आवेशों के निकाय की स्थितज ऊर्जा: Difference between revisions

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Latest revision as of 13:40, 18 June 2024

Potential Energy for a system of charges

विद्युत स्थितिज ऊर्जा, एक स्थितिज ऊर्जा है (जूल में मापी गई) जो संरक्षी प्रकार के कूलम्ब बलों से उत्पन्न होती है और एक परिभाषित प्रणाली के भीतर बिंदु आवेशों के एक विशेष सेट के विन्यास से जुड़ी होती है। किसी वस्तु को उसके स्वयं के विद्युत आवेश या अन्य विद्युत आवेशित वस्तुओं के सापेक्ष स्थिति के आधार पर विद्युत स्थितिज ऊर्जा कहा जा सकता है।

अतिरिक्त परिभाषा

इसके अतिरिक्त आवेशों के निकाय की स्थितज ऊर्जा को परिभाषित करने के लीए,यह भी सोच जा सकता है की,किसी दिए गए आवेश या आवेशों की प्रणाली की विद्युत स्थितिज ऊर्जा, किसी त्वरण के रहित ,उन आवेश या आवेशों की प्रणाली को अनंत से वर्तमान विन्यास तक लाने में किसी बाहरी माध्यम (एजेंट) द्वारा किया गया कुल कार्य है।चूंकि इस उपक्रम में आवेशों की एक प्रणाली को संदर्भित कीया जाता है, इस लीए इस प्रकार से संग्रहित स्थितिज ऊर्जा को कहीं कहीं विद्युत स्थितिज ऊर्जा के रूप में जाना जाता है । इस प्रकार के विवेचन से यह भी सिद्ध हो सकता है की यह ऊर्जा आवेशों के बीच आकर्षक या प्रतिकारक बल का माप है।

यदि $N$ आवेशों $q_{1},q_{2},...,q_{N},$ की एक प्रणाली के, किसी संदर्भ वक्र में , क्रमशः $r_{1},r_{2},...,r_{N},$ स्थिति में विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U_{E},$ से अंकित है तो ऊर्जा का सूत्र है:

$U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}V(\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{2}}k_{e}\sum _{i=1}^{N}q_{i}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}},$

जहां, $i$ के प्रत्येक मान के लिए, $V(r_{i}),$ $r_{i},$ को छोड़कर सभी बिंदु आवेशों के कारण इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता है, और

$V(\mathbf {r} _{i})=k_{e}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}},$

के समतुल्य है

जहां $r_{ij},$ $q_{i},$ और $q_{j},$ के बीच की दूरी है।

प्रमाण की रूपरेखा

दो आवेशों की प्रणाली में संग्रहीत स्थिरवैद्युत् विभव से उत्पन्न ऊर्जा (इलेक्ट्रोस्टैटिक पोटेन्टशीयल एनर्जी) $U_{E},$ दूसरे आवेश द्वारा उत्पन्न स्थिरवैद्युत् विभव में एक आवेश की स्थिरवैद्युत् विभवीय ऊर्जा के समतुल्य है। इसका तात्पर्य यह है कि, यदि आवेश $q_{1}$ एक स्थिरवैद्युत् क्षमता $V_{1}$ उत्पन्न करता है, जो की किसी संदर्भ वृत में उसकी स्थिति $r$ का एक फलन है, तो

$U_{\mathrm {E} }=q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2}),$

अन्य आवेश के संबंध में भी यही गणना करने पर

$U_{\mathrm {E} }=q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1}),$

प्राप्त होता है।

.स्थिरवैद्युत् विभव ऊर्जा पारस्परिक रूप से $q_{1}$ और $q_{2},$ द्वारा साझा की जाती है, इसलिए कुल संग्रहीत ऊर्जा

$U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1})\right],$

है।

एक ऐसी व्यवस्था जहाँ $n$ आवेशों की प्रणाली, में $q_{1},q_{2},...,q_{n},$ आवेश, क्रमशः $r_{1},r_{2},...,r_{n},$ पर स्थित हैं,में संग्रहीत रूप से स्थिरवैद्युत् विभव से उत्पन्न ऊर्जा $U_{E},$ को सामान्यीकृत कर ,

$U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}V(\mathbf {r} _{i}),$

ऊपर दीये गए रूप में सूत्र बद्ध कीया जाता है।

गणना के मुख्य नियम

विद्युत क्षेत्र सदैव उच्च स्थितिज ऊर्जा वाले बिंदु से निम्न स्थितिज ऊर्जा वाले बिंदु की ओर निर्देशित होता है।

आवेशों की एक प्रणाली की विद्युतीय स्थितिजऊर्जा भौतिकी के कई क्षेत्रों, जैसे स्थिरवैद्युत्(इलेक्ट्रोस्टैटिक्स), विद्युत् गतिकी(इलेक्ट्रोडायनामिक्स) और प्लाज्मा भौतिकी में एक उपयोगी अवधारणा है।

कुछ उदाहरण

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि भौतिकी में आवेशों की प्रणाली की विद्युतीय स्थितिजऊर्जा का उपयोग कैसे किया जाता है:

संधारित्र की धारिता संधारित्र की पट्टिकाओं पर आवेशों की स्थितिज ऊर्जा से निर्धारित होती है।
आवेशों की एक प्रणाली के कारण विद्युत क्षेत्र की गणना विभव की ऋणात्मक प्रवणता लेकर की जा सकती है।
किसी विद्युत क्षेत्र में किसी आवेश को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में किया गया कार्य दोनों बिंदुओं के बीच विभव अंतर के गुणा गुणा के समतुल्य होता है।

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 विद्युत स्थितिज ऊर्जा, एक स्थितिज ऊर्जा है (जूल में मापी गई) जो संरक्षी प्रकार के कूलम्ब बलों से उत्पन्न होती है और एक परिभाषित प्रणाली के भीतर बिंदु आवेशों के एक विशेष सेट के विन्यास से जुड़ी होती है। किसी वस्तु को उसके स्वयं के विद्युत आवेश या अन्य विद्युत आवेशित वस्तुओं के सापेक्ष स्थिति के आधार पर विद्युत स्थितिज ऊर्जा कहा जा सकता है।
-इसके अतिरिक्त एक आवेशों के निकाय की स्थितज ऊर्जा को परिभाषित करने के लीए,यह भी सोच जा सकता है की,किसी दिए गए आवेश या आवेशों की प्रणाली की विद्युत स्थितिज ऊर्जा, किसी त्वरण के रहित ,उन आवेश या आवेशों की प्रणाली को अनंत से वर्तमान विन्यास तक लाने में किसी बाहरी माध्यम (एजेंट) द्वारा किया गया कुल कार्य है।
+== अतिरिक्त परिभाषा ==
+इसके अतिरिक्त आवेशों के निकाय की स्थितज ऊर्जा को परिभाषित करने के लीए,यह भी सोच जा सकता है की,किसी दिए गए आवेश या आवेशों की प्रणाली की विद्युत स्थितिज ऊर्जा, किसी त्वरण के रहित ,उन आवेश या आवेशों की प्रणाली को अनंत से वर्तमान विन्यास तक लाने में किसी बाहरी माध्यम (एजेंट) द्वारा किया गया कुल कार्य है।चूंकि इस उपक्रम में आवेशों की एक प्रणाली को संदर्भित कीया जाता है, इस लीए इस प्रकार से संग्रहित स्थितिज ऊर्जा  को कहीं कहीं विद्युत स्थितिज ऊर्जा के रूप में जाना जाता है । इस प्रकार के विवेचन से यह भी सिद्ध हो सकता है की यह ऊर्जा आवेशों के बीच आकर्षक या प्रतिकारक बल का माप है।
-आवेशों की एक प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा अनंत दूरी से आवेशों को एक साथ लाने में किया गया कार्य है। यह आवेशों के बीच आकर्षक या प्रतिकारक बल का माप है।
+यदि <math>N</math>आवेशों <math>q_{1},q_{2},..., q_{N},</math>की एक प्रणाली के, किसी संदर्भ वक्र में , क्रमशः <math>r_{1}, r_{2},..., r_{N},</math> स्थिति में विद्युत स्थितिज ऊर्जा <math>U_{E},</math> से अंकित है तो ऊर्जा का सूत्र है:
-यदि <math>N</math>आवेशों <math>q_{1},q_{2},..., q_{N},</math>की प्रणाली में क्रमशः<math>r_{1}, r{2},..., r{N},</math>स्थिति में विद्युत स्थितिज ऊर्जा <math>U_{E},</math>है:
+<math>U_\mathrm{E} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N q_i V(\mathbf{r}_i) = \frac{1}{2} k_e\sum_{i=1}^N q_i \sum_\stackrel{j=1}{j \ne i}^N \frac{q_j}{r_{ij}},</math>
-आवेशों की एक प्रणाली की संभावित ऊर्जा निम्नलिखित समीकरण द्वारा दी गई है:
+जहां,  <math>i </math>  के प्रत्येक मान के लिए, <math>V(r_{i}),</math> <math>r_{i},</math> को छोड़कर सभी बिंदु आवेशों के कारण इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता है, और
-यू = के * क्यू1 * क्यू2 / आर
+<math>V(\mathbf{r}_i) = k_e\sum_\stackrel{j=1}{j \ne i}^N \frac{q_j}{r_{ij}},</math>
-जहाँ:
+के समतुल्य है
-* u स्थितिज ऊर्जा है
+जहां<math>r_{ij},</math> <math>q_{i},</math> और <math>q_{j},</math>के बीच की दूरी है।
-* k कूलम्ब स्थिरांक है
-* q1 और q2 दो कणों के आवेश हैं
-* r दो कणों के बीच की दूरी है
-* आवेशों की प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा सदैव ऋणात्मक होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि दो आवेशों के बीच का बल हमेशा आकर्षक या प्रतिकारक होता है, और जब आवेश एक साथ आते हैं तो बल के विरुद्ध कार्य किया जाता है।
-आवेशों की प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा का उपयोग आवेशों के बीच विद्युत क्षेत्र की गणना के लिए किया जा सकता है। विद्युत क्षेत्र प्रति इकाई आवेश पर लगने वाला बल है, और यह निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया गया है:
+== प्रमाण की रूपरेखा ==
+दो आवेशों की प्रणाली में संग्रहीत स्थिरवैद्युत् विभव से उत्पन्न ऊर्जा (इलेक्ट्रोस्टैटिक पोटेन्टशीयल एनर्जी) <math>U_{E},</math> दूसरे आवेश द्वारा उत्पन्न स्थिरवैद्युत् विभव में एक आवेश की स्थिरवैद्युत् विभवीय ऊर्जा के समतुल्य है। इसका तात्पर्य यह है कि, यदि आवेश <math>q_1</math>एक स्थिरवैद्युत् क्षमता <math>V_{1}</math> उत्पन्न करता है, जो की किसी संदर्भ वृत में उसकी स्थिति <math>r </math> का एक फलन है, तो
-ई = -डीयू/डॉ
+<math>U_\mathrm{E} = q_2 V_1(\mathbf r_2),</math>
-जहाँ:
+अन्य आवेश के संबंध में भी यही गणना करने पर
-ई विद्युत क्षेत्र है
+<math>U_\mathrm{E} = q_1 V_2(\mathbf r_1),</math>
-dU संभावित ऊर्जा में परिवर्तन है
+प्राप्त होता है।
-dr आवेशों के बीच की दूरी में परिवर्तन है
+.स्थिरवैद्युत् विभव ऊर्जा पारस्परिक रूप से <math>q_ {1}</math> और <math>q_{2},</math>द्वारा साझा की जाती है, इसलिए कुल संग्रहीत ऊर्जा
+<math>U_E = \frac{1}{2}\left[q_2 V_1(\mathbf r_2) + q_1 V_2(\mathbf r_1)\right],</math>
+है।
+एक ऐसी व्यवस्था जहाँ  <math>n</math> आवेशों की प्रणाली, में <math>q_{1}, q_{2},..., q_{n},</math>आवेश, क्रमशः <math>r_{1}, r_{2},... , r_{n},</math> पर स्थित हैं,में संग्रहीत रूप से स्थिरवैद्युत् विभव से उत्पन्न ऊर्जा <math>U_{E},</math>को सामान्यीकृत कर ,
+<math>U_\mathrm{E} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n q_i V(\mathbf{r}_i),</math>
+ऊपर दीये गए रूप में सूत्र बद्ध कीया जाता है।
+== गणना के मुख्य नियम   ==
 विद्युत क्षेत्र सदैव उच्च स्थितिज ऊर्जा वाले बिंदु से निम्न स्थितिज ऊर्जा वाले बिंदु की ओर निर्देशित होता है।
-आवेशों की एक प्रणाली की संभावित ऊर्जा भौतिकी के कई क्षेत्रों, जैसे इलेक्ट्रोस्टैटिक्स, इलेक्ट्रोडायनामिक्स और प्लाज्मा भौतिकी में एक उपयोगी अवधारणा है।
+आवेशों की एक प्रणाली की विद्युतीय स्थितिजऊर्जा भौतिकी के कई क्षेत्रों, जैसे स्थिरवैद्युत्(इलेक्ट्रोस्टैटिक्स), विद्युत् गतिकी(इलेक्ट्रोडायनामिक्स) और प्लाज्मा भौतिकी में एक उपयोगी अवधारणा है।
-यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि भौतिकी में आवेशों की प्रणाली की संभावित ऊर्जा का उपयोग कैसे किया जाता है:
+== कुछ उदाहरण ==
+यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि भौतिकी में आवेशों की प्रणाली की विद्युतीय स्थितिजऊर्जा का उपयोग कैसे किया जाता है:
-* संधारित्र की धारिता संधारित्र की प्लेटों पर आवेशों की स्थितिज ऊर्जा से निर्धारित होती है।
+* संधारित्र की धारिता संधारित्र की पट्टिकाओं  पर आवेशों की स्थितिज ऊर्जा से निर्धारित होती है।
 * आवेशों की एक प्रणाली के कारण विद्युत क्षेत्र की गणना विभव की ऋणात्मक प्रवणता लेकर की जा सकती है।
-* किसी विद्युत क्षेत्र में किसी आवेश को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में किया गया कार्य दोनों बिंदुओं के बीच संभावित अंतर के गुणा गुणा के बराबर होता है।
+* किसी विद्युत क्षेत्र में किसी आवेश को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में किया गया कार्य दोनों बिंदुओं के बीच विभव अंतर के गुणा गुणा के समतुल्य होता है।
 [[Category:स्थिर्वैद्युत विभव तथा धारिता]]
 [[Category:भौतिक विज्ञान]][[Category:कक्षा-12]]