रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय विधि से हल: Difference between revisions

Latest revision as of 09:06, 20 September 2024

जब गणितीय संक्रियाओं के साथ चरों और अचरों के गणितीय व्यंजक उच्चतम घात एक का समीकरण बनाते हैं, तो इसे एक रैखिक समीकरण कहा जाता है। रैखिक समीकरण चरों के बीच एक बीजीय समीकरण है जो आलेख पर अंकित करने पर एक सीधी रेखा देता है। एक चर का एक रैखिक समीकरण इस प्रकार का होता है $ax+b=0$ जहां $x$ चर है। दो चरों के रैखिक समीकरण इस रूप के होते हैं $ax+by+c=0$ जहाँ $x$ और $y$ दो चर हैं और $c$ स्थिरांक है। रैखिक समीकरणों की एक युग्म को दो मूल विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है और दर्शाया जा सकता है: आलेखीय विधि और बीजगणितीय विधि। इस पाठ में, हम आलेखीय विधि का उपयोग करके दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की विधि को ज्ञात करेंगे।

रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय रूप से हल करना

प्रत्येक रैखिक समीकरण में चर होते हैं। रैखिक समीकरण प्रथम कोटि के होते हैं और इनमें एक या दो चर उपस्थित हो सकते हैं। जब आलेखीय पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों को हल करने की बात आती है तो मूल दृष्टिकोण उन्हें आलेख पर सीधी रेखाओं के रूप में प्रस्तुत करना और प्रतिच्छेदन बिंदु, यदि कोई हो, ज्ञात करना होता है। हम $x$ के मानों को प्रतिस्थापित करके, $x$ और $y$ अंतःखंडों को ज्ञात करके और उन्हें आलेख पर ज्यामितीय रूप से आलेखन(प्लॉट) करके न्यूनतम दो समाधान सुलभ पद्धति से प्राप्त कर सकते हैं। आइए यहां रैखिक समीकरणों के एक युग्म के मानक रूप पर एक दृष्टि डालें।

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0....(1)$

$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0....(2)$

समीकरणों का हल रेखाओं की स्थिति के अनुसार भिन्न-भिन्न होता है।

हल के प्रकार

संगत: समीकरणों के युग्म को संगत कहा जाता है, यदि दो रेखाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद कर रही हों, तो वह बिंदु दोनों समीकरणों के लिए एक अद्वितीय हल देता है।
आश्रित: समीकरणों के युग्म को आश्रित कहा जाता है, यदि दो रेखाएँ संपाती हों, तो इस स्थिति में अनंत रूप से कई हल होते हैं। एक रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक हल बन जाता है।
असंगत: समीकरणों के युग्म को असंगत कहा जाता है, यदि दो रेखाएँ समानांतर हों, तो इस स्थिति में कोई हल नहीं होता है।

समीकरणों के निम्नलिखित तीन युग्मों पर विचार करें।

(i) $x-2y=0$ और $3x+4y-20=0$ (रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं )

(ii) $2x+3y-9=0$ और $4x+6y-18=0$ (रेखाएँ संपाती हैं )

(iii) $x+2y-4=0$ और $2x+4y-12=0$ (रेखाएँ समांतर हैं )

आइए उपर्युक्त तीनों उदाहरणों में ${\frac {a_{1}}{a_{2}}},{\frac {b_{1}}{b_{2}}},{\frac {c_{1}}{c_{2}}}$ के मान लिखें और उनकी तुलना करें।

यहाँ $a_{1},b_{1},c_{1}$ और $a_{2},b_{2},c_{2}$ सामान्य रूप $(1)$ और $(2)$ में दिए गए समीकरणों के गुणांकों को दर्शाता है


क्रमांक	रेखाओं का युग्म	${\frac {a_{1}}{a_{2}}}$	${\frac {b_{1}}{b_{2}}}$	${\frac {c_{1}}{c_{2}}}$	अनुपातों की तुलना	आलेखीय विधि	बीजगणितीय व्याख्या
1	$x+3y-6=0$ $2x-3y-12=0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {3}{-3}}$	${\frac {-6}{-12}}$	${\frac {a_{1}}{a_{2}}}\neq {\frac {b_{1}}{b_{2}}}$	प्रतिच्छेदी रेखाएँ	सटीक रूप से एक हल (अद्वितीय)
2	$2x+3y-9=0$ $4x+6y-18=0$	${\frac {2}{4}}$	${\frac {3}{6}}$	${\frac {-9}{-18}}$	${\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}$	संयोग रेखाएँ	अनंत अनेक हल
3	$x+2y-4=0$ $2x+4y-12=0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {2}{4}}$	${\frac {-4}{-12}}$	${\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}\neq {\frac {c_{1}}{c_{2}}}$	समानांतर रेखाएँ	कोई हल नहीं

उपरोक्त तालिका से, यदि समीकरण द्वारा दर्शाई गई रेखाएँ

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0....(1)$ और $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0....(2)$ हैं

प्रतिच्छेद करते हुए, फिर ${\frac {a_{1}}{a_{2}}}\neq {\frac {b_{1}}{b_{2}}}$
संपाती, तो ${\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}$
समांतर,फिर ${\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}\neq {\frac {c_{1}}{c_{2}}}$

उदाहरण

1. आलेखीय रूप से जाँचें कि समीकरणों का युग्म सुसंगत है या नहीं । यदि हाँ, तो उन्हें आलेखीय रूप से हल करें।

$x+3y-6=0$ $2x-3y-12=0$

हल :

$x$	$0$	$6$
$y={\frac {6-x}{3}}$	$2$	$0$


$x$	$0$	$3$
$y={\frac {2x-12}{3}}$	$-4$	$-2$

बिंदुओं को ग्राफ़ पेपर पर आलेखित करें

$(0,2)$ , $(6,0)$ और रेखाएँ बनाने के लिए बिंदुओं को मिलाएँ
$(0,-4)$ $(3,-2)$ और रेखाएँ बनाने के लिए बिंदुओं को मिलाएँ जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है।

चित्र .1

हम देखते हैं कि दोनों रेखाओं में $(6,0)$ पर एक बिंदु उभयनिष्ठ है। इसलिए, रैखिक समीकरणों के युग्म का हल $x=6$ और $y=0$ है, अर्थात, समीकरणों का दिया गया वायु संगत है।

2. आलेखीय रूप से जाँच करें कि समीकरण युग्म के अनंत रूप से अनेक हल हैं या नहीं। यदि हाँ, तो उन्हें आलेखीय रूप से हल करें।

$2x+3y-9=0$ $4x+6y-18=0$

हल :

$x$	$3$	$6$
$y={\frac {9-2x}{3}}$	$1$	$-1$

$x$	$3$	$6$
$y={\frac {18-4x}{6}}$	$1$	$-1$

बिंदुओं को ग्राफ़ पेपर पर आलेखित करें

$(3,1)$ , $(6,-1)$ और रेखाएँ बनाने के लिए बिंदुओं को मिलाएँ
$(3,1)$ $(6,-1)$ और रेखाएँ बनाने के लिए बिंदुओं को मिलाएँ जैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है।

चित्र .2

We observe that each and every point on a line becomes a solution. So, the solution of the pair of linear equations has infinitely many solutions.

3. आलेखीय रूप से जाँच करें कि समीकरण युग्म के कोई हल है या नहीं है। यदि ऐसा है, तो उन्हें आलेखीय रूप से हल करें।

$x+2y-4=0$ $2x+4y-12=0$

हल :

$x$	$0$	$2$
$y={\frac {4-x}{2}}$	$2$	$1$

$x$	$0$	$2$
$y={\frac {12-2x}{4}}$	$3$	$2$

बिंदुओं को ग्राफ़ पेपर पर आलेखित करें

$(0,2)$ , $(2,1)$ और रेखाएँ बनाने के लिए बिंदुओं को मिलाएँ
$(0,3)$ $(2,2)$ और रेखाएँ बनाने के लिए बिंदुओं को मिलाएँ जैसा कि चित्र 3 में दिखाया गया है।

चित्र .3

हम देखते हैं कि रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं कर रही हैं और एक दूसरे के समानांतर हैं। अतः, रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।

@@ Line 1: / Line 1: @@
 जब गणितीय संक्रियाओं के साथ चरों और अचरों के गणितीय व्यंजक उच्चतम घात एक का समीकरण बनाते हैं, तो इसे एक रैखिक समीकरण कहा जाता है। रैखिक समीकरण चरों के बीच एक बीजीय समीकरण है जो आलेख पर अंकित करने पर एक सीधी रेखा देता है। एक चर का एक रैखिक समीकरण इस प्रकार का होता है <math>ax+b=0</math> जहां <math>x</math> चर है। दो चरों के रैखिक समीकरण इस रूप के होते हैं <math>ax+by+c=0</math> जहाँ <math>x</math> और <math>y</math> दो चर हैं और <math>c</math> स्थिरांक है। रैखिक समीकरणों की एक युग्म को दो मूल विधियों  का उपयोग करके हल किया जा सकता है और दर्शाया जा सकता है: आलेखीय विधि और बीजगणितीय विधि। इस पाठ में, हम आलेखीय विधि का उपयोग करके दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की विधि को ज्ञात करेंगे।
-== Solving Pair of Linear Equation Graphically ==
+== रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय रूप से हल करना ==
-Every linear equation consists of variables. Linear equations are of the first order and they may involve one or two variables. When it comes to solving linear equations using graphical method the basic approach is to represent them as straight lines on a graph and find the points of intersection, if any. We can obtain at least two solutions easily by substituting the values for <math>x</math>, finding the <math>x</math> and <math>y</math> intercepts and plotting them geometrically on the graph. Let us have a look at the standard form of a pair of linear equations here.
+प्रत्येक रैखिक समीकरण में चर होते हैं। रैखिक समीकरण प्रथम कोटि के होते हैं और इनमें एक या दो चर उपस्थित हो सकते हैं। जब आलेखीय पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों को हल करने की बात आती है तो मूल दृष्टिकोण उन्हें आलेख पर सीधी रेखाओं के रूप में प्रस्तुत करना और प्रतिच्छेदन बिंदु, यदि कोई हो, ज्ञात करना होता है। हम <math>x</math> के मानों को प्रतिस्थापित करके, <math>x</math> और <math>y</math> अंतःखंडों को ज्ञात करके और उन्हें आलेख पर ज्यामितीय रूप से आलेखन(प्लॉट) करके न्यूनतम दो समाधान सुलभ पद्धति से प्राप्त कर सकते हैं। आइए यहां रैखिक समीकरणों के एक युग्म के मानक रूप पर एक दृष्टि डालें।
 <math>a_1x+b_1y+c_1=0 ....(1)</math>
@@ Line 8: / Line 8: @@
 <math>a_2x+b_2y+c_2=0 ....(2)</math>
-Solution for the equations varies according to the position of the lines.
+समीकरणों का हल रेखाओं की स्थिति के अनुसार भिन्न-भिन्न होता है।
-'''Types of Solutions'''
+'''हल''' '''के प्रकार'''
-* '''Consistent :''' The pair of equations is said to be consistent, if the two lines are intersecting at the same point, then the point gives unique solution for both the equations.
+* '''संगत''': समीकरणों के युग्म को संगत कहा जाता है, यदि दो रेखाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद कर रही हों, तो वह बिंदु दोनों समीकरणों के लिए एक अद्वितीय हल देता है।
-* '''Dependent :''' The pair of equations is said to be dependent, if the two lines coincide, then in this case there are infinitely many solutions. Each and every point on a line becomes a solution.
+* '''आश्रित''': समीकरणों के युग्म को आश्रित कहा जाता है, यदि दो रेखाएँ संपाती हों, तो इस स्थिति में अनंत रूप से कई हल होते हैं। एक रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक हल बन जाता है।
-* '''Inconsistent :''' The pair of equations is said to be inconsistent, if the two lines are parallel, then in this case there is no solution.
+* '''असंगत''': समीकरणों के युग्म को असंगत कहा जाता है, यदि दो रेखाएँ समानांतर हों, तो इस स्थिति में कोई हल नहीं होता है।
-Consider the following three pairs of equations.
-(i) <math>x-2y=0</math>and <math>3x+4y-20=0</math> (The lines intersect)
+समीकरणों के निम्नलिखित तीन युग्मों पर विचार करें।
-(ii) <math>2x+3y-9=0</math> and <math>4x+6y-18=0</math> (The lines coincide)
+(i) <math>x-2y=0</math> और <math>3x+4y-20=0</math> (रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं )
-(iii) <math>x+2y-4=0</math> and <math>2x+4y-12=0</math> (The lines are parallel)
+(ii) <math>2x+3y-9=0</math> और  <math>4x+6y-18=0</math> (रेखाएँ संपाती हैं )
-Let us write down, and compare, the values of <math>\frac{a_1}{a_2},\frac{b_1}{b_2},\frac{c_1}{c_2}</math>
+(iii) <math>x+2y-4=0</math> और <math>2x+4y-12=0</math> (रेखाएँ समांतर हैं )
+आइए उपर्युक्त तीनों उदाहरणों में  <math>\frac{a_1}{a_2},\frac{b_1}{b_2},\frac{c_1}{c_2}</math> के मान लिखें और उनकी तुलना करें।
+यहाँ  <math>a_1,b_1,c_1</math>और <math>a_2,b_2,c_2</math> सामान्य रूप <math>(1) </math> और <math>(2)</math> में दिए गए समीकरणों के गुणांकों को दर्शाता है
-in all the three examples. Here  <math>a_1,b_1,c_1</math>and <math>a_2,b_2,c_2</math> denote the coefficients of equations  given in in the general form <math>(1) </math>and (2)
 {| class="wikitable"
 |+
-!Sl.No.
+!क्रमांक
-!Pair of Lines
+!रेखाओं का युग्म
 !<math>\frac{a_1}{a_2}</math>
 !<math>\frac{b_1}{b_2}</math>
 !<math>\frac{c_1}{c_2}</math>
-!Compare the ratios
+!अनुपातों की तुलना
-!Graphical representation
+!आलेखीय विधि
-!Algebraic Interpretation
+!बीजगणितीय व्याख्या
 |-
 |1
@@ Line 46: / Line 48: @@
 !<math>\frac{-6}{-12}</math>
 !<math>\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}</math>
-|Intersecting lines
+|प्रतिच्छेदी रेखाएँ
-|Exactly one solution (unique)
+|सटीक रूप से एक हल (अद्वितीय)
 |-
 |2
@@ Line 58: / Line 60: @@
 !<math>\frac{-9}{-18}</math>
 !<math>\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}</math>
-|Coincident lines
+|संयोग रेखाएँ
-|Infinitely many solutions
+|अनंत अनेक हल
 |-
 |3
@@ Line 69: / Line 71: @@
 !<math>\frac{-4}{-12}</math>
 !<math>\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}</math>
-|Parallel lines
+|समानांतर रेखाएँ
-|No Solution
+|कोई हल नहीं
 |}
-From the table above,  if the lines represented by the equation
+उपरोक्त तालिका से, यदि समीकरण द्वारा दर्शाई गई रेखाएँ
-<math>a_1x+b_1y+c_1=0 ....(1)</math> and <math>a_2x+b_2y+c_2=0 ....(2)</math> are
+<math>a_1x+b_1y+c_1=0 ....(1)</math> और <math>a_2x+b_2y+c_2=0 ....(2)</math> हैं
-* intersecting , then <math>\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}</math>
+* प्रतिच्छेद करते हुए, फिर <math>\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}</math>
-* coincident , then <math>\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}= \frac{c_1}{c_2}</math>
+* संपाती, तो  <math>\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}= \frac{c_1}{c_2}</math>
-* parallel , then <math>\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}</math>
+* समांतर,फिर <math>\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}</math>
-== Examples ==
+== उदाहरण ==
-. Check graphically whether the pair of equations
+. आलेखीय रूप से जाँचें कि समीकरणों का युग्म सुसंगत है या नहीं । यदि हाँ, तो उन्हें आलेखीय रूप से हल करें।
 {| class="wikitable"
 |-
@@ Line 87: / Line 89: @@
 <math>2x-3y-12=0</math>
-|}is consistent. If so, solve them graphically.
+|}'''हल :'''
-'''Solution:'''
 {| class="wikitable"
 |<math>x</math>
@@ Line 109: / Line 109: @@
 |<math>-2</math>
 |}
-Plot  the points on the graph paper
+बिंदुओं को ग्राफ़ पेपर पर आलेखित करें
-* <math>(0,2)</math>, <math>(6,0)</math> and join the points to form the lines
+* <math>(0,2)</math>, <math>(6,0)</math> और रेखाएँ बनाने के लिए बिंदुओं को मिलाएँ
-* <math>(0,-4)</math> <math>(3,-2)</math> and join the points to form the lines as shown in Fig. 1.
+* <math>(0,-4)</math> <math>(3,-2)</math> और रेखाएँ बनाने के लिए बिंदुओं को मिलाएँ जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है।
-[[File:Graph-1.jpg|alt=Fig.1|none|thumb|600x600px|Fig.1]]
+[[File:Graph-1.jpg|alt=Fig.1|none|thumb|600x600px|चित्र .1]]
-We observe that there is a point at <math>(6,0)</math> common to both the lines . So, the solution of the pair of linear equations is <math>x=6</math> and <math>y=0</math>, i.e., the given pair of equations
+हम देखते हैं कि दोनों रेखाओं में <math>(6,0)</math> पर एक बिंदु उभयनिष्ठ है। इसलिए, रैखिक समीकरणों के युग्म का हल <math>x=6</math>और <math>y=0</math> है, अर्थात, समीकरणों का दिया गया वायु संगत है।
-is consistent.
+. आलेखीय रूप से जाँच करें कि समीकरण युग्म के अनंत रूप से अनेक हल हैं या नहीं। यदि हाँ, तो उन्हें आलेखीय रूप से हल करें।
-. Check graphically whether the pair of equations
 {| class="wikitable"
 |-
@@ Line 128: / Line 126: @@
 <math>4x+6y-18=0</math>
-|}has infinitely many solutions. If so, solve them graphically.
+|}'''हल :'''
-'''Solution:'''
 {| class="wikitable"
 |<math>x</math>
@@ Line 149: / Line 145: @@
 |<math>-1</math>
 |}
-Plot  the points on the graph paper
+बिंदुओं को ग्राफ़ पेपर पर आलेखित करें
-* <math>(3,1)</math>, <math>(6,-1)</math> and join the points to form the lines
+* <math>(3,1)</math>, <math>(6,-1)</math>और रेखाएँ बनाने के लिए बिंदुओं को मिलाएँ
-* <math>(3,1)</math> <math>(6,-1)</math> and join the points to form the lines as shown in Fig. 2.
+* <math>(3,1)</math> <math>(6,-1)</math>और रेखाएँ बनाने के लिए बिंदुओं को मिलाएँ जैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है।
-[[File:Graph-4.jpg|alt=Fig. 2|none|thumb|600x600px|Fig. 2]]
+[[File:Graph-4.jpg|alt=Fig. 2|none|thumb|600x600px|चित्र .2]]
 We observe that each and every point on a line becomes a solution. So, the solution of the pair of linear equations has infinitely many solutions.
-. Check graphically whether the pair of equations
+. आलेखीय रूप से जाँच करें कि समीकरण युग्म के कोई हल है या नहीं है। यदि ऐसा है, तो उन्हें आलेखीय रूप से हल करें।
 {| class="wikitable"
 |-
@@ Line 163: / Line 159: @@
 <math>2x+4y-12=0</math>
 |}
-has no solution, If so, solve them graphically.
-'''Solution:'''
+'''हल :'''
 {| class="wikitable"
 |<math>x</math>
@@ Line 185: / Line 180: @@
 |<math>2</math>
 |}
-Plot  the points on the graph paper
+बिंदुओं को ग्राफ़ पेपर पर आलेखित करें
-* <math>(0,2)</math>, <math>(2,1)</math> and join the points to form the lines
+* <math>(0,2)</math>, <math>(2,1)</math> और रेखाएँ बनाने के लिए बिंदुओं को मिलाएँ
-* <math>(0,3)</math> <math>(2,2)</math>  and join the points to form the lines as shown in Fig. 3
+* <math>(0,3)</math> <math>(2,2)</math>  और रेखाएँ बनाने के लिए बिंदुओं को मिलाएँ जैसा कि चित्र 3  में दिखाया गया है।
-[[File:Graph-parallel.jpg|alt=Fig. 3|none|thumb|600x600px|Fig. 3]]
+[[File:Graph-parallel.jpg|alt=Fig. 3|none|thumb|600x600px|चित्र .3]]
-We observe that lines are not crossing and are parallel to each other . So, the pair of linear equations has no solution.
+हम देखते हैं कि रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं कर रही हैं और एक दूसरे के समानांतर हैं। अतः, रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
 [[Category:दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म]]
 [[Category:गणित]]
 [[Category:कक्षा-10]]