बहुपद से विभाजित करने पर शेषफल बहुपदों को दीर्घ विभाजन द्वारा ज्ञात किया जा सकता है। इसके बजाय, हम शेषफल को आसानी से ज्ञात करने के लिए शेषफल प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं। इसके कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं:

इसका उपयोग किसी बहुपद को किसी अन्य रैखिक बहुपद से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
यह बहुपद के गुणनखंडन में सहायता करता है।
यह किसी बहुपद के शून्यक निर्धारित करने में मदद करता है।

हालाँकि, शेषफल प्रमेय की कुछ सीमाएँ हैं। यह प्रमेय केवल तभी काम करता है जब भाजक रैखिक हो।

शेषफल प्रमेय क्या है?

शेषफल प्रमेय बताता है कि जब एक बहुपद $p(x)$ को एक रैखिक बहुपद $(x-a)$ से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल $p(a)$ के समान होता है। शेषफल प्रमेय हमें वास्तव में दीर्घ विभाजन के चरणों को पूरा किए बिना, एक रैखिक बहुपद द्वारा किसी भी बहुपद के विभाजन के शेषफल की गणना करने में सक्षम बनाता है।

ध्यान दें कि शेष बहुपद की घात प्रायः भाजक बहुपद की घात से $1$ कम होती है। इस तथ्य का उपयोग करते हुए, जब किसी भी बहुपद को एक रैखिक बहुपद (जिसकी घात $1$ है) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल एक स्थिरांक होना चाहिए (जिसकी घात $0$ है)।

शेषफल प्रमेय कथन और प्रमाण

शेष प्रमेय के अनुसार, जब एक बहुपद $p(x)$ (जिसकी घात $1$ से अधिक या उसके बराबर है) को एक रैखिक बहुपद $x-a$ से विभाजित किया जाता है, तो शेष $r=p(a)$ द्वारा दिया जाता है। अर्थात, शेषफल ज्ञात करने के लिए, नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

रैखिक बहुपद को शून्य पर सेट करके उसका शून्य ज्ञात करें। अर्थात, $x-a=0\Rightarrow x=a$
फिर दिए गए बहुपद में इसे प्रतिस्थापित करें। परिणाम शेषफल देगा।

यहां भाजक के प्रकार (रैखिक बहुपद) के आधार पर शेषफल प्रमेय सूत्र दिया गया है।

जब $p(x)$ को $(x-a)$ द्वारा विभाजित किया जाता है

शेषफल = $p(a)$

अथवा

जब $p(x)$ को $(ax+b)$ द्वारा विभाजित किया जाता है

शेषफल = $p\left({\frac {-b}{a}}\right)$

इसी प्रकार, हम विभिन्न प्रकार के रैखिक बहुपदों के लिए शेषफल प्रमेय को इस प्रकार विस्तारित कर सकते हैं:

जब $p(x)$ को $(x-a)$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $p(a)$ प्राप्त होता है
जब $p(x)$ को $(ax+b)$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $p\left({\frac {-b}{a}}\right)$ प्राप्त होता है
जब $p(x)$ को $(ax-b)$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $p\left({\frac {b}{a}}\right)$ प्राप्त होता है
जब $p(x)$ को $(bx-a)$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $p\left({\frac {a}{b}}\right)$ प्राप्त होता है

शेषफल प्रमेय का प्रमाण

मान लीजिए कि $q(x)$ और ' $r$ ' क्रमशः भागफल और शेष हैं जब एक बहुपद $p(x)$ को एक रैखिक बहुपद $(x-a)$ से विभाजित किया जाता है। विभाजन कलनविधि(एल्गोरिथ्म) के अनुसार, लाभांश = (भाजक × भागफल) + शेषफल।

इसका उपयोग करते हुए, $p(x)=(x-a)\times q(x)+r$ .

स्थानापन्न $x=a$

$p(a)=(a-a)\times q(a)+r$

$p(a)=(0)\times q(a)+r$

$p(a)=r$

अर्थात शेषफल = $p(a)$

अतः सिद्ध हुआ।

उदाहरण

बहुपद $p(x)=3x^{3}+x^{2}+2x+5$ को $x+1$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए


	$3x^{2}-2x+4$
$x+1$	$3x^{3}$	$+$	$x^{2}$	$+$	$2x$	$+$	$5$
	$3x^{3}$	$+$	$3x^{2}$
		$-$	$2x^{2}$	$+$	$2x$	$+$	$5$
		$-$	$2x^{2}$	$-$	$2x$
				$+$	$4x$	$+$	$5$
				$+$	$4x$	$+$	$4$
							1

यहाँ, भागफल = $3x^{2}-2x+4$

शेषफल = $1$

सत्यापन:

दिया गया है कि भाजक $x+1$ है, अर्थात यह दिए गए बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।

मान लीजिए $x+1=0$

$x=-1$

$x=-1$ को $p(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर ,

$p(x)=3x^{3}+x^{2}+2x+5$

$p(-1-)=3(-1)^{3}+(-1)^{2}+2(-1)+5$

$p(-1-)=3(-1)+1-2+5$

$p(-1-)=-3+1-2+5$

$p(-1-)=1$

शेषफल = $x=-1$ पर $p(x)$ का मान ।

अतः शेषफल प्रमेय सिद्ध हुआ।

शेषफल प्रमेय पर महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ:

शेष प्रमेय कहता है "जब एक बहुपद p(x) को एक रैखिक बहुपद से विभाजित किया जाता है जिसका शून्य x = k है, तो शेष p(k) द्वारा दिया जाता है"।
विभाजन की जाँच करने का मूल सूत्र है: लाभांश = (भाजक × भागफल) + शेषफल।
जब भाजक रैखिक नहीं होता है तो शेषफल प्रमेय काम नहीं करता है।
साथ ही, यह भागफल ज्ञात करने में सहायता नहीं करता है।

@@ Line 1: / Line 1: @@
-The Remainder theorem formula is used to find the remainder when a polynomial is divided by a linear polynomial.
+शेषफल प्रमेय सूत्र का उपयोग किसी [[बहुपद]] को रैखिक बहुपद से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
-== Remainder Theorem ==
+== शेषफल प्रमेय ==
-The Remainder theorem states that "when a polynomial <math>p(x)</math>is divided by a linear polynomial <math>(x-a)</math> , then the remainder is <math>p(a)</math>"
+शेषफल प्रमेय में कहा गया है कि "जब एक बहुपद <math>p(x)</math>को एक [[रैखिक बहुपद]] <math>(x-a)</math> ,से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल <math>p(a)</math>होता है।"
-== Example ==
+---
-Find the remainder when the polynomial <math>p(x)=3x^3+x^2+2x+5</math> is divided by <math>x+1</math>.
+== शेषफल प्रमेय ==
+शेषफल प्रमेय बीजगणित में एक मूलभूत अवधारणा है और इसका उपयोग तब शेषफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है जब एक बहुपद को रैखिक अभिव्यक्ति द्वारा विभाजित किया जाता है। हम जानते हैं कि एक बहुपद को दूसरे बहुपद से विभाजित करने पर शेषफल बहुपदों को दीर्घ विभाजन द्वारा ज्ञात किया जा सकता है। इसके बजाय, हम शेषफल को आसानी से ज्ञात करने के लिए शेषफल प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं। इसके कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं:
+* इसका उपयोग किसी बहुपद को किसी अन्य रैखिक बहुपद से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
+* यह बहुपद के गुणनखंडन में सहायता करता है।
+* यह किसी बहुपद के शून्यक निर्धारित करने में मदद करता है।
+हालाँकि, शेषफल प्रमेय की कुछ सीमाएँ हैं। यह प्रमेय केवल तभी काम करता है जब भाजक रैखिक हो।
+== शेषफल प्रमेय क्या है? ==
+'''शेषफल प्रमेय''' बताता है कि जब एक बहुपद <math>p(x)</math> को एक रैखिक बहुपद <math>(x-a)</math> से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल <math>p(a)</math> के समान होता है। शेषफल प्रमेय हमें वास्तव में दीर्घ विभाजन के चरणों को पूरा किए बिना, एक रैखिक बहुपद द्वारा किसी भी बहुपद के विभाजन के शेषफल की गणना करने में सक्षम बनाता है।
+ध्यान दें कि शेष बहुपद की घात प्रायः भाजक बहुपद की घात से <math>1</math> कम होती है। इस तथ्य का उपयोग करते हुए, जब किसी भी बहुपद को एक रैखिक बहुपद (जिसकी घात <math>1</math> है) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल एक स्थिरांक होना चाहिए (जिसकी घात <math>0</math> है)।
+== शेषफल प्रमेय कथन और प्रमाण ==
+शेष प्रमेय के अनुसार, जब एक बहुपद <math>p(x)</math> (जिसकी घात <math>1</math> से अधिक या उसके बराबर है) को एक रैखिक बहुपद <math>x-a</math> से विभाजित किया जाता है, तो शेष <math>r=p(a)</math> द्वारा दिया जाता है। अर्थात, शेषफल ज्ञात करने के लिए, नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:
+* रैखिक बहुपद को शून्य पर सेट करके उसका शून्य ज्ञात करें। अर्थात, <math>x-a=0\Rightarrow x=a</math>
+* फिर दिए गए बहुपद में इसे प्रतिस्थापित करें। परिणाम शेषफल देगा।
+यहां भाजक के प्रकार (रैखिक बहुपद) के आधार पर शेषफल प्रमेय सूत्र दिया गया है।
+जब <math>p(x)</math> को <math>(x-a)</math>द्वारा विभाजित किया जाता है
+शेषफल = <math>p(a)</math>
+अथवा
+जब <math>p(x)</math> को  <math>(ax+b)</math>द्वारा विभाजित किया जाता है
+शेषफल  = <math>p\left ( \frac{-b}{a} \right )</math>
+इसी प्रकार, हम विभिन्न प्रकार के रैखिक बहुपदों के लिए शेषफल प्रमेय को इस प्रकार विस्तारित कर सकते हैं:
+* जब <math>p(x)</math> को <math>(x-a)</math> से विभाजित किया जाता है तो शेषफल <math>p(a)</math>प्राप्त होता है
+* जब <math>p(x)</math> को <math>(ax+b)</math> से विभाजित किया जाता है तो शेषफल <math>p\left ( \frac{-b}{a} \right )</math>प्राप्त होता है
+* जब <math>p(x)</math> को <math>(ax-b)</math> से विभाजित किया जाता है तो शेषफल <math>p\left ( \frac{b}{a} \right )</math>प्राप्त होता है
+* जब <math>p(x)</math> को <math>(bx-a)</math> से विभाजित किया जाता है तो शेषफल <math>p\left ( \frac{a}{b} \right )</math>प्राप्त होता है
+=== शेषफल प्रमेय का प्रमाण ===
+मान लीजिए कि <math>q(x)</math> और '<math>r</math>' क्रमशः भागफल और शेष हैं जब एक बहुपद <math>p(x)</math> को एक रैखिक बहुपद <math>(x-a)</math> से विभाजित किया जाता है। विभाजन कलनविधि(एल्गोरिथ्म) के अनुसार, लाभांश = (भाजक × भागफल) + शेषफल।
+इसका उपयोग करते हुए, <math>p(x)=(x-a)\times q(x)+r</math>.
+स्थानापन्न <math>x=a</math>
+<math>p(a)=(a-a)\times q(a)+r</math>
+<math>p(a)=(0)\times q(a)+r</math>
+<math>p(a)=r</math>
+अर्थात शेषफल = <math>p(a)</math>
+अतः सिद्ध हुआ।
+== उदाहरण ==
+बहुपद <math>p(x)=3x^3+x^2+2x+5</math> को <math>x+1</math> से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए
 {| class="wikitable"
 |+
@@ Line 54: / Line 112: @@
 |'''1'''
 |}
-Here, quotient = <math>3x^2 -2x+4</math>
+यहाँ, भागफल = <math>3x^2 -2x+4</math>
-Remainder = <math>1</math>
+शेषफल = <math>1</math>
-'''Verification :'''
+'''सत्यापन:'''
-Given, the divisor is <math>x+1</math>, i.e. it is a factor of the given polynomial <math>p(x)</math>
+दिया गया है कि भाजक <math>x+1</math> है, अर्थात यह दिए गए बहुपद <math>p(x)</math> का एक [[गुणनखंडन|गुणनखंड]] है।
-Let <math>x+1=0</math>
+मान लीजिए  <math>x+1=0</math>
 <math>x=-1</math>
-Substituting <math>x=-1</math> in <math>p(x)</math>,
+<math>x=-1</math> को <math>p(x)</math> में प्रतिस्थापित करने पर ,
 <math>p(x)=3x^3+x^2+2x+5</math>
@@ Line 78: / Line 136: @@
 <math>p(-1-)=1</math>
-Remainder  = Value of <math>p(x)</math> at <math>x=-1</math>.
+शेषफल  = <math>x=-1</math> पर  <math>p(x)</math> का मान ।
+अतः शेषफल प्रमेय सिद्ध हुआ।
+'''शेषफल प्रमेय पर महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ:'''
-Hence proved the remainder theorem.
+* शेष प्रमेय कहता है "जब एक बहुपद p(x) को एक रैखिक बहुपद से विभाजित किया जाता है जिसका शून्य x = k है, तो शेष p(k) द्वारा दिया जाता है"।
+* विभाजन की जाँच करने का मूल सूत्र है: लाभांश = (भाजक × भागफल) + शेषफल।
+* जब भाजक रैखिक नहीं होता है तो शेषफल प्रमेय काम नहीं करता है।
+* साथ ही, यह भागफल ज्ञात करने में सहायता नहीं करता है।
 [[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]