प्रेरणा: Difference between revisions

Latest revision as of 11:49, 22 November 2024

प्रेरणा का अर्थ

प्रेरणा मूलतः एक सैद्धांतिक अवधारणा है जिसका उपयोग किसी व्यक्ति के व्यवहार या किसी कार्य के प्रति व्यक्ति की प्रतिक्रिया का वर्णन करने के लिए किया जाता है। यह एक व्यक्ति या वस्तु है जो किसी व्यक्ति को विशेष तरीके से व्यवहार करने के लिए प्रेरित करती है। साधारणतः, इसका उपयोग मनोवैज्ञानिक सिद्धांतों में, किसी व्यक्ति के व्यवहार के बारे में अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

गणितीय आगमन में प्रेरणा

गणितीय प्रेरण में अभिप्रेरणा का अर्थ है $n$ प्राकृतिक संख्याओं के दिए गए कथनों को इस प्रकार सिद्ध करना कि यदि यह एक के लिए सत्य है तो अन्य सभी संख्याओं के लिए भी सत्य हो।

गणितीय प्रेरण की अवधारणा के पीछे प्रेरणा क्या है?

यह यूक्लिड ही थे जिन्होंने धनात्मक पूर्णांकों के घटते क्रम की अवधारणा पेश की, जिसके बारे में उनका तर्क था कि यह परिमित होना चाहिए, जो उनके संख्याओं के सिद्धांत का आधार था। अपने बाद के काम में, उन्होंने इस अवधारणा को और अधिक विशेष रूप से यह प्रदर्शित करने के लिए लागू किया कि किसी भी मिश्रित संख्या को किसी अभाज्य संख्या द्वारा मापा जा सकता है। अपने प्रमाण में, यूक्लिड ने कहा कि संख्याओं का एक अनंत क्रम, जिनमें से प्रत्येक पिछली संख्या से छोटा है, किसी दी गई संख्या को नहीं माप सकता है - एक धारणा जिसे उन्होंने संख्याओं के दायरे में असंभव माना।

गणितीय प्रेरण को प्रेरित करना

गणितीय प्रेरण वास्तविक जीवन के उदाहरणों से प्रेरित होता है जैसे कि अगर हमारे पास छत तक पहुँचने के लिए सीढ़ी है तो आप कैसे साबित करेंगे कि आप इन सीढ़ियों का उपयोग करके शीर्ष पर पहुँच जाएँगे।

• सबसे पहले हमें यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि क्या हम उस सीढ़ी के पहले चरण तक पहुँच सकते हैं, क्योंकि अगर हम पहले चरण तक पहुँचते हैं तो ही आप दूसरे, तीसरे और इसी तरह आगे बढ़ सकते हैं। और अगर आप पहले चरण तक नहीं पहुँचेंगे तो आप शीर्ष पर नहीं पहुँच सकते।

• दूसरी बात यह है कि अगर हम सीढ़ी के चरणों की गिनती करते हैं तो अगर हम मान लें कि हम चौथे चरण तक पहुँच सकते हैं तो हम पाँचवें चरण तक भी पहुँच सकते हैं।

चलिए इसे संख्याओं के संदर्भ में समझते हैं:

चलिए सीढ़ियों को $1$ , $2$ और इसी तरह आगे भी संख्याएँ देते हैं। मान लें कि $p(n)$ , $n$ वें चरण तक पहुँचने का प्रस्ताव है। अब हमें यह सिद्ध करना है कि यदि हम किसी भी चरण पर चलते हैं तो हम $n$ वें चरण तक पहुँच सकते हैं।

गणितीय शब्दावली में यह कथन वैसा ही है जैसे "किसी भी $k\geq 0$ के लिए, यदि $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।" इसके लिए पहले हमें पहले चरण तक पहुंचना होगा, इसलिए गणितीय शब्दावली में, यदि $P(1)$ सत्य है, तभी हम कह सकते हैं कि "यदि $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है" $k=1$ के लिए और तब हम पाते हैं कि $P(2)$ भी सत्य है, जो तब इंगित करता है कि $P(3)$ सत्य है, और इसी तरह, जो दर्शाता है कि $P(n)$ सभी $n\geq 1$ के लिए सत्य है। लेकिन यदि $P(1)$ सत्य नहीं है, तो $P(n)$ भी किसी भी $n\geq 2$ के लिए सत्य नहीं हो सकता है।

दृष्टांत

मान लेते हैं कि हम प्राकृत संख्याओं $1,2,3,.....,n$ , के योग के लिए सूत्र प्राप्त करना चाहते हैं अर्थात् एक सूत्र जो कि $n=3$ के लिए $1+2+3$ का मान देता है, $n=4$ के लिए $1+2+3+4$ का मान देता है इत्यादि। और मान लीजिए कि हम किसी प्रकार से यह विश्वास करने के लिए प्रेरित होते हैं कि सूत्र $1+2+3+.....+n={\frac {n(n+1)}{2}}$ ।

यह सूत्र वास्तव में कैसे सिद्ध किया जा सकता है? हम निश्चित ही $n$ के इच्छानुसार चाहे गए, धन पूर्णांक मानों के लिए कथन को सत्यापित कर सकते हैं, किंतु इस प्रक्रिया का मान के सभी मानों के लिए सूत्र को सिद्ध नहीं कर सकती है। इसके लिए एक ऐसी क्रिया श्रृंखला की आवश्यकता है, जिसका प्रभाव इस प्रकार का हो कि एक बार किसी धन पूर्णांक के लिए सूत्र के सिद्ध हो जाने के बाद आगामी धन पूर्णांकों के लिए सूत्र निरंतर अपने आप सिद्ध हो जाता है। इस प्रकार की क्रिया श्रृंखला को गणितीय आगमन विधि द्वारा उत्पन्न समझा जा सकता है।

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-== भूमिका  ==
-गणितीय चिंतन का एक आधारभूत सिद्धांत निगमनिक तर्क है। तर्कशास्त्र के अध्ययन से उद्धृत एक अनौपचारिक और निगमनिक तर्क का उदाहरण तीन कथनों में व्यक्त तर्क है:-
-(a) सुकरात एक मनुष्य
+== प्रेरणा का अर्थ ==
+प्रेरणा मूलतः एक सैद्धांतिक अवधारणा है जिसका उपयोग किसी व्यक्ति के व्यवहार या किसी कार्य के प्रति व्यक्ति की प्रतिक्रिया का वर्णन करने के लिए किया जाता है। यह एक व्यक्ति या वस्तु है जो किसी व्यक्ति को विशेष तरीके से व्यवहार करने के लिए प्रेरित करती है। साधारणतः, इसका उपयोग मनोवैज्ञानिक सिद्धांतों में, किसी व्यक्ति के व्यवहार के बारे में अध्ययन करने के लिए किया जाता है।
-है
+== गणितीय आगमन में प्रेरणा ==
+गणितीय प्रेरण में अभिप्रेरणा का अर्थ है <math>n</math> प्राकृतिक संख्याओं के दिए गए कथनों को इस प्रकार सिद्ध करना कि यदि यह एक के लिए सत्य है तो अन्य सभी संख्याओं के लिए भी सत्य हो।
-(b) सभी मनुष्य मरणशील हैं, इसलिए, (c) सुकरात मरणशील है।
+== गणितीय प्रेरण की अवधारणा के पीछे प्रेरणा क्या है? ==
+यह यूक्लिड ही थे जिन्होंने धनात्मक [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] के घटते क्रम की अवधारणा पेश की, जिसके बारे में उनका तर्क था कि यह परिमित होना चाहिए, जो उनके संख्याओं के सिद्धांत का आधार था। अपने बाद के काम में, उन्होंने इस अवधारणा को और अधिक विशेष रूप से यह प्रदर्शित करने के लिए लागू किया कि किसी भी मिश्रित संख्या को किसी अभाज्य संख्या द्वारा मापा जा सकता है। अपने प्रमाण में, [[यूक्लिड]] ने कहा कि संख्याओं का एक अनंत क्रम, जिनमें से प्रत्येक पिछली संख्या से छोटा है, किसी दी गई संख्या को नहीं माप सकता है - एक धारणा जिसे उन्होंने संख्याओं के दायरे में असंभव माना।
-यदि कथन (a) और (b) सत्य हैं, तो (c) की सत्यता स्थापित है। इस सरल उदाहरण को गणितीय बनाने के लिए हम लिख सकते हैं।
+== गणितीय प्रेरण को प्रेरित करना ==
+गणितीय प्रेरण वास्तविक जीवन के उदाहरणों से प्रेरित होता है जैसे कि अगर हमारे पास छत तक पहुँचने के लिए सीढ़ी है तो आप कैसे साबित करेंगे कि आप इन सीढ़ियों का उपयोग करके शीर्ष पर पहुँच जाएँगे।
-(i) आठ दो से भाज्य है।
+• सबसे पहले हमें यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि क्या हम उस सीढ़ी के पहले चरण तक पहुँच सकते हैं, क्योंकि अगर हम पहले चरण तक पहुँचते हैं तो ही आप दूसरे, तीसरे और इसी तरह आगे बढ़ सकते हैं। और अगर आप पहले चरण तक नहीं पहुँचेंगे तो आप शीर्ष पर नहीं पहुँच सकते।
-(ii) दो से भाज्य कोई संख्या सम संख्या है, इसलिए,
+• दूसरी बात यह है कि अगर हम सीढ़ी के चरणों की गिनती करते हैं तो अगर हम मान लें कि हम चौथे चरण तक पहुँच सकते हैं तो हम पाँचवें चरण तक भी पहुँच सकते हैं।
-(iii) आठ एक सम संख्या है।
+चलिए इसे संख्याओं के संदर्भ में समझते हैं:
-इस प्रकार संक्षेप में निगमन एक प्रक्रिया है जिसमें एक कथन सिद्ध करने को दिया जाता है, जिसे गणित में प्राय: एक अनुमानित कथन ( conjecture) अथवा प्रमेय कहते हैं, तर्क संगत निगमन के चरण प्राप्त किए जाते हैं और एक उपपत्ति स्थापित की जा सकती है, अथवा नहीं की जा सकती है, अर्थात् निगमन व्यापक स्थिति से विशेष स्थिति प्राप्त करने का अनुप्रयोग है।
+चलिए सीढ़ियों को <math>1 </math>, <math>2 </math> और इसी तरह आगे भी संख्याएँ देते हैं। मान लें कि <math>p(n) </math> , <math>n</math>वें चरण तक पहुँचने का प्रस्ताव है। अब हमें यह सिद्ध करना है कि यदि  हम किसी भी चरण पर चलते हैं तो हम <math>n</math>वें चरण तक पहुँच सकते हैं।
-निगमन के विपरीत, आगमन तर्क प्रत्येक स्थिति के अध्ययन पर आधारित होता है तथा इसमें प्रत्येक एवं हर संभव स्थिति को ध्यान में रखते हुए घटनाओं के निरीक्षण द्वारा एक अनुमानित कथन विकसित किया जाता है। इसको गणित में प्रायः प्रयोग किया जाता है तथा वैज्ञानिक चिंतन, जहाँ आँकड़ों का संग्रह तथा विशलेषण मानक होता है, का यह मुख्य आधार है। इस प्रकार, सरल भाषा में हम कह सकते हैं कि आगमन शब्द का अर्थ विशिष्ट स्थितियों या तथ्यों से व्यापकीकरण करने से है।
+गणितीय शब्दावली में यह कथन वैसा ही है जैसे "किसी भी <math>k\geq 0 </math> के लिए, यदि <math>P(k) </math> सत्य है तो <math>P(k+1) </math> भी सत्य है।" इसके लिए पहले हमें पहले चरण तक पहुंचना होगा, इसलिए गणितीय शब्दावली में, यदि <math>P(1) </math>सत्य है, तभी हम कह सकते हैं कि "यदि <math>P(k) </math> सत्य है तो <math>P(k+1) </math> भी सत्य है" <math>k=1 </math> के लिए और तब हम पाते हैं कि <math>P(2) </math> भी सत्य है, जो तब इंगित करता है कि <math>P(3) </math> सत्य है, और इसी तरह, जो दर्शाता है कि <math>P(n) </math> सभी <math>n\geq 1 </math> के लिए सत्य है। लेकिन यदि <math>P(1) </math> सत्य नहीं है, तो <math>P(n) </math> भी किसी भी <math>n\geq 2 </math> के लिए सत्य नहीं हो सकता है।
-n
+== दृष्टांत ==
+मान लेते हैं कि हम [[प्राकृत संख्याएँ|प्राकृत संख्याओं]] <math>1,2,3,.....,n</math>, के योग के लिए सूत्र प्राप्त करना चाहते हैं अर्थात् एक सूत्र जो कि <math>n=3</math> के लिए <math>1+2+3</math> का मान देता है, <math>n=4   </math> के लिए <math> 1+2+3+4</math> का मान देता है इत्यादि। और मान लीजिए कि हम किसी प्रकार से यह विश्वास करने के लिए प्रेरित होते हैं कि सूत्र <math>1+2+3+.....+n=\frac{n(n+1)}{2}</math> ।
-बीजगणित में या गणित की अन्य शाखाओं में, कुछ ऐसे परिणाम या कथन होते हैं जिन्हें एक धन पूर्णांक ” के पदों में व्यक्त किया जाता है। ऐसे कथनों को सिद्ध करने के लिए विशिष्ट तकनीक पर आधारित समुचित सिद्धांत है जो गणितीय आगमन का सिद्धांत (Principle of Mathematical Induction) कहलाता है।
+यह सूत्र वास्तव में कैसे सिद्ध किया जा सकता है? हम निश्चित ही <math>n</math> के इच्छानुसार चाहे गए, धन पूर्णांक मानों के लिए कथन को सत्यापित कर सकते हैं, किंतु इस प्रक्रिया का मान के सभी मानों के लिए सूत्र को सिद्ध नहीं कर सकती है। इसके लिए एक ऐसी क्रिया श्रृंखला की आवश्यकता है, जिसका प्रभाव इस प्रकार का हो कि एक बार किसी धन पूर्णांक के लिए सूत्र के सिद्ध हो जाने के बाद आगामी धन पूर्णांकों के लिए सूत्र निरंतर अपने आप सिद्ध हो जाता है। इस प्रकार की क्रिया श्रृंखला को गणितीय आगमन विधि द्वारा उत्पन्न समझा जा सकता है।
+[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]]
-प्रेरणा
+[[Category:गणित]]
+[[Category:कक्षा-11]]
-गणित में, हम सम्पूर्ण आगमन का एक रूप जिसे गणितीय आगमन कहते हैं, प्रयुक्त करते हैं। गणितीय आगमन सिद्धांत के मूल को समझने के लिए, कल्पना कीजिए कि एक पतली आयताकार टाइलों का समूह एक सिरे पर रखा है, जैसे आकृति 4.1 में प्रदर्शित है।
-Qublished
-आकृति 4. 1
-जब प्रथम टाइल को निर्दिष्ट दिशा में धक्का दिया जाता है तो सभी टाइलें गिर जाएँगी । पूर्णत: सुनिश्चित होने के लिए कि सभी टाइलें गिर जाएँगी, इतना जानना पर्याप्त है कि
-(a) प्रथम टाइल गिरती है, और
-(b) उस घटना में जब कोई टाइल गिरती है, उसकी उत्तरवर्ती अनिवार्यतः गिरती है। यही गणितीय आगमन सिद्धांत का आधार है।
-हम जानते हैं कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N वास्तविक संख्याओं का विशेष क्रमित उपसमुच्चय है। वास्तव में, R का सबसे छोटा उपसमुच्चय N है, जिसमें निम्नलिखित गुण हैं:
-एक समुच्चय S आगमनिक समुच्चय (Inductive set) कहलाता है यदि 1E S और x + 1 ∈ S जब कभी.x E S. क्योंकि N, जो कि एक आगमनिक समुच्चय है, R का सबसे छोटा उपसमुच्चय है, परिणामत: R के किसी भी ऐसे उपसमुच्चय में जो आगमनिक है, N अनिवार्य रूप से समाहित होता है।
-दृष्टांत
-मान लीजिए कि हम प्राकृत संख्याओं 1, 2, 3, 1, के योग के लिए सूत्र प्राप्त करना चाहते हैं अर्थात् एक सूत्र जो कि " = 3 के लिए 1 + 2 + 3 का मान देता है, " = 4 के लिए 1+2+3+4 का मान देता है इत्यादि। और मान लीजिए कि हम किसी प्रकार से यह विश्वास करने के लिए प्रेरित होते n (n+1)
-हैं कि सूत्र 1+2+3+...+ n =
-- सही है।
-n
-यह सूत्र वास्तव में कैसे सिद्ध किया जा सकता है? हम निश्चित ही 1 के इच्छानुसार चाहे गए, धन पूर्णांक मानों के लिए कथन को सत्यापित कर सकते हैं, किंतु इस प्रक्रिया का मान के सभी मानों के लिए सूत्र को सिद्ध नहीं कर सकती है। इसके लिए एक ऐसी क्रिया श्रृंखला की आवश्यकता है, जिसका प्रभाव इस प्रकार का हो कि एक बार किसी धन पूर्णांक के लिए सूत्र के सिद्ध हो जाने के बाद आगामी धन पूर्णांकों के लिए सूत्र निरंतर अपने आप सिद्ध हो जाता है। इस प्रकार की क्रिया श्रृंखला को गणितीय आगमन विधि द्वारा उत्पन्न समझा जा सकता है।
-[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]