सर्वनिष्ट(समुच्चय): Difference between revisions

Latest revision as of 22:46, 6 November 2024

समुच्चयों का सर्वनिष्ठ

समुच्चय $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो $A$ और $B$ दोनों में उभयनिष्ठ है। प्रतीक ' $\cap$ ' का प्रयोग सर्वनिष्ठ को निरूपित करने के लिए किया जाता है। समुच्चय $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो $A$ और $B$ दोनों में हों। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि $A\cap B=\{x:x\in A$ और $x\in B\}$

उदाहरण

मान लीजिए कि $A=\{2,4,6,8\}$ और $B=\{6,8,10,12\}$ । $A\cup B$ ज्ञात कीजिए।

हम देखते हैं कि $A\cup B=\{2,4,6,8,10,12\}$

उदाहरण 1: उपर्युक्त उदाहरण के समुच्चय $A$ और $B$ पर विचार करते हुए | $A\cap B$ ज्ञात कीजिए।

हल: हम देखते हैं कि केवल $6$ और $8$ ही ऐसे अवयव हैं जो $A$ और $B$ दोनों में उभयनिष्ठ हैं। अतः $A\cap B=\{6,8\}$

उदाहरण 2: मान लीजिए कि $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ और $B=\{2,3,5,7\}$ $A\cap B$ ज्ञात कीजिए और इस प्रकार दिखाइए कि $A\cap B=B$ ।

हल: हल हम देखते हैं कि $A\cap B=\{2,3,5,7\}=B$ हम ध्यान देते हैं कि $B\subset A$ और $A\cap B=B$

परिभाषा

चित्र -समुच्चयों का सर्वनिष्ठ

समुच्चय $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो $A$ और $B$ दोनों में हो। प्रतीकात्मक रूप में, हम लिखते हैं कि $A\cap B=\{x:x\in A$ और $x\in B\}$

चित्र में छायांकित भाग, $A$ और $B$ के सर्वनिष्ठ को प्रदर्शित करता है।

यदि $A$ और $B$ ऐसे दो समुच्चय हों कि $A\cap B=\phi$ , तो $A$ और $B$ असंयुक्त समुच्चय कहलाते हैं। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि $A=\{2,4,6,8\}$ और $B=\{1,3,5,7\}$ , तो $A$ और $B$ असंयुक्त समुच्चय हैं, क्योंकि $A$ और $B$ में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। असंयुक्त समुच्चयों को वेन आरेख द्वारा निरूपित किया जा सकता है, जैसा चित्र में प्रदर्शित है। उपर्युक्त आरेख में $A$ और $B$ असंयुक्त समुच्चय हैं।

सर्वनिष्ठ संक्रिय के कुछ गुणधर्म

(i) $A\cap B=B\cap A$ ( क्रम विनिमय नियम )

(ii) $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ (साहचर्य नियम)

(iii) $\phi \cap A=\phi ,U\cap A=A$ ( $\phi$ और $U$ के नियम)

(iv) $A\cap A=A$ ( वर्गसम नियम )

(v) $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ ( वितरण या बंटन नियम)

अर्थात् $\cap$ वितरित होता है $\cup$ पर

नीचे दिए गए वेन आरेखों [चित्र (I) - (V)] द्वारा इस बात को सरलता से देख सकते हैं।

चित्र-1-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ

B\cup C

चित्र-2-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ

A\cap (B\cup C)

चित्र-3-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ

A\cap B

चित्र-4-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ

A\cap C

चित्र-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ

(A\cap B)\cup (A\cap C)

@@ Line 1: / Line 1: @@
-.10.2 समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (Intersection of sets) समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ है। प्रतीक <nowiki>''</nowiki> का प्रयोग सर्वनिष्ठ को निरूपित करने के लिए किया जाता है। समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो A और B दोनों में हों। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि
+== समुच्चयों का सर्वनिष्ठ ==
+समुच्चय <math>A
+</math> और <math>B</math> का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो <math>A
+</math> और <math>B</math> दोनों में [[सम्मिलन(समुच्चय)|उभयनिष्ठ]] है। प्रतीक '<math>\cap</math>' का प्रयोग सर्वनिष्ठ को निरूपित करने के लिए किया जाता है। समुच्चय <math>A
+</math> और <math>B</math> का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो <math>A
+</math> और <math>B</math> दोनों में हों। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि <math>A \cap B =\{x:x\in A</math> और <math>x\in B\}</math>
-AnB = {x:x€A 3
+== उदाहरण ==
+मान लीजिए कि<math>A = \{ 2, 4, 6, 8\}</math>और <math>B = \{6, 8, 10, 12\}</math>।  <math>A\cup B</math>  ज्ञात कीजिए।
-xe B}
+हम देखते हैं कि <math>A\cup B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}</math>
-उदाहरण 15 उदाहरण 12 के समुच्चय A और B पर विचार कीजिए | An
+'''उदाहरण''' '''1:''' उपर्युक्त उदाहरण के [[समुच्चयों पर संक्रियाएँ|समुच्चय]] <math>A
+</math> और <math>B</math> पर विचार करते हुए  | <math>A \cap B</math> ज्ञात कीजिए।
-ज्ञात कीजिए।
+'''हल:'''  हम देखते हैं कि केवल <math>6</math> और <math>8 </math> ही ऐसे अवयव हैं जो <math>A
+</math> और <math>B</math> दोनों में उभयनिष्ठ हैं। अतः<math>A\cap B = \{6, 8\}</math>
-हल हम देखते हैं कि केवल 6 और 8 ही ऐसे अवयव हैं जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ हैं। अतः A∩B = { 6, 8 }
+'''उदाहरण''' '''2:'''  मान लीजिए कि <math>A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}</math> और <math>B = \{2, 3, 5, 7\}</math> <math>A\cap B</math> ज्ञात कीजिए और इस प्रकार दिखाइए कि <math>A\cap B = B</math> ।
-उदाहरण 16 उदाहरण 14 के समुच्चय X और Y पर विचार कीजिए | XY ज्ञात कीजिए ।
+'''हल:'''  हल हम देखते हैं कि <math>A\cap B = \{2, 3, 5, 7\} = B</math> हम ध्यान देते हैं कि <math>B\subset A</math> और <math>A\cap B = B</math>
-हल हम देखते हैं केवल 'गीता' ही एक मात्र ऐसा अवयव है, जो दोनों में उभयनिष्ठ है। अतः XOY = {गीता}
+== परिभाषा ==
+[[File:समुच्चयों का सर्वनिष्ठ.jpg|thumb|चित्र -समुच्चयों का सर्वनिष्ठ]]
+समुच्चय <math>A
+</math> और <math>B</math> का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो <math>A
+</math> और <math>B</math> दोनों में हो। प्रतीकात्मक रूप में, हम लिखते हैं कि <math>A\cap B = \{x:x\in A</math> और  <math>x\in B\}</math>
-उदाहरण 17 मान लीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 और B = { 2, 3, 5, 7 } AB ज्ञात कीजिए और इस प्रकार दिखाइए कि AB = B.
+चित्र में छायांकित भाग, <math>A
+</math> और <math>B</math> के सर्वनिष्ठ को प्रदर्शित करता है।
-हल हम देखते हैं कि An B = { 2, 3, 5, 7 } = B हम ध्यान देते हैं कि BCA और AOB = B परिभाषा 7 समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो A और B दोनों में हो। प्रतीकात्मक रूप में, हम लिखते हैं कि
+यदि <math>A
+</math> और <math>B</math> ऐसे दो समुच्चय हों कि<math>A\cap B =\phi</math>, तो <math>A
+</math>और <math>B</math> असंयुक्त समुच्चय कहलाते हैं। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि <math>A = \{2, 4, 6, 8\}</math> और <math>B = \{1, 3, 5, 7\}</math>, तो <math>A
+</math> और <math>B</math> असंयुक्त समुच्चय हैं, क्योंकि <math>A
+</math> और <math>B</math> में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। असंयुक्त समुच्चयों को वेन आरेख द्वारा निरूपित किया जा सकता है, जैसा चित्र में प्रदर्शित है। उपर्युक्त आरेख में <math>A
+</math> और <math>B</math> असंयुक्त समुच्चय हैं।
-An B = {x: x ∈ A और x ∈ B} आकृति 1.5 में छायांकित भाग, A और B के सर्वनिष्ठ
+== सर्वनिष्ठ संक्रिय के कुछ गुणधर्म ==
+(i) <math>A\cap B =B\cap A</math>     ( क्रम विनिमय नियम )
-को प्रदर्शित करता है।
+(ii) <math>(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)</math>    (साहचर्य नियम)
-यदि A और B ऐसे दो समुच्चय हों कि AB = 6,
+(iii) <math>\phi \cap A =\phi, U\cap A=A</math>     (<math>\phi</math> और <math>U</math> के नियम)
-U
+(iv) <math>A\cap A = A</math>    ( वर्गसम नियम )
-A
+(v) <math>A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup( A\cap C)</math>   ( वितरण या बंटन नियम)
-R
+अर्थात् <math>\cap</math> वितरित होता है <math>\cup</math> पर
-परिभाषा 7 समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो A और B दोनों में हो। प्रतीकात्मक रूप में, हम लिखते हैं कि
+नीचे दिए गए वेन आरेखों [चित्र (I) - (V)] द्वारा इस बात को सरलता से देख सकते हैं।
+[[File:I.jpg|thumb|चित्र-1-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ <math>B\cup C</math>|left]]
-An B = {x: x∈ A और x ∈ B} आकृति 1.5 में छायांकित भाग, A और B के सर्वनिष्ठ को प्रदर्शित करता है।
+[[File:II.jpg|thumb|चित्र-2-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ <math>A\cap(B\cup C)</math>]]
+[[File:III.jpg|thumb|चित्र-3-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ <math>A\cap B</math>|left]]
-यदि A और B ऐसे दो समुच्चय हों कि An B = 6, तो A और B असंयुक्त समुच्चय कहलाते हैं। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि A = { 2, 4, 6, 8 } और
+[[File:IV.jpg|thumb|चित्र-4-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ <math>A\cap C</math>]]
+[[File:V.jpg|thumb|चित्र-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ <math>(A\cap B)\cup(A\cap C)</math>|center]]
-U
-A
-D
-AOB आकृति 1.5
-B
-समुच्चय
-B = { 1, 3, 5, 7 }, तो A और B असंयुक्त समुच्चय हैं, क्योंकि A और B में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। असंयुक्त समुच्चयों को वेन आरेख द्वारा निरूपित किया जा सकता है, जैसा आकृति 1.6 में प्रदर्शित है। उपर्युक्त आरेख में A और B असंयुक्त समुच्चय हैं। सर्वनिष्ठ संक्रिय के कुछ गुणधर्म
-(i) A∩B =BOA
-(ii) (AB)∩C=An(B∩c)
-(iii)
-A = ¢, UnA=A
-(iv) AnA = A
-(v) A∩ (BUC) = (AB) ( AnC)
-अर्थात् वितरित होता है
-पर
-U
-C
-आकृति 1.6 ( क्रम विनिमय नियम ) (साहचर्य नियम) (p और U के नियम) । ( वर्गसम नियम )
-ved
-( वितरण या बंटन नियम)
-नीचे बने वेन आरेखों [आकृतियों 1.7 (i) - (v)] द्वारा इस बात को सरलता से देख सकते हैं।
 [[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]