वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक: Difference between revisions

Latest revision as of 15:55, 12 June 2024

वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक निरंतर और आवृत्ति वितरण के रूप में आँकड़ों का माध्यक है। माध्यक दिए गए आँकड़ों का सबसे मध्यमान मान है जो आँकड़ों के निचले आधे भाग को ऊपरी आधे भाग से अलग करता है। वर्गीकृत आँकड़ों के माध्यक की गणना करते समय निम्नलिखित बातें उपस्थित होती हैं:

माध्यिका वर्ग
संचयी बारंबारता
वर्गीकृत आँकड़ों के सूत्र की माध्यिका

माध्यिका की परिभाषा

माध्यिका किसी दिए गए आँकड़ों के समुच्चयों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद सबसे मध्य मान है। यदि सूची में वस्तुओं की कुल संख्या विषम है, तो मानों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद मध्यतम मान को माध्यिका के रूप में लिया जाता है।

माध्यिका = ${\frac {(n+1)}{2}}$ ^वां पद, जहां 𝑛 प्रेक्षणों की कुल संख्या है।

यदि आँकड़ों के समुच्चयों में वस्तुओं की संख्या सम है, तो दो मध्य मानों का औसत माध्यिका के रूप में लिया जाता है।

माध्यिका = $({\frac {n}{2}}$ ^वां पद+ $({\frac {n}{2}}+1)$ ^वां पद $)$ / $2$ जहां 𝑛 प्रेक्षणों की कुल संख्या है।

उदाहरण: आइए आंकड़ों पर विचार करें: $48,20,50,69,73,85$ । माध्यिका क्या है?

हल:

आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर, हमें $20,48,50,69,73,85$ . प्राप्त होते हैं। यहां, $n$ (प्रेक्षणों की संख्या) = $6$

सम आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

माध्यिका = $({\frac {n}{2}}$ ^वां पद + $({\frac {n}{2}}+1)$ ^वां पद $)$ / $2$

माध्यिका = $({\frac {6}{2}}$ ^वां पद + $({\frac {6}{2}}+1)$ ^वां पद $)$ / $2$

माध्यिका = $(3$ ^वां पद + $4$ ^वां पद $)$ / $2$

माध्यिका = ${\frac {(50+69)}{2}}={\frac {119}{2}}=59.5$

वर्गीकृत आँकड़ों के सूत्र की माध्यिका

माध्यिका = $l+\left[{\frac {({\frac {n}{2}}-c)}{f}}\right]\times h$

$l$ = माध्यिका वर्ग की निम्न(निचली) सीमा
$n$ = प्रेक्षणों की कुल संख्या
$c$ = पूर्ववर्ती (माध्यिका वर्ग की) कक्षा की संचयी बारंबारता
$f$ =माध्यिका वर्ग की बारंबारता
$h$ =प्रत्येक वर्गमाप

वर्गीकृत डेटा की माध्यिका ज्ञात करने की प्रक्रिया

किसी भी दिए गए आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात करना सरल है क्योंकि माध्यिका आँकड़ों का सबसे मध्य मान है। चूंकि आँकड़ों को वर्गीकृत किया गया है, इसलिए इसे वर्ग अंतरालों में विभाजित किया गया है। समूहीकृत आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात करने की प्रक्रिया(चरण) यहां दिए गए हैं।

चरण 1: वर्ग अंतरालों और बारंबारताओं के साथ बारंबारता बंटन सारणी बनाएं।
चरण 2: वर्तमान मान के साथ बारंबारता के पूर्ववर्ती संचयी मान को जोड़कर आँकड़ों की संचयी बारंबारता की गणना करें।
चरण 3: आवृत्ति के मानों को जोड़कर $n$ का मान ज्ञात करें (जो संचयी आवृत्ति स्तंभ के अंतिम मान के अलावा कुछ नहीं है)
चरण 4: माध्यिका वर्ग ज्ञात करें। यदि $n$ विषम है, तो माध्यिका वाँ मान है। यदि $n$ सम है, तो माध्यिका ${\frac {(n+1)}{2}}$ वें और ${\frac {n}{2}}$ वें तथा $({\frac {n}{2}}+1)$ वें प्रेक्षणों का औसत होगा।
चरण 5: वर्ग अंतराल की निम्न सीमा और संचयी बारंबारता ज्ञात करें।
चरण 6: आंकड़ों में माध्यिका के लिए सूत्र लागू करें: माध्यिका = $l+\left[{\frac {({\frac {n}{2}}-c)}{f}}\right]\times h$

इसे बेहतर समझने के लिए आइए एक उदाहरण देखें।

निम्नलिखित आंकड़ों के लिए माध्यिका की गणना करें:

अंक	छात्रों की संख्या
$0-20$	$6$
$20-40$	$20$
$40-60$	$37$
$60-80$	$10$
$80-100$	$7$

हल:

हमें माध्यिका ज्ञात करने के लिए संचयी बारंबारताओं की गणना करनी होगी।


अंक	छात्रों की संख्या	संचयी बारंबारता
$0-20$	$6$	$0+6=6$
$20-40$	$20$	$6+20=26$
$40-60$	$37$	$26+37=63$
$60-80$	$10$	$63+10=73$
$80-100$	$7$	$73+7=80$

$n=$ संचयी बारंबारता का अंतिम मान $=80$

चूँकि $n$ सम है, इसलिए हम ${\frac {n}{2}}$ ^वें और $({\frac {n}{2}}+1)$ ^वें प्रेक्षण का औसत ज्ञात करेंगे अर्थात् $40$ से अधिक संचयी आवृत्ति $63$ है और वर्ग $40-60$ है। अत: माध्यिका वर्ग $40-60$ है।

$l=40,f=37,c=26,h=20$

माध्यिका सूत्र का उपयोग करने पर

माध्यिका = $l+\left[{\frac {({\frac {n}{2}}-c)}{f}}\right]\times h$

$=40+\left[{\frac {({\frac {80}{2}}-26)}{37}}\right]\times 20$

$=40+\left[{\frac {(40-26)}{37}}\right]\times 20$

$=40+\left[{\frac {14}{37}}\right]\times 20$

$=40+7.57$

माध्यिका $=47.57$

@@ Line 6: / Line 6: @@
 == माध्यिका की परिभाषा ==
-Median is the middlemost value in a given data set after it is arranged in ascending order. If the total number of items in the list is odd, then after arranging the values in ascending order the middlemost value is taken as the median.
+माध्यिका किसी दिए गए आँकड़ों के समुच्चयों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद सबसे मध्य मान है। यदि सूची में वस्तुओं की कुल संख्या विषम है, तो मानों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद मध्यतम मान को माध्यिका के रूप में लिया जाता है।
-Median = <math>\frac{(n+1)}{2}</math> <sup>th</sup> term, where  <math>n</math> is the total number of observations.
+माध्यिका = <math>\frac{(n+1)}{2}</math> <sup>वां</sup> पद, जहां 𝑛 प्रेक्षणों की कुल संख्या है।
-If the number of items in the data set is even, then the average of the two middle values is taken as the median.
+यदि आँकड़ों के समुच्चयों में वस्तुओं की संख्या सम है, तो दो मध्य मानों का औसत माध्यिका के रूप में लिया जाता है।
-Median = <math>(\frac{n}{2}</math> <sup>th</sup> term + <math>(\frac{n}{2}+1)</math><sup>th</sup> term<math>)</math>/ <math>2</math>  where <math>n</math> is the total number of observations.
+माध्यिका = <math>(\frac{n}{2}</math> <sup>वां</sup> पद+ <math>(\frac{n}{2}+1)</math><sup>वां</sup> पद<math>)</math>/ <math>2</math>  जहां 𝑛 प्रेक्षणों की कुल संख्या है।
-'''Example:''' Let's consider the data: <math>48,20,50,69,73,85</math>. What is the median ?
+'''उदाहरण''': आइए आंकड़ों पर विचार करें: <math>48,20,50,69,73,85</math>। माध्यिका क्या है?
-'''Solution:'''
+'''हल:'''
-Arranging in ascending order, we get <math>20,48,50,69,73,85
+आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर, हमें  <math>20,48,50,69,73,85
-</math>. Here, <math>n</math> (no.of observations) = <math>6</math>
+</math>. प्राप्त होते हैं। यहां, <math>n</math> (प्रेक्षणों की संख्या) = <math>6</math>
-To find the median of even data we use the formula:
+सम आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
-Median = <math>(\frac{n}{2}</math> <sup>th</sup> term + <math>(\frac{n}{2}+1)</math><sup>th</sup> term<math>)</math>/ <math>2</math>
+माध्यिका = <math>(\frac{n}{2}</math> <sup>वां</sup> पद + <math>(\frac{n}{2}+1)</math><sup>वां</sup> पद<math>)</math>/ <math>2</math>
-Median = <math>(\frac{6}{2}</math> <sup>th</sup> term + <math>(\frac{6}{2}+1)</math><sup>th</sup> term<math>)</math>/ <math>2</math>
+माध्यिका = <math>(\frac{6}{2}</math> <sup>वां</sup> पद + <math>(\frac{6}{2}+1)</math><sup>वां</sup> पद<math>)</math>/ <math>2</math>
-Median = <math>(3</math><sup>rd</sup> term + <math>4</math><sup>th</sup> term<math>)</math>/ <math>2</math>
+माध्यिका = <math>(3</math><sup>वां</sup> पद + <math>4</math><sup>वां</sup> पद<math>)</math>/ <math>2</math>
-Median = <math>\frac{(50+69)}{2}=\frac{119}{2}=59.5</math>
+माध्यिका = <math>\frac{(50+69)}{2}=\frac{119}{2}=59.5</math>
-== Median of Grouped Data Formula ==
+== वर्गीकृत आँकड़ों के सूत्र की माध्यिका ==
-Median = <math>l+\left [ \frac{(\frac{n}{2}-c)}{f} \right ]   \times h</math>
+माध्यिका = <math>l+\left [ \frac{(\frac{n}{2}-c)}{f} \right ]   \times h</math>
-* <math>l</math> = lower limit of median class
+* <math>l</math> = माध्यिका वर्ग की निम्न(निचली) सीमा
-* <math>n</math> = total number of observations
+* <math>n</math> = प्रेक्षणों की कुल संख्या
-* <math>c</math> = cumulative frequency of the preceding (of median class) class
+* <math>c</math> = पूर्ववर्ती (माध्यिका वर्ग की) कक्षा की संचयी बारंबारता
-* <math>f</math> = frequency of median class
+* <math>f</math> =माध्यिका वर्ग की बारंबारता
-* <math>h</math> = size of each class
+* <math>h</math> =प्रत्येक वर्गमाप
-== Steps to Find Median of Grouped Data ==
+== वर्गीकृत डेटा की माध्यिका ज्ञात करने की प्रक्रिया ==
-Finding the median of any given data is simple since the median is the middlemost value of the data. Since the data is grouped, it is divided into class intervals. Here are the  steps to finding the median of grouped data.
+किसी भी दिए गए आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात करना सरल है क्योंकि माध्यिका आँकड़ों का सबसे मध्य मान है। चूंकि आँकड़ों को वर्गीकृत किया गया है, इसलिए इसे वर्ग अंतरालों में विभाजित किया गया है। समूहीकृत आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात करने की प्रक्रिया(चरण) यहां दिए गए हैं।
-* Step 1: Construct the frequency distribution table with class intervals and frequencies.
+* चरण 1: वर्ग अंतरालों और बारंबारताओं के साथ बारंबारता बंटन सारणी बनाएं।
-* Step 2: Calculate the cumulative frequency of the data by adding the preceding cumulative value of the frequency with the current value.
+* चरण 2: वर्तमान मान के साथ बारंबारता के पूर्ववर्ती संचयी मान को जोड़कर आँकड़ों की संचयी बारंबारता की गणना करें।
-* Step 3: Find the value of <math>n</math> by adding the values in frequency (which is nothing but the last value of the cumulative frequency column)
+* चरण 3: आवृत्ति के मानों को जोड़कर <math>n</math> का मान ज्ञात करें (जो संचयी आवृत्ति स्तंभ के अंतिम मान के अलावा कुछ नहीं है)
-* Step 4: Find the median class. If <math>n</math> is odd, the median is the <math>\frac{(n+1)}{2}</math><sup>th</sup> value. If n is even, then the median will be the average of the <math>\frac{n}{2}</math><sup>th</sup> and the <math>(\frac{n}{2}+1)</math><sup>th</sup> observation.
+* चरण 4: माध्यिका वर्ग ज्ञात करें। यदि <math>n</math>  विषम है, तो माध्यिका वाँ मान है। यदि <math>n</math> सम है, तो माध्यिका <math>\frac{(n+1)}{2}</math>वें और <math>\frac{n}{2}</math>वें तथा <math>(\frac{n}{2}+1)</math>वें प्रेक्षणों का औसत होगा।
-* Step 5: Find the lower limit of the class interval and the cumulative frequency.
+* चरण 5: वर्ग अंतराल की निम्न सीमा और संचयी बारंबारता ज्ञात करें।
-* Step 6: Apply the formula for median in statistics: Median = <math>l+\left [ \frac{(\frac{n}{2}-c)}{f} \right ]   \times h</math>
+* चरण 6: आंकड़ों में माध्यिका के लिए सूत्र लागू करें: माध्यिका = <math>l+\left [ \frac{(\frac{n}{2}-c)}{f} \right ]   \times h</math>
-Let us look at an example to understand this better.
+इसे बेहतर समझने के लिए आइए एक उदाहरण देखें।
-Calculate the median for the following data:
+निम्नलिखित आंकड़ों के लिए माध्यिका की गणना करें:
 {| class="wikitable"
-!Marks
+!अंक
-!Number of students
+!छात्रों की संख्या
 |-
 |<math>0-20</math>
@@ Line 72: / Line 72: @@
 |<math>7</math>
 |}
-'''Solution:'''
+'''हल:'''
-We need to calculate the cumulative frequencies to find the median.
+हमें माध्यिका ज्ञात करने के लिए संचयी बारंबारताओं की गणना करनी होगी।
 {| class="wikitable"
 |+
-!Marks
+!अंक
-!Number of students
+!छात्रों की संख्या
-!Cumulative frequency
+!संचयी बारंबारता
 |-
 |<math>0-20</math>
@@ Line 101: / Line 101: @@
 |<math>73+7=80</math>
 |}
-<math>n=</math> last value of cumulative frequency <math>=80</math>
+<math>n=</math> संचयी बारंबारता का अंतिम मान<math>=80</math>
-Since <math>n</math> is even, we will find the the average of the <math>\frac{n}{2}</math><sup>th</sup> and the <math>(\frac{n}{2}+1)</math><sup>th</sup> observation i.e. the cumulative frequency greater than <math>40</math> is <math>63</math> and the class is <math>40-60</math>. Hence, the median class is <math>40-60</math>.
+चूँकि <math>n</math> सम है, इसलिए हम <math>\frac{n}{2}</math><sup>वें</sup> और <math>(\frac{n}{2}+1)</math><sup>वें</sup> प्रेक्षण का औसत ज्ञात करेंगे अर्थात् <math>40</math> से अधिक संचयी आवृत्ति <math>63</math> है और वर्ग <math>40-60</math> है। अत: माध्यिका वर्ग <math>40-60</math> है।
 <math>l=40 , f=37 ,c=26,h=20</math>
-Using the median formula.
+माध्यिका सूत्र का उपयोग करने पर
-Median = <math>l+\left [ \frac{(\frac{n}{2}-c)}{f} \right ]   \times h</math>
+माध्यिका = <math>l+\left [ \frac{(\frac{n}{2}-c)}{f} \right ]   \times h</math>
 <math>=40+\left [ \frac{(\frac{80}{2}-26)}{37} \right ]   \times 20</math>
@@ Line 119: / Line 119: @@
 <math>=40+7.57</math>
-Median <math>=47.57</math>
+माध्यिका <math>=47.57</math>
 [[Category:सांख्यिकी]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]