कुछ फलन और उनके आलेख

गणित में, एक समुच्चय X से एक समुच्चय Y तक एक फलन X के प्रत्येक तत्व को Y का ठीक एक तत्व प्रदान करता है। समुच्चय X को फलन का प्रांत(डोमेन) कहा जाता है और समुच्चय Y को फलन का सहप्रांत(कोडोमेन) कहा जाता है।

आईए अब हम कुछ फलन और उनके आलेख के बारे में समझने का प्रयास करते हैं। यह मुख्यतः 7 प्रकार के होते हैं जो की निम्नलिखित हैं:

1. तत्समक फलन
2. अचर फलन
3. बहुपद फलन या बहुपदीय फलन
4. परिमेय फलन
5. मापांक फलन
6. चिह्न फलन
7. महत्तम पूर्णांक फलन

तत्समक फलन

मान लीजिए $R$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। $y=f(x)$, प्रत्येक $x\in R$ द्वारा परिभाषित वास्तविक मान फलन $f:R\rightarrow R$ है। इस प्रकार के फलन को तत्समक फलन कहते हैं। यहाँ पर $f$ के प्रांत तथा परिसर $R$ हैं। इसका आलेख एक सरल रेखा होता है(चित्र-1)। यह रेखा मूल बिंदु से हो कर जाती है।

चित्र-2 f(x)=3

अचर फलन

$y=f(x)=c$ जहाँ $c$ एक अचर है और प्रत्येक $x\in R$ द्वारा परिभाषित एक वास्तविक मान फलन $f:R\rightarrow R$ है। यहाँ पर $f$ का प्रांत $R$ है और उसका परिसर $\{c\}$ है। $f$ का आलेख $x$- अक्ष के समांतर एक रेखा है, उदाहरण के लिए यदि $f(x)=3$ प्रत्येक $x\in R$ है, तो इसका आलेख (चित्र- 2) में दर्शाई रेखा है।

बहुपद फलन या बहुपदीय फलन

फलन $f:R\rightarrow R$, एक बहुपदीय फलन कहलाता है, यदि $R$ के प्रत्येक $x$ के लिए, $y=f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+....+a_{n}x^{n}$, जहाँ ”$n$" एक ऋणेतर पूर्णांक है तथा $a_{0},a_{1},a_{2},.....a_{n}\in R$ ।

$f(x)=x^{3}-x^{2}+2$, और $g(x)=x^{4}+{\sqrt {2}}x$, द्वारा परिभाषित फलन एक बहुपदीय फलन है जब कि $h(x)=x^{\frac {2}{3}}+2x$ द्वारा परिभाषित फलन $h$, बहुपदीय फलन नहीं है।

परिमेय फलन

${\frac {f(x)}{g(x)}}$ के प्रकार के फलन जहाँ $f(x)$ तथा $g(x)$

एक प्रांत में, $x$ के परिभाषित बहुपदीय फलन हैं, जिसमें $g(x)\neq 0$ परिमेय फलन कहलाते हैं।

उदाहरण एक वास्तविक मान फलन $f:R-\{0\}\rightarrow R$ की परिभाषा $f(x)={\frac {1}{x}}$, $x\in R-\{0\}$ द्वारा कीजिए। इस परिभाषा का प्रयोग करके निम्नलिखित तालिका को पूर्ण करेंगे। इस फलन का प्रांत तथा परिसर क्या हैं,इसका भी ज्ञात करेंगे।

चित्र-3 f(x)=1/x

हल पूर्ण की गई तालिका इस प्रकार है:

$x$	$-2$	$-1.5$	$-1$	$-0.5$	$0.25$	$0.5$	$1$	$1.5$	$2$
$y={\frac {1}{x}}$	$-0.5$	$-0.67$	$-1$	$-2$	$4$	$2$	$1$	$0.67$	$0.5$

इसका प्रांत, शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं तथा इसका परिसर भी शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं। $f$ का आलेख चित्र-3 में प्रदर्शित है।

मापांक फलन

चित्र-4 f(x)=IxI

$f(x)=\left\vert x\right\vert$ प्रत्येक $x\in R$ द्वारा परिभाषित फलन $f:R\rightarrow R$, मापांक फलन कहलाता है। $x$ के प्रत्येक ऋणेत्तर मान के लिए $f(x)$, $x$ के समान होता है। परंतु $x$ के ऋण मानों के लिए, $f(x)$ का मान $x$ के मान के ऋण के बराबर होता है,अर्थात्

$f(x)={\begin{cases}x,x\geq 0\\-x,x<0\end{cases}}$

मापांक फलन का आलेख चित्र-4 में दिया है । मापांक फलन को निरपेक्ष मान फलन भी कहते हैं।

चिह्न फलन

चित्र-5 f(x)=IxI/x

प्रत्येक $x\in R$, के लिए

$1$, यदि $x>0$

$f(x)=0$, यदि $x=0$

$-1$, यदि $x<0$

द्वारा परिभाषित फलन $f:R\rightarrow R$ चिह्न फलन कहलाता है। चिह्न फलन का प्रांत $R$ है। परिसर समुच्चय $\{-1,0,1\}$ है।

चित्र-5 में चिह्न फलन का आलेख दर्शाया गया है।

महत्तम पूर्णांक फलन

चित्र-6 f(x)=IxI

$f(x)=[x],x\in R$ द्वारा परिभाषित फलन $f:R\rightarrow R$ , $x$ से कम या $x$ के बराबर महत्तम पूर्णांक का मान ग्रहण (धारण) करता है ऐसा फलन महत्तम पूर्णांक फलन कहलाता है।

$[x]$, की परिभाषा से हम देख सकते हैं कि

$[x]=-1$ यदि $-1\leq x<0$

$[x]=0$ यदि $0\leq x<1$

$[x]=1$ यदि $1\leq x<2$

$[x]=2$ यदि $2\leq x<3$ इत्यदि

इस फलन का आलेख चित्र-6 में दर्शाया गया है।