व्यापक एवं मध्य पद: Difference between revisions

Latest revision as of 20:08, 23 November 2024

द्विपद विस्तार अपने पद के मध्य में है। हम जो जानते हैं उसके अनुसार, $(a+b)^{n}$ के विस्तार में पदों की संख्या $(n+1)$ सम संख्या में होती है। हम $n$ के मान को आरंभिक बिंदु के रूप में उपयोग करके का मध्य पद $(a+b)^{n}$ या पद लिख सकते हैं।

परिचय

अधिकांश भाग के लिए, द्विपद प्रमेय $(x+y)^{n}$ प्रकार के बीजीय व्यंजक के विस्तारित मान को निर्धारित करने में उपयोगी है। $(x+y)^{2},(x+y)^{3},(a+b+c)^{2}$ का मान ज्ञात करना सरल है और इसे समीकरण में दिखाई देने वाली संख्या से घातांक मान को बीजगणितीय रूप से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है। हालाँकि, $(x+y)^{17}$ या बड़े घातांकीय मानों वाले अन्य समान व्यंजकों के विस्तारित रूप की गणना करने के लिए बहुत अधिक गणना की आवश्यकता होती है। द्विपद प्रमेय का उपयोग करके, चीजों को थोड़ा आसान बनाना संभव है।

इस द्विपद प्रमेय विस्तार को लागू करते समय, घातांक मान या तो ऋणात्मक संख्या या अंश हो सकता है।

द्विपद की घातों के बीजगणितीय विस्तार को द्विपद प्रमेय या द्विपद विस्तार द्वारा वर्णित किया जाता है। इस प्रमेय में, बहुपद “ $(a+b)^{n}$ ” को “ $axzyc$ ” के रूप के पदों के योग में विस्तारित किया जा सकता है, जहाँ घातांक $z$ और $c$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं और $z+c=n$ है, और प्रत्येक पद का गुणांक एक धनात्मक पूर्णांक है जो $n$ और $b$ के मानों पर निर्भर करता है।

द्विपद प्रसार का व्यापक पद

$(x+y)^{n}$ के द्विपद विस्तार का व्यापक पद इस प्रकार है,

$T_{r+1}=^{n}C_{r}x^{n-r}y^{r}$

द्विपद विस्तार में, व्यापक पद को $T$ _r+1 द्वारा दर्शाया जाता है
पूर्ववर्ती सूत्र में दर्शाए गए पदों को ज्ञात करने के लिए व्यापक पद विस्तार का उपयोग करना आवश्यक है
द्विपद विस्तार में पदों का पता लगाने के लिए दिए गए विस्तार को विस्तारित करने की आवश्यकता है
समीकरण $(a+b)^{n}$ का द्विपद विस्तार इस प्रकार होगा:
$(a+b)^{n}=^{n}C_{0}\cdot a^{n}+^{n}C_{1}\cdot a^{n-1}\cdot b+^{n}C_{2}\cdot a^{n-2}\cdot b^{2}+...+^{n}C_{n}\cdot b^{n}$
यह $T_{1}=^{n}C_{0}\cdot a^{n}$ है जो अनुक्रम में पहला पद है
श्रृंखला में दूसरा पद $T_{2}=^{n}C_{1}\cdot a^{n-1}\cdot b$ है, और यह श्रृंखला में दूसरा पद है
श्रृंखला में तीसरा पद $T_{3}=^{n}C_{2}\cdot a^{n-2}\cdot b^{2}$ है
श्रृंखला में $n$ वाँ पद $T_{n}=^{n}C_{n}\cdot b^{n}$ है। श्रृंखला में कुल $n$ पद हैं

द्विपद विस्तार का मध्य पद

यदि $(x+y)^{n}=^{n}C_{r}x^{n-r}y^{r}$ में $(n+1)$ पद हैं, तो मध्य पद $n$ के मान पर निर्भर करता है।

द्विपद विस्तार के मध्य पद के लिए, हमारे पास दो संभावित परिदृश्य हैं:

यदि n सम है

यदि $n$ सम पूर्णांक है, तो हम इसे विषम संख्या में बदल देते हैं और $(n+1)$ को विषम मानते हैं, जिसमें $({\frac {n}{2}}+1)$ समीकरण में मध्य घटक के रूप में कार्य करता है। सरल शब्दों में, यदि $n$ विषम संख्या है, तो हम इसे सम संख्या मानते हैं।

यदि $n$ सम संख्या है, तो $(n+1)$ विषम संख्या है। मध्य शब्द का पता लगाने के लिए, निम्न कार्य करें:

उदाहरण के लिए, द्विपद विस्तार के लिए व्यापक वाक्यांश लें, जो है

$T_{{\frac {n}{2}}+1}=^{n}C_{\frac {n}{2}}\cdot x^{n-{\frac {n}{2}}}\cdot y^{\frac {n}{2}}$

अब, पूर्वगामी समीकरण में, हम मध्य पद प्राप्त करने के लिए “ $r$ ” को “ ${\frac {n}{2}}$ ” से प्रतिस्थापित करते हैं।

$T_{r+1}=T_{{\frac {n}{2}}+1}$

$T_{{\frac {n}{2}}+1}=^{n}C_{\frac {n}{2}}\cdot x^{n-{\frac {n}{2}}}\cdot y^{\frac {n}{2}}$

यदि n विषम है

मान लें कि $n$ एक विषम संख्या है, तो हम इसे सम संख्या में बदल देते हैं और $(n+1)$ को सम मानते हैं, जिसमें $(n+{\frac {1}{2}})$ और $(n+{\frac {3}{2}})(n+{\frac {1}{2}})$ और $(n+{\frac {3}{2}})$ के बीच के मध्य पद हैं। अधिकांश भाग के लिए, हम विषम संख्याओं को सम मानते हैं, जब वे सम नहीं होती हैं।

यदि $n$ एक विषम संख्या है, तो हमारे पास दो मध्य पद हैं। मध्य पद का पता लगाने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग करें:

उदाहरण के लिए, द्विपद विस्तार के लिए व्यापक वाक्यांश लें, जो है

$T_{\frac {(n-1)}{2}}=^{n}C_{\frac {(n-1)}{2}}.x^{n-{\frac {(n-1)}{2}}}\cdot y^{\frac {(n-1)}{2}}$

या,

$T_{\frac {(n+1)}{2}}=^{n}C_{\frac {(n+1)}{2}}.x^{n-{\frac {(n+1)}{2}}}\cdot y^{\frac {(n+1)}{2}}$

इस परिदृश्य में, हम “ $r$ ” को उन दो वैकल्पिक मानों से प्रतिस्थापित करते हैं जो पहले बताए गए थे।

जब हम एक पद की तुलना $(n+{\frac {1}{2}})$ पदों से करते हैं, तो हमें $(r+1)$ पद प्राप्त होते हैं।

$r+1=n+{\frac {1}{2}}$

$r=n+{\frac {1}{2}}-1$

$r=n-{\frac {1}{2}}$

जब हम $(r+1)$ की तुलना $(n+{\frac {3}{2}})$ से करते हैं, तो हमें दूसरा मध्य पद प्राप्त होता है।

$r+1=n+{\frac {3}{2}}$

$r=n+{\frac {3}{2}}-1$

$r=n+{\frac {1}{2}}$

जब $n$ विषम होता है, तो दो मध्य पद $(n-{\frac {1}{2}})$ और $(n+{\frac {1}{2}})$ होते हैं।

उदाहरण

$(x+2y)^{9}$ के विस्तार में मध्य पद ज्ञात करें।

समाधान:

दिया गया: $(x+2y)^{9}$

$(a+b)^{n}$ की तुलना में, हम पाते हैं;

$a=x,b=2y,$ और $n=9$ (विषम)

चूँकि $n$ का मान विषम है, इसलिए दो मध्य पद होंगे।

${\frac {(n+1)}{2}}={\frac {(9+1)}{2}}={\frac {10}{2}}=5$

${\frac {(n+3)}{2}}={\frac {(9+3)}{2}}={\frac {12}{2}}=6$

इस प्रकार, $5$ वाँ और $6$ वाँ पद मध्य पद हैं।

$T_{5}=T_{4+1}=^{9}C_{4}(x)^{9-4}(2y)^{4}$ {चूँकि $T_{r+1}=^{n}C_{r}a^{n-r}b^{r}$ }

$=126x^{5}(2)^{4}(y)^{4}$

$=(126\times 16)x^{5}y^{4}$

$=2016x^{5}y^{4}$

साथ ही, $T_{6}=T_{5+1}=^{9}C_{5}(x)^{9-5}(2y)^{5}$

$=126x^{4}(2)^{5}(y)^{5}$

$=(126\times 32)x^{4}y^{5}$

$=4032x^{4}y^{5}$

इसलिए, $2016x^{5}y^{4}$ और $4032x^{4}y^{5},$ $(x+2y)^{9}$ के विस्तार में मध्य पद हैं।

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 == परिचय ==
-अधिकांश भाग के लिए, द्विपद प्रमेय  <math>(x+y)^n</math> प्रकार के बीजीय व्यंजक के विस्तारित मान को निर्धारित करने में उपयोगी है।<math>(x + y)^2, (x + y)^3, (a + b + c)^2</math> का मान ज्ञात करना सरल है और इसे समीकरण में दिखाई देने वाली संख्या से घातांक मान को बीजगणितीय रूप से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है। हालाँकि, <math>(x+y)</math><sup>17</sup> या बड़े घातांकीय मानों वाले अन्य समान व्यंजकों के विस्तारित रूप की गणना करने के लिए बहुत अधिक गणना की आवश्यकता होती है। द्विपद प्रमेय का उपयोग करके, चीजों को थोड़ा आसान बनाना संभव है।
+अधिकांश भाग के लिए, [[द्विपद]] प्रमेय  <math>(x+y)^n</math> प्रकार के बीजीय व्यंजक के विस्तारित मान को निर्धारित करने में उपयोगी है।<math>(x + y)^2, (x + y)^3, (a + b + c)^2</math> का मान ज्ञात करना सरल है और इसे समीकरण में दिखाई देने वाली संख्या से घातांक मान को बीजगणितीय रूप से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है। हालाँकि, <math>(x+y)^{17}</math> या बड़े घातांकीय मानों वाले अन्य समान व्यंजकों के विस्तारित रूप की गणना करने के लिए बहुत अधिक गणना की आवश्यकता होती है। द्विपद प्रमेय का उपयोग करके, चीजों को थोड़ा आसान बनाना संभव है।
 इस द्विपद प्रमेय विस्तार को लागू करते समय, घातांक मान या तो ऋणात्मक संख्या या अंश हो सकता है।
-द्विपद की घातों के बीजगणितीय विस्तार को द्विपद प्रमेय या द्विपद विस्तार द्वारा वर्णित किया जाता है। इस प्रमेय में, बहुपद “<math>(a+b)^n</math>” को “<math>axzyc</math>” के रूप के पदों के योग में विस्तारित किया जा सकता है, जहाँ घातांक <math>z</math> और <math>c</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं और <math>z + c = n</math> है, और प्रत्येक पद का गुणांक एक धनात्मक पूर्णांक है जो <math>n</math> और <math>b</math> के मानों पर निर्भर करता है।
+द्विपद की घातों के बीजगणितीय विस्तार को द्विपद प्रमेय या द्विपद विस्तार द्वारा वर्णित किया जाता है। इस प्रमेय में, बहुपद “<math>(a+b)^n</math>” को “<math>axzyc</math>” के रूप के पदों के योग में विस्तारित किया जा सकता है, जहाँ घातांक <math>z</math> और <math>c</math> गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक]] हैं और <math>z + c = n</math> है, और प्रत्येक पद का गुणांक एक धनात्मक पूर्णांक है जो <math>n</math> और <math>b</math> के मानों पर निर्भर करता है।
-== द्विपद प्रसार का सामान्य पद ==
+== द्विपद प्रसार का व्यापक पद ==
-<math>(x+y)^n</math> के द्विपद विस्तार का सामान्य पद इस प्रकार है,
+<math>(x+y)^n</math> के द्विपद विस्तार का व्यापक पद इस प्रकार है,
-<math>T</math><sub>r+1</sub> <math>= ^nC_r </math><math>x</math><sup>n-r</sup><math>y^r</math>
+<math>T_{r+1}=^nC_r x^{n-r}y^r  </math>
-* द्विपद विस्तार में, सामान्य पद को <math>T</math><sub>r+1</sub> द्वारा दर्शाया जाता है
+* द्विपद विस्तार में, व्यापक पद को <math>T</math><sub>r+1</sub> द्वारा दर्शाया जाता है
-* पूर्ववर्ती सूत्र में दर्शाए गए पदों को ज्ञात करने के लिए सामान्य पद विस्तार का उपयोग करना आवश्यक है
+* पूर्ववर्ती सूत्र में दर्शाए गए पदों को ज्ञात करने के लिए व्यापक पद विस्तार का उपयोग करना आवश्यक है
 * द्विपद विस्तार में पदों का पता लगाने के लिए दिए गए विस्तार को विस्तारित करने की आवश्यकता है
 * समीकरण <math>(a+b)^n</math> का द्विपद विस्तार इस प्रकार होगा:
-* <math>(a+b)^n = ^nC_0\cdot a^n + ^nC_1\cdot a</math><sup>n-1</sup><math>\cdot b + ^nC_2\cdot a</math><sup>n-2</sup><math>\cdot b^2 +...+ ^nC_n \cdot b^n </math>
+* <math>(a+b)^n = ^nC_0\cdot a^n + ^nC_1\cdot a^{n-1}\cdot b + ^nC_2\cdot a^{n-2}\cdot b^2 +...+ ^nC_n \cdot b^n </math>
 * यह  <math>T_1= ^nC_0\cdot a^n</math> है जो अनुक्रम में पहला पद है
-* श्रृंखला में दूसरा पद  <math>T_2=^nC_1\cdot a</math><sup>n-1</sup><math>\cdot b </math> है, और यह श्रृंखला में दूसरा पद है
+* श्रृंखला में दूसरा पद  <math>T_2=^nC_1\cdot a^{n-1}\cdot b</math> है, और यह श्रृंखला में दूसरा पद है
-* श्रृंखला में तीसरा पद  <math>T_3=^nC_2\cdot a</math><sup>n-2</sup><math>\cdot b^2</math> है
+* श्रृंखला में तीसरा पद  <math>T_3=^nC_2\cdot a^{n-2}\cdot b^2</math> है
 * श्रृंखला में <math>n</math>वाँ पद  <math>T_n= ^nC_n\cdot b^n</math> है। श्रृंखला में कुल <math>n</math> पद हैं
 == द्विपद विस्तार का मध्य पद ==
-यदि  <math>(x + y)^n = ^nC_r.x</math><sup>n-r</sup> <math>.y^r</math>    में <math>(n+1)</math> पद हैं, तो मध्य पद <math>n</math> के मान पर निर्भर करता है।
+यदि  <math>(x + y)^n = ^nC_r x^{n-r}y^r  </math> में <math>(n+1)</math> पद हैं, तो मध्य पद <math>n</math> के मान पर निर्भर करता है।
 द्विपद विस्तार के मध्य पद के लिए, हमारे पास दो संभावित परिदृश्य हैं:
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 यदि <math>n</math> सम संख्या है, तो <math>(n+1)</math> विषम संख्या है। मध्य शब्द का पता लगाने के लिए, निम्न कार्य करें:
-'''उदाहरण''' के लिए, द्विपद विस्तार के लिए सामान्य वाक्यांश लें, जो है
+'''उदाहरण''' के लिए, द्विपद विस्तार के लिए व्यापक वाक्यांश लें, जो है
-<math>T_\frac{n}{2}</math><sub>+1</sub><math>= ^nC_\frac{n}{2} \cdot x^n </math><sup>-n/2</sup><math>\cdot y^\frac{n}{2}</math>
+<math>T_ {\frac{n}{2}+1}= ^nC_\frac{n}{2} \cdot x^{n-\frac{n}{2}}\cdot y^\frac{n}{2} </math>
 अब, पूर्वगामी समीकरण में, हम मध्य पद प्राप्त करने के लिए “<math>r</math>” को “<math>\frac{n}{2}</math>” से प्रतिस्थापित करते हैं।
-<math>T</math><sub>r+1</sub> <math>=T_\frac{n}{2}</math><sub>+1</sub>
+<math>T_{r+1}=T_{\frac{n}{2}+1}</math>
-<math>T_\frac{n}{2}</math><sub>+1</sub><math>= ^nC_\frac{n}{2} \cdot x^n </math><sup>-n/2</sup><math>\cdot y^\frac{n}{2}</math>
+<math>T_ {\frac{n}{2}+1}= ^nC_\frac{n}{2} \cdot x^{n-\frac{n}{2}}\cdot y^\frac{n}{2} </math>
 === यदि n विषम है ===
-मान लें कि n एक विषम संख्या है, तो हम इसे सम संख्या में बदल देते हैं और (n + 1) को सम मानते हैं, जिसमें (n + 1/2) और (n + 3/2) (n + 1/2) और (n + 3/2) के बीच के मध्य पद हैं। अधिकांश भाग के लिए, हम विषम संख्याओं को सम मानते हैं, जब वे सम नहीं होती हैं।
+मान लें कि <math>n</math> एक विषम संख्या है, तो हम इसे सम संख्या में बदल देते हैं और <math>(n+1)</math> को सम मानते हैं, जिसमें <math>(n + \frac{1}{2})</math>और <math>(n + \frac{3}{2})(n + \frac{1}{2})</math> और  <math>(n + \frac{3}{2})</math>के बीच के मध्य पद हैं। अधिकांश भाग के लिए, हम विषम संख्याओं को सम मानते हैं, जब वे सम नहीं होती हैं।
-यदि n एक विषम संख्या है, तो हमारे पास दो मध्य पद हैं। मध्य पद का पता लगाने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग करें:
+यदि <math>n</math> एक विषम संख्या है, तो हमारे पास दो मध्य पद हैं। मध्य पद का पता लगाने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग करें:
-उदाहरण के लिए, द्विपद विस्तार के लिए सामान्य वाक्यांश लें, जो है
+'''उदाहरण''' के लिए, द्विपद विस्तार के लिए व्यापक वाक्यांश लें, जो है
-T(n-1) /2 = nC(n-1) /2. xn-(n-1) /2. y(n-1) /2
+<math>T_\frac{(n-1)}{2} = ^nC_\frac{(n-1)}{2} . x^{n- \frac{(n-1)}{2}}\cdot y^\frac{(n-1)}{2}</math>
 या,
-T(n+1) /2 = nC(n+1) /2. xn-(n+1) /2. y(n+1) /2
+<math>T_\frac{(n+1)}{2} = ^nC_\frac{(n+1)}{2} . x^{n- \frac{(n+1)}{2}}\cdot y^\frac{(n+1)}{2}</math>
-इस परिदृश्य में, हम “r” को उन दो वैकल्पिक मानों से प्रतिस्थापित करते हैं जो पहले बताए गए थे।
+इस परिदृश्य में, हम “<math>r</math>” को उन दो वैकल्पिक मानों से प्रतिस्थापित करते हैं जो पहले बताए गए थे।
-जब हम एक पद की तुलना (n + 1/2) पदों से करते हैं, तो हमें (r + 1) पद प्राप्त होते हैं।
+जब हम एक पद की तुलना <math>(n + \frac{1}{2})</math> पदों से करते हैं, तो हमें <math>(r+1)</math> पद प्राप्त होते हैं।
-r + 1 = n + 1/2
+<math>r +1 = n +\frac{1}{2}</math>
-r = n + 1/2 -1
+<math>r = n + \frac{1}{2} - 1</math>
-r = n -½
+<math>r = n -\frac{1}{2}</math>
-जब हम (r + 1) की तुलना (n + 3/2) से करते हैं, तो हमें दूसरा मध्य पद प्राप्त होता है।
+जब हम <math>(r+1)</math> की तुलना <math>(n + \frac{3}{2})</math> से करते हैं, तो हमें दूसरा मध्य पद प्राप्त होता है।
-r +1 = n +3/2
+<math>r +1 = n +\frac{3}{2}</math>
-r = n + 3/2 – 1
+<math>r = n + \frac{3}{2} - 1</math>
-r = n + ½
+<math>r = n +\frac{1}{2}</math>
-जब n विषम होता है, तो दो मध्य पद (n – 1/2) और (n + 1/2) होते हैं।
+जब <math>n</math> विषम होता है, तो दो मध्य पद <math>(n - \frac{1}{2})</math> और <math>(n + \frac{1}{2})</math> होते हैं।
+== उदाहरण ==
+<math>(x + 2y)^9</math> के विस्तार में मध्य पद  ज्ञात करें।
+'''समाधान''':
+दिया गया: <math>(x + 2y)^9</math>
+<math>(a+b)^n</math> की तुलना में, हम पाते हैं;
+<math>a=x,b=2y,</math> और <math>n = 9</math> (विषम)
+चूँकि <math>n</math> का मान विषम है, इसलिए दो मध्य पद होंगे।
+<math>\frac{(n + 1)}{2} = \frac{(9 + 1)}{2} = \frac{10}{2} = 5</math>
+<math>\frac{(n + 3)}{2} =\frac{(9 + 3)}{2} = \frac{12}{2} = 6</math>
+इस प्रकार, <math>5</math>वाँ और <math>6</math>वाँ पद मध्य पद हैं।
+<math>T_5=T_{4+1}=^9C_4 (x)^{9-4}(2y)^4  </math> {चूँकि <math>T_{r+1}=^nC_r a^{n-r}b^r  </math>}
+<math>= 126 x^5 (2)^4 (y)^4</math>
+<math>= (126\times16)x^5 y^4</math>
+<math>= 2016 x^5 y^4</math>
+साथ ही,  <math>T_6=T_{5+1}=^9C_5 (x)^{9-5}(2y)^5  </math>
+<math>= 126 x^4 (2)^5 (y)^5</math>
+<math>= (126\times 32) x^4 y^5</math>
+<math>= 4032 x^4 y^5</math>
+इसलिए, <math>2016 x^5 y^4</math> और <math>4032 x^4 y^5,</math> <math>(x + 2y)^9</math> के विस्तार में मध्य पद हैं।
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