मध्य-बिंदु प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 07:33, 2 November 2024

ज्यामिति के क्षेत्र में त्रिभुजों के गुणों से संबंधित महत्वपूर्ण प्रमेयों में से एक को मध्य-बिंदु प्रमेय कहा जाता है।

मध्य-बिंदु प्रमेय के सिद्धांत का उपयोग निर्देशांक ज्यामिति में किया जाता है, जिसमें कहा गया है कि रेखाखंड का मध्यबिंदु अंत बिंदुओं का औसत होता है। इस प्रमेय का उपयोग करके समीकरण को हल करने के लिए 'x' और 'y' निर्देशांक ज्ञात होना चाहिए। मध्य-बिंदु प्रमेय कलन और बीजगणित के क्षेत्र में भी उपयोगी है।

मध्य-बिंदु प्रमेय कथन

मध्यबिंदु प्रमेय कहता है कि "किसी त्रिभुज में उसकी किन्हीं दो भुजाओं के मध्यबिंदु को मिलाने वाला रेखाखंड उसकी तीसरी भुजा के समांतर कहलाता है और तीसरी भुजा की लंबाई का आधा भी होता है।"

चित्र-1

चित्र-1 में दर्शाए गए त्रिभुज में $E$ और $F$ त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्यबिंदु हैं

$EF\parallel BC$ , $EF={\frac {1}{2}}BC$ and $\angle AEF=\angle ABC$

इसके साथ, हम निम्नलिखित प्रमेयों पर पहुँचते हैं

प्रमेय 1: त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है।

प्रमेय 2: त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

मध्यबिंदु प्रमेय का व्युत्क्रम

कथन: मध्यबिंदु प्रमेय के व्युत्क्रम में कहा गया है कि "किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्यबिंदु से होकर दूसरी भुजा के समानांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करेगी"। हम मध्यबिंदु प्रमेय के व्युत्क्रम को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करते हैं।

मध्य बिंदु प्रमेय का प्रमाण व्युत्क्रम

एक त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, और $D$ को $AB$ का मध्यबिंदु मान लें। $D$ से होकर $BC$ के समांतर एक रेखा $BC$ को $E$ पर मिलती है, जैसा कि नीचे चित्र 2 में दिखाया गया है:।

Fig. 2 below:.

चित्र. 2

दिया गया है: $\triangle ABC$ में, $D$ , $AB$ का मध्यबिंदु है और $DE\parallel BC$ ।

सिद्ध करना: $E$ , $AC$ का मध्यबिंदु है (अर्थात, $AE=CE$ )

संरचना : $C$ से होकर $AB$ के समांतर एक रेखा खींचें जो विस्तारित $DE$ से $F$ पर मिलती है

मध्यबिंदु प्रमेय के व्युत्क्रम का प्रमाण
1. $BCFD$ एक समांतर चतुर्भुज है	$DE\parallel BC$ (दिया गया है) और $BD\parallel CF$ (संरचना द्वारा)
2. $BD=CF$	समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं
3. $AD=BD$	D, AB का मध्यबिंदु है (दिया गया है)
4. $AD=CF$	2 और 3 से
तुलना करें $\triangle AED$ के साथ $\triangle CEF$ :
5. $\angle DAE=\angle ECF$	वैकल्पिक कोण
6. $\angle DEA=\angle FEC$	शीर्षाभिमुख कोण
7. $\triangle AED\cong \triangle CEF$	AAS मानदंड के अनुसार (4, 5, और 6 का उपयोग करके)
8. $AE=CE$	CPCTC द्वारा

इससे व्युत्क्रम मध्यबिंदु प्रमेय का प्रमाण पूरा हो जाता है।

मध्यबिंदु प्रमेय का आवेदन

मध्यबिंदु प्रमेय का एक दिलचस्प परिणाम यह है कि यदि हम किसी भी त्रिभुज के तीन पक्षों के मध्य बिंदुओं में उपस्थित होते हैं, तो हमें चार (छोटे) बधाई वाले त्रिकोण मिलेंगे, जैसा कि नीचे चित्र 3 में दिखाया गया है:

चित्र. 3

हमारे पास है: $\triangle ADE\cong \triangle FED\cong \triangle BDF\cong \triangle EFC$

प्रमाण: चतुर्भुज $DEFB$ पर विचार करें। मध्यबिंदु प्रमेय द्वारा, हमारे पास है:

$DE={\frac {1}{2}}BC=BF$
$DE\parallel BF$

इस प्रकार, $DEFB$ एक समानांतर चतुर्भुज है, जिसका अर्थ है कि $\triangle FED\cong \triangle BDF$ । इसी तरह, हम दिखा सकते हैं कि $AEFD$ और

$DECF$ समांतर चतुर्भुज हैं, और इसलिए सभी चार त्रिभुज सर्वांगसम एक दूसरे के अनुरूप हैं।

@@ Line 17: / Line 17: @@
 == मध्यबिंदु प्रमेय का व्युत्क्रम ==
-'''कथन:''' The converse of midpoint theorem states that "the line drawn through the midpoint of one side of a triangle that is parallel to another side will bisect the third side". We prove the converse of mid point theorem by contradiction.
+'''कथन:''' मध्यबिंदु प्रमेय के व्युत्क्रम में कहा गया है कि "किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्यबिंदु से होकर दूसरी भुजा के समानांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करेगी"। हम मध्यबिंदु प्रमेय के व्युत्क्रम को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करते हैं।
 === मध्य बिंदु प्रमेय का प्रमाण व्युत्क्रम ===
-Consider a triangle <math>ABC</math>, and let <math>D</math> be the midpoint of <math>AB</math>. A line through <math>D</math> parallel to <math>BC</math> meets <math>BC</math> at <math>E</math>, as shown in the Fig. 2 below:.
+एक त्रिभुज <math>ABC</math> पर विचार करें, और <math>D</math> को <math>AB</math> का मध्यबिंदु मान लें। <math>D</math> से होकर <math>BC</math> के समांतर एक रेखा <math>BC</math> को <math>E</math> पर मिलती है, जैसा कि नीचे चित्र 2 में दिखाया गया है:।
-[[File:Midpoint theorem - converse.jpg|alt=Fig. 2|thumb|Fig. 2|none]]
+Fig. 2 below:.
+[[File:Midpoint theorem - converse.jpg|alt=Fig. 2|thumb|चित्र. 2|none]]
 '''दिया गया है:'''  <math>\triangle ABC</math> में, <math>D</math>, <math>AB</math> का मध्यबिंदु है और <math>DE \parallel BC</math>।
@@ Line 59: / Line 61: @@
 |}
 इससे व्युत्क्रम मध्यबिंदु प्रमेय का प्रमाण पूरा हो जाता है।
-== Application of Midpoint Theorem ==
+== मध्यबिंदु प्रमेय का आवेदन ==
-An interesting consequence of the midpoint theorem is that if we join the midpoints of the three sides of any triangle, we will get four (smaller) congruent triangles, as shown in the Fig. 3 below:
+मध्यबिंदु प्रमेय का एक दिलचस्प परिणाम यह है कि यदि हम किसी भी त्रिभुज के तीन पक्षों के मध्य बिंदुओं में उपस्थित होते हैं, तो हमें चार (छोटे) बधाई वाले त्रिकोण मिलेंगे, जैसा कि नीचे चित्र 3 में दिखाया गया है:
-[[File:Application of Midpoint Theorem.jpg|alt=Fig. 3|thumb|Fig. 3|none]]
+[[File:Application of Midpoint Theorem.jpg|alt=Fig. 3|thumb|चित्र. 3|none]]
-We have: <math>\triangle ADE \cong \triangle FED\cong \triangle BDF\cong \triangle EFC</math>
+हमारे पास है:  <math>\triangle ADE \cong \triangle FED\cong \triangle BDF\cong \triangle EFC</math>
-'''Proof:''' Consider the quadrilateral <math>DEFB</math>. By the midpoint theorem, we have:
+'''प्रमाण:''' चतुर्भुज  <math>DEFB</math> पर विचार करें। मध्यबिंदु प्रमेय द्वारा, हमारे पास है:
 * <math>DE=\frac{1}{2}BC=BF</math>
 * <math>DE \parallel BF</math>
-Thus,<math>DEFB</math> is a parallelogram, which means that<math> \triangle FED\cong \triangle BDF</math>. Similarly, we can show that <math>AEFD</math> and <math>DECF</math> are parallelograms, and hence all four triangles so formed are congruent to each other.
+इस प्रकार, <math>DEFB</math> एक समानांतर चतुर्भुज है, जिसका अर्थ है कि <math> \triangle FED\cong \triangle BDF</math>। इसी तरह, हम दिखा सकते हैं कि <math>AEFD</math> और
+<math>DECF</math> समांतर चतुर्भुज हैं, और इसलिए सभी चार त्रिभुज सर्वांगसम एक दूसरे के अनुरूप हैं।
 [[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]