चक्रीय चतुर्भुज: Difference between revisions

Latest revision as of 07:42, 11 September 2024

चित्र -1

एक चतुर्भुज ABCD चक्रीय कहलाता है यदि इसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हों (चित्र-1 देखें)।

यहाँ हमें $\angle A+\angle C=180^{\circ }$ and $\angle B+\angle D=180^{\circ }$ प्राप्त होता है।

चक्रीय चतुर्भुज से संबंधित प्रमेय नीचे उल्लिखित हैं।

प्रमेय 1: चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों के किसी भी युग्म का योग $180^{\circ }$ होता है।

प्रमेय 2: यदि चतुर्भुज के विपरीत कोणों के किसी युग्म का योग $180^{\circ }$ है, तो चतुर्भुज चक्रीय होता है।

उदाहरण

चित्र -2

1: चित्र 2 में, $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें $AC$ और $BD$ इसके विकर्ण हैं।

यदि $\angle DBC=55^{\circ }$ और $\angle BAC=45^{\circ }$ हैं , $\angle BCD$ ज्ञात कीजिए

हल:

$\angle CAD=\angle DBC=55^{\circ }$ (एक ही खंड में कोण)

अत:, $\angle DAB=\angle CAD+\angle BAC$

$\angle DAB=55^{\circ }+45^{\circ }=100^{\circ }$

परंतु $\angle DAB+\angle BCD=180^{\circ }$ (चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोण)

$\angle BCD=180^{\circ }-\angle DAB$

$\angle BCD=180^{\circ }-100^{\circ }=80^{\circ }$

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 [[File:Cyclic quadrilateral.jpg|alt=Fig. 1|thumb|चित्र -1]]
-A quadrilateral ABCD is called cyclic if all the four vertices
+एक चतुर्भुज ABCD चक्रीय कहलाता है यदि इसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हों (चित्र-1 देखें)।
-of it lie on a circle (see Fig 1).
+यहाँ हमें  <math>\angle A+\angle C =180^\circ</math>and <math>\angle B+\angle D =180^\circ</math>प्राप्त होता है।
-Here  we find that <math>\angle A+\angle C =180^\circ</math>and <math>\angle B+\angle D =180^\circ</math>.
+चक्रीय चतुर्भुज से संबंधित प्रमेय नीचे उल्लिखित हैं।
-Theorems related to Cyclic Quadrilateral are mentioned below.
+प्रमेय 1: चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों के किसी भी युग्म का योग <math>180^\circ</math> होता है।
-Theorem 1:  The sum of either pair of opposite angles of a cyclic quadrilateral
+प्रमेय 2: यदि चतुर्भुज के विपरीत कोणों के किसी युग्म का योग <math>180^\circ</math> है, तो चतुर्भुज चक्रीय होता है।
-is <math>180^\circ</math>.
-Theorem 2: If the sum of a pair of opposite angles of a quadrilateral is <math>180^\circ</math>,
-the quadrilateral is cyclic.
 == उदाहरण ==
 [[File:Cyclic quadrilateral - 2.jpg|alt=Fig. 2|thumb|चित्र -2]]
-: In Fig 2, <math>ABCD</math> is a cyclic quadrilateral in which <math>AC</math> and <math>BD</math> are its diagonals.
+: चित्र 2 में, <math>ABCD</math> एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें <math>AC</math> और <math>BD</math> इसके विकर्ण हैं।
-If <math>\angle DBC =55^\circ</math>and <math>\angle BAC =45^\circ</math>, find <math>\angle BCD</math>
+यदि <math>\angle DBC =55^\circ</math>और <math>\angle BAC =45^\circ</math>हैं , <math>\angle BCD</math> ज्ञात कीजिए
-Solution:
+हल:
-<math>\angle CAD=\angle DBC =55^\circ</math>(Angles in the same segment)
+<math>\angle CAD=\angle DBC =55^\circ</math>(एक ही खंड में कोण)
-Therefore, <math>\angle DAB=\angle CAD+\angle BAC</math>
+अत:, <math>\angle DAB=\angle CAD+\angle BAC</math>
 <math>\angle DAB=55^\circ +45^\circ=100^\circ</math>
-But <math>\angle DAB+\angle BCD = 180^\circ</math>(Opposite angles of a cyclic quadrilateral)
+परंतु <math>\angle DAB+\angle BCD = 180^\circ</math>(चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोण)
 <math>\angle BCD = 180^\circ -\angle DAB</math>