केंद्र से जीवा पर लंब: Difference between revisions

Latest revision as of 12:00, 18 September 2024

गणित में, जीवा एक रेखा खंड है जो एक वृत्त की परिधि पर दो बिंदुओं को जोड़ती है। हम जानते हैं कि किसी वृत्त की सबसे लंबी जीवा वह व्यास होती है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है। इस लेख में वृत्त के केन्द्र से लंब से सम्बंधित प्रमेय और उसके प्रमाण तथा इस प्रमेय के व्युत्क्रम पर विस्तार से चर्चा की गई है।

केंद्र से जीवा पर लंब– प्रमेय एवं प्रमाण

प्रमेय :

एक वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है।

प्रमाण:

चित्र-1

चित्र-1 में दिखाए गए केंद्र वाले $O$ वाले एक वृत्त पर विचार करें

$AB$ एक जीवा है जिससे रेखा $OX$ जीवा $AB$ पर लंबवत है। $OX\perp AB$

हमें प्रमाणित करने की आवश्यकता है: $AX=BX$

दो त्रिभुजों $OAX$ और $OBX$ पर विचार करें

$\angle OXA=\angle OXB=90^{\circ }$

$OX=OX$ (समान भुजाएँ)

$OA=OB$ (त्रिज्या)

RHS नियम का उपयोग करके, हम सिद्ध कर सकते हैं कि त्रिभुज $OAX$ , $OBX$ के सर्वांगसम है।

अतः,

$\triangle OAX\cong \triangle OBX$

अत: हम ऐसा कह सकते हैं $AX=BX$ (CPCT द्वारा)

इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

इस प्रमेय का व्युत्क्रम:

किसी जीवा को समद्विभाजित करने के लिए वृत्त के केंद्र से होकर खींची गई रेखा जीवा पर लंबवत होती है

प्रमाण:

चित्र-1 पर विचार करें

मान लीजिए $AB$ केंद्र $O$ वाले वृत्त की जीवा है।

केंद्र $O$ को जीवा $AB$ के मध्यबिंदु $X$ से जोड़ा गया है।

अब, हमें प्रमाणित करने की आवश्यकता है $OX\perp AB$

$OA$ और $OB$ को मिलाने पर दो त्रिभुज $OAX$ और $OBX$ बनते हैं

यहाँ,

$OA=OB$ (त्रिज्या)

$OX=OX$ (समान भुजाएँ)

$AX=BX$ (As, $X$ is the midpoint of AB)

अत: हम ऐसा कह सकते हैं $\triangle OAX\cong \triangle OBX$ .

इस प्रकार, RHS नियम का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

$\angle OXA=\angle OXB=90^{\circ }$

इससे यह सिद्ध होता है कि वृत्त के केंद्र से होकर जीवा को समद्विभाजित करने वाली रेखा जीवा पर लंबवत होती है। अत: इस प्रमेय का व्युत्क्रम सिद्ध होता है।

@@ Line 4: / Line 4: @@
 === प्रमेय : ===
-The perpendicular from the centre of a circle to a chord bisects the chord.
+एक वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है।
-'''प्रमाण:'''[[File:Circle-1.jpg|alt=Fig. 1|thumb|150x150px|Fig. 1]]
+'''प्रमाण:'''[[File:Circle-1.jpg|alt=Fig. 1|thumb|150x150px|चित्र-1]]
-Consider a circle with centre <math>O</math> shown in Fig. 1
+चित्र-1 में दिखाए गए केंद्र वाले <math>O</math> वाले एक वृत्त पर विचार करें
-<math>AB</math> is a chord such that the line <math>OX</math> is perpendicular to the chord <math>AB</math>. (<math>OX\perp AB</math>)
+<math>AB</math> एक जीवा है जिससे रेखा <math>OX</math> जीवा <math>AB</math> पर लंबवत है। <math>OX\perp AB</math>
-We need to prove: <math>AX=BX</math>
+हमें प्रमाणित करने की आवश्यकता है:<math>AX=BX</math>
-Consider two triangles <math>OAX</math> and <math>OBX</math>
+दो त्रिभुजों  <math>OAX</math> और <math>OBX</math> पर विचार करें
 <math>\angle OXA =\angle OXB=90^\circ </math>
-<math>OX=OX</math> (Common side)
+<math>OX=OX</math> (समान भुजाएँ)
-<math>OA=OB</math> (Radii)
+<math>OA=OB</math> (त्रिज्या)
-By using the RHS rule, we can prove that the triangle <math>OAX</math> is congruent to <math>OBX</math>.
+RHS नियम का उपयोग करके, हम सिद्ध कर सकते हैं कि त्रिभुज <math>OAX</math>, <math>OBX</math> के सर्वांगसम है।
-Therefore,
+अतः,
 <math>\triangle OAX \cong \triangle OBX </math>
-Hence, we can say that <math>AX=BX</math> ( Using CPCT)
+अत: हम ऐसा कह सकते हैं <math>AX=BX</math> (CPCT द्वारा)
-Thus, the perpendicular from the centre of a circle to a chord bisects the chord, is proved.
+इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
 === इस प्रमेय का व्युत्क्रम: ===
-The line drawn through the centre of a circle to bisect a chord is perpendicular to the chord
+किसी जीवा को समद्विभाजित करने के लिए वृत्त के केंद्र से होकर खींची गई रेखा जीवा पर लंबवत होती है
 '''प्रमाण:'''
-Consider the Fig. 1
+चित्र-1 पर विचार करें
-Assume that <math>AB</math> is the chord of a circle with centre <math>O</math>.
+मान लीजिए <math>AB</math> केंद्र <math>O</math> वाले वृत्त की जीवा है।
-The centre <math>O</math> is joined to the midpoint <math>X</math> of the chord <math>AB</math>.
+केंद्र <math>O</math> को जीवा <math>AB</math> के मध्यबिंदु <math>X</math> से जोड़ा गया है।
-Now, we need to prove <math>OX\perp AB</math>
+अब, हमें प्रमाणित करने की आवश्यकता है <math>OX\perp AB</math>
-Join <math>OA</math> and <math>OB</math> and the two triangles formed are <math>OAX</math> and <math>OBX</math>.
+<math>OA</math> और <math>OB</math> को मिलाने पर दो त्रिभुज <math>OAX</math> और  <math>OBX</math> बनते हैं
-Here,
+यहाँ,
-<math>OA=OB</math> (Radii)
+<math>OA=OB</math> (त्रिज्या)
-<math>OX=OX</math> (Common side)
+<math>OX=OX</math> (समान भुजाएँ)
 <math>AX=BX</math> (As, <math>X</math> is the midpoint of AB)
-Therefore, we can say that <math>\triangle OAX \cong \triangle OBX </math>.
+अत: हम ऐसा कह सकते हैं <math>\triangle OAX \cong \triangle OBX </math>.
-Thus, by using the RHS rule, we get
+इस प्रकार, RHS नियम का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
 <math>\angle OXA =\angle OXB=90^\circ </math>
-This proves that the line drawn through the centre of a circle to bisect a chord is perpendicular to the chord.Hence, the converse of this theorem is proved.
+इससे यह सिद्ध होता है कि वृत्त के केंद्र से होकर जीवा को समद्विभाजित करने वाली रेखा जीवा पर लंबवत होती है। अत: इस प्रमेय का व्युत्क्रम सिद्ध होता है।
 [[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]