त्रिभुज के गुण: Difference between revisions

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Theorem 2: The sides opposite to equal angles of a triangle are equal.
प्रमेय 2: किसी त्रिभुज के समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।


Proof: In a triangle <math>BCA</math> shown in fig 1, base angles are equal and we need to prove that <math>AB=AC</math> or <math>BCA</math> is an isosceles triangle.
प्रमाण: चित्र-1 में दिखाए गए त्रिभुज <math>BCA</math> में, आधार कोण समान हैं और हमें यह प्रमाणित करने की आवश्यकता है कि <math>AB=AC</math> या


Construct a bisector <math>AD</math> which meets the side <math>BC</math> at right angles.
<math>BCA</math> एक समद्विबाहु त्रिभुज है।


Now in <math>\triangle BAD</math> and <math>\triangle CAD</math> we have,
एक समद्विभाजक <math>AD</math> की रचना कीजिए जो भुजा <math>BC</math> से समकोण पर मिलता है।


<math>\angle BAD =\angle CAD </math>                                        (By construction)
अब  <math>\triangle BAD</math> और <math>\triangle CAD</math> में हमारे पास है,


<math>AD=AD</math>                                                      (Common side)
<math>\angle BAD =\angle CAD </math>                                         (संरचना से)


<math>\angle BDA =\angle CDA = 90^\circ </math>                                (By construction)
<math>AD=AD</math>                                                      (समान भुजाएँ)


Thus, <math>\triangle BAD \cong \triangle CAD</math>                                   (By ASA congruence criterion)
<math>\angle BDA =\angle CDA = 90^\circ </math>                               (संरचना से)


So, <math>AB=AC</math>                                            (By CPCT)
अत:, <math>\triangle BAD \cong \triangle CAD</math>                                 (ASA सर्वांगसमता मानदंड द्वारा)


Or <math>\triangle BCA</math> is isosceles.
इसलिए,  <math>AB=AC</math>                                            (CPCT द्वारा)
 
अथवा <math>\triangle BCA</math> समद्विबाहु है।


[[Category:त्रिभुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
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Latest revision as of 10:55, 18 September 2024

प्रमेय 1: समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं

Fig 1 - Isosceles triangle
चित्र 1- समद्विबाहु त्रिभुज

प्रमाण: चित्र 1 में दिखाए गए समद्विबाहु त्रिभुज पर विचार करें, जहाँ है।

हमें यह सिद्ध करना होगा कि भुजाओं और के सम्मुख कोण समान अर्थात् हैं।

हम पहले का एक समद्विभाजक बनाते हैं और इसे नाम देते हैं।

अब और में हमारे पास है,

                                                      (दिया हुआ)

                               (संरचना से)

                                                           (दोनों में समान)

अत:,                             (SAS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा)

इसलिए,                                     (CPCT द्वारा)

अतः सिद्ध हुआ।


प्रमेय 2: किसी त्रिभुज के समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।

प्रमाण: चित्र-1 में दिखाए गए त्रिभुज में, आधार कोण समान हैं और हमें यह प्रमाणित करने की आवश्यकता है कि या

एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

एक समद्विभाजक की रचना कीजिए जो भुजा से समकोण पर मिलता है।

अब और में हमारे पास है,

                                       (संरचना से)

                                                      (समान भुजाएँ)

                               (संरचना से)

अत:,                                  (ASA सर्वांगसमता मानदंड द्वारा)

इसलिए,                                             (CPCT द्वारा)

अथवा समद्विबाहु है।