अवकलज: Difference between revisions

Latest revision as of 19:12, 23 November 2024

कलन(कैलकुलस) में अवकलज एक राशि $y$ के दूसरी राशि $x$ के सापेक्ष परिवर्तन की दर है। इसे $x$ के सापेक्ष $y$ का अंतर गुणांक भी कहा जाता है। विभेदन किसी फलन का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया है। आइए जानें कि अवकलज का वास्तव में क्या अर्थ है और नियमों के साथ इसे कैसे ज्ञात करना है।

प्रथम सिद्धांत का उपयोग करके किसी फलन का अवकलज

किसी फलन का अवकलज, अवकलज की सीमा परिभाषा द्वारा प्राप्त किया जा सकता है जो $f'(x)=\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {[f(x+h)-f(x)]}{h}}$ है। इस प्रक्रिया को प्रथम सिद्धांत द्वारा विभेदन के रूप में जाना जाता है। मान लें कि $f(x)=x^{2}$ है और हम उपरोक्त अवकलज सूत्र का उपयोग करके इसका अवकलज ज्ञात करेंगे। यहाँ, $f(x+h)=(x+h)^{2}$ क्योंकि हमारे पास $f(x)=x^{2}$ है। फिर $f(x)$ का अवकलज है,

$f'(x)=\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {[(x+h)^{2}-x^{2}]}{h}}$

$=\lim _{h\to 0}{\frac {[x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}]}{h}}$

$=\lim _{h\to 0}{\frac {[2xh+h^{2}]}{h}}$

$=\lim _{h\to 0}{\frac {h(2x+h)}{h}}$

$=\lim _{h\to 0}(2x+h)$

$=2x+0$

$=2x$

इस प्रकार, $x^{2}$ का अवकलज $2x$ है। हालाँकि जटिल कार्यों के अवकलजों को ज्ञात करने के लिए इस सीमा परिभाषा का उपयोग करना कठिन हो सकता है। इस प्रकार, कुछ अवकलज सूत्र हैं (निःसंदेह, जो उपरोक्त सीमा परिभाषा से प्राप्त होते हैं) जिन्हें हम विभेदन की प्रक्रिया में आसानी से उपयोग कर सकते हैं।

कलन में अवकलज सूत्र

बीजगणितीय, लघुगणकीय / घातांकीय और त्रिकोणमितीय फलनों के तीन मूल अवकलज विभेदन के पहले सिद्धांत से प्राप्त होते हैं और मानक अवकलज सूत्रों के रूप में उपयोग किए जाते हैं। वे इस प्रकार हैं।

अवकलजों का घात नियम

उपर्युक्त उदाहरण का उपयोग करके, $x^{2}$ का अवकलज $2x$ है। इसी तरह, हम साबित कर सकते हैं कि $x^{3}$ का अवकलज $3x^{2}$ है, $x^{4}$ का अवकलज $4x^{3}$ है, और इसी तरह। घात नियम इसे सामान्यीकृत करता है और इसे ${d \over dx}(x^{n})=nx^{n-1}$ के रूप में बताया गया है।

लॉग/एक्सपोनेंशियल फलन के अवकलज

$\ln x$ का अवकलज है, ${d \over dx}(\ln x)={\frac {1}{x}}$
$\log x$ का अवकलज है, ${d \over dx}(log_{a}x)={\frac {1}{(x\ln a)}}$
e^x का अवकलज है, ${d \over dx}(e^{x})=e^{x}$
a^x का अवकलज है, ${d \over dx}(a^{x})=a^{x}\ln a$

अवकलज के मूलभूत नियम

अवकलज के मूलभूत नियम निम्नलिखित हैं। आइए हम उन पर विस्तार से चर्चा करें।

घात नियम: इस नियम के अनुसार, यदि $y=x^{n},$ तो ${dy \over dx}=nx^{n-1}$ । उदाहरण: ${d \over dx}(x^{5})=5x^{4}$ ।

योग/अंतर नियम: अवकलज प्रक्रिया को जोड़/घटाव पर वितरित किया जा सकता है। यानी, ${dy \over dx}[u\pm v]={du \over dx}\pm {dv \over dx}$ ।

गुणन नियम: अवकलज के गुणन नियम में कहा गया है कि यदि कोई फलन दो फलन का गुणनफल है, तो इसका अवकलज दूसरे फलन के अवकलज को पहले फलन से गुणा करके दूसरे फलन के अवकलज में जोड़ा जाता है। ${dy \over dx}[u\times v]=u\cdot {dv \over dx}+v\cdot {du \over dx}$ । यदि $y=x^{5}e^{x}$ , तो हमारे पास $y'=x^{5}\cdot e^{x}+e^{x}\cdot 5x^{4}=e^{x}(x^{5}+5x^{4})$ है।

भागफल नियम: अवकलजों का भागफल नियम बताता है कि ${d \over dx}({\frac {u}{v}})={\frac {(v\cdot {du \over dx}-u\cdot {dv \over dx})}{v^{2}}}$ ।

स्थिर गुणक नियम: अवकलजों का स्थिर गुणक नियम बताता है कि ${d \over dx}[c(f(x)]=c\cdot {d \over dx}f(x)$ । यानी, वह स्थिरांक जिसे किसी फलन से गुणा करने पर विभेदन प्रक्रिया से बाहर आता है. उदाहरण के लिए, ${d \over dx}(5x^{2})=5{d \over dx}(x^{2})=5(2x)=10x$ ।

स्थिर नियम: अवकलजों का स्थिर नियम बताता है कि किसी भी स्थिरांक का अवकलज $0$ होता है. यदि $y=k,$ जहाँ $k$ एक स्थिरांक है, तो ${dy \over dx}=0$ मान लीजिए $y=4,y'=0$ । यह नियम सीधे घात नियम से निकलता है।

लघुगणकीय विभेदन का उपयोग करके अवकलज ज्ञात करना

कभी-कभी, अवकलज ज्ञात करने के लिए फलन बहुत जटिल होते हैं (या) एक फलन को $y=f(x)^{g(x)}$ जैसे दूसरे फलन में बढ़ाया जा सकता है। ऐसे मामलों में, हम दोनों तरफ़ $\log$ (या) $\ln$ ले सकते हैं, $\log$ (लॉग) नियम लागू कर सकते हैं, और फिर ${dy \over dx}$ प्राप्त करने के लिए दोनों तरफ़ विभेद कर सकते हैं। इस प्रक्रिया को कलन में लघुगणकीय विभेदन के रूप में जाना जाता है।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ :

किसी फलन का अवकलज एक राशि के दूसरे पर परिवर्तन की दर है।
किसी भी सतत फलन का अवकलज जो किसी अंतराल $[a,b]$ पर अवकलनीय है, सीमाओं का उपयोग करके विभेदन के पहले सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।
यदि $f(x)$ दिया गया है, तो इसका अवकलज है, $f'(x)=\textstyle \lim _{h\to 0}\displaystyle {\frac {[f(x+h)-f(x)]}{h}}$ ।
प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत होता है, लेकिन इसका विपरीत सत्य नहीं हो सकता है।

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-कलन(कैलकुलस) में अवकलज एक राशि <math>y</math> के दूसरी राशि <math>x</math> के सापेक्ष परिवर्तन की दर है। इसे <math>x</math> के सापेक्ष <math>y</math> का अंतर गुणांक भी कहा जाता है। विभेदन किसी फलन का अवकलज   ज्ञात करने की प्रक्रिया है। आइए जानें कि कलन में अवकलज का वास्तव में क्या अर्थ है और नियमों और उदाहरणों के साथ इसे कैसे ज्ञात करना है।
+कलन(कैलकुलस) में अवकलज एक राशि <math>y</math> के दूसरी राशि <math>x</math> के सापेक्ष परिवर्तन की दर है। इसे <math>x</math> के सापेक्ष <math>y</math> का अंतर गुणांक भी कहा जाता है। विभेदन किसी फलन का अवकलज  ज्ञात करने की प्रक्रिया है। आइए जानें कि अवकलज का वास्तव में क्या अर्थ है और नियमों के साथ इसे कैसे ज्ञात करना है।
-प्रथम सिद्धांत का उपयोग करके किसी फलन का अवकलज
+== प्रथम सिद्धांत का उपयोग करके किसी फलन का अवकलज ==
+किसी [[फलन]] का अवकलज, अवकलज की सीमा परिभाषा द्वारा प्राप्त किया जा सकता है जो <math>f'(x) =\textstyle \lim_{h \to 0}\frac{[f(x + h)-f(x)]}{h}</math> है। इस प्रक्रिया को प्रथम सिद्धांत द्वारा विभेदन के रूप में जाना जाता है। मान लें कि <math>f(x) = x^2</math> है और हम उपरोक्त अवकलज सूत्र का उपयोग करके इसका अवकलज   ज्ञात करेंगे। यहाँ, <math>f(x + h) = (x + h)^2</math> क्योंकि हमारे पास <math>f(x) = x^2</math> है। फिर <math>f(x)</math> का अवकलज   है,
-किसी फ़ंक्शन का अवकलज अवकलज की सीमा परिभाषा द्वारा प्राप्त किया जा सकता है जो f'(x) = limh→0 [f(x + h) - f(x) / h है। इस प्रक्रिया को प्रथम सिद्धांत द्वारा विभेदन के रूप में जाना जाता है। मान लें कि f(x) = x2 है और हम उपरोक्त अवकलज सूत्र का उपयोग करके इसका अवकलज   ज्ञात करेंगे। यहाँ, f(x + h) = (x + h)2 क्योंकि हमारे पास f(x) = x2 है। फिर f(x) का अवकलज   है,
+<math>f'(x) =\textstyle \lim_{h \to 0}\frac{[(x + h)^2-x^2]}{h}</math>
-f '(x) = limh→0 [(x + h)2 - x2] / h
+<math>=  \lim_{h \to 0}  \frac{[ x^2 + 2xh + h^2 - x^2]}{h}</math>
-= limh→0 [ x2 + 2xh + h2 – x2] / h
+<math>=  \lim_{h \to 0}  \frac{[2xh + h^2]}{h}</math>
-= limh→0 [ 2xh + h2] / h
+<math>=  \lim_{h \to 0}  \frac{h(2x + h)}{h}</math>
-= limh→0 [ h(2x + h) ] / h
+<math>=  \lim_{h \to 0} (2x + h)</math>
-= limh→0 (2x + h)
+<math>= 2x + 0</math>
-= 2x + 0
+<math>= 2x</math>
-= 2x
+इस प्रकार, <math>x^2</math> का अवकलज  <math>2x</math> है। हालाँकि जटिल कार्यों के अवकलजों  को ज्ञात करने के लिए इस सीमा परिभाषा का उपयोग करना कठिन हो सकता है। इस प्रकार, कुछ अवकलज सूत्र हैं (निःसंदेह, जो उपरोक्त सीमा परिभाषा से प्राप्त होते हैं) जिन्हें हम विभेदन की प्रक्रिया में आसानी से उपयोग कर सकते हैं।
-इस प्रकार, x2 का अवकलज   2x है। हालाँकि जटिल कार्यों के अवकलज  ों को खोजने के लिए इस सीमा परिभाषा का उपयोग करना मुश्किल हो सकता है। इस प्रकार, कुछ अवकलज   सूत्र हैं (बेशक, जो उपरोक्त सीमा परिभाषा से प्राप्त होते हैं) जिन्हें हम विभेदन की प्रक्रिया में आसानी से उपयोग कर सकते हैं।
 == कलन में अवकलज सूत्र ==
-बीजगणितीय, लघुगणकीय / घातांकीय और त्रिकोणमितीय कार्यों के तीन मूल अवकलज   विभेदन के पहले सिद्धांत से प्राप्त होते हैं और मानक अवकलज सूत्रों के रूप में उपयोग किए जाते हैं। वे इस प्रकार हैं।
+बीजगणितीय, लघुगणकीय / घातांकीय और [[त्रिकोणमितीय फलनों की सीमाएं|त्रिकोणमितीय फलनों]] के तीन मूल अवकलज  विभेदन के पहले सिद्धांत से प्राप्त होते हैं और मानक अवकलज सूत्रों के रूप में उपयोग किए जाते हैं। वे इस प्रकार हैं।
-== अवकलजों का घात नियम ==
+=== अवकलजों का घात नियम ===
-उपर्युक्त उदाहरण का उपयोग करके, x2 का व्युत्पन्न 2x है। इसी तरह, हम साबित कर सकते हैं कि x3 का व्युत्पन्न 3x2 है, x4 का व्युत्पन्न 4x3 है, और इसी तरह। घात नियम इसे सामान्यीकृत करता है और इसे d/dx (xn) = n xn - 1 के रूप में बताया गया है।
+उपर्युक्त उदाहरण का उपयोग करके, <math>x^2</math> का अवकलज  <math>2x</math> है। इसी तरह, हम साबित कर सकते हैं कि <math>x^3</math> का अवकलज  <math>3x^2</math> है, <math>x^4 </math> का अवकलज  <math>4x^3</math> है, और इसी तरह। घात नियम इसे सामान्यीकृत करता है और इसे <math>{d \over dx}(x^n) = n x^{n-1}</math>   के रूप में बताया गया है।
-== लॉग/एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के अवकलज ==
+=== लॉग/एक्सपोनेंशियल फलन के अवकलज ===
+* <math>\ln x</math> का अवकलज  है,<math>{d \over dx} (\ln x) = \frac{1}{x}</math>
-* ln x का व्युत्पन्न है, d/dx (ln x) = 1/x
+* <math>\log x</math> का अवकलज  है, <math>{d \over dx}(log_a x) = \frac{1}{(x \ln a)}</math>
-* log x का व्युत्पन्न है, d/dx (loga x) = 1/(x ln a)
+* '''e^x''' का अवकलज  है,  <math>{d \over dx} (e^x) = e^x</math>
-* e^x का व्युत्पन्न है, d/dx (ex) = ex
+* '''a^x''' का अवकलज  है, <math>{d\over dx}(a^x) = a^x \ln a</math>
-* a^x का व्युत्पन्न है, d/dx (ax) = ax ln a
 == अवकलज के मूलभूत नियम ==
-व्युत्पन्न के मूलभूत नियम निम्नलिखित हैं। आइए हम उन पर विस्तार से चर्चा करें।
+अवकलज  के मूलभूत नियम निम्नलिखित हैं। आइए हम उन पर विस्तार से चर्चा करें।
-घात नियम: इस नियम के अनुसार, यदि y = xn, तो dy/dx = n x n-1। उदाहरण: d/dx (x5) = 5x4।
+'''घात नियम''': इस नियम के अनुसार, यदि <math>y = x^n,</math> तो <math>{dy \over dx} = n x^{n-1}</math>। उदाहरण: <math>{d \over dx} (x^5) = 5x^4</math>।
-योग/अंतर नियम: व्युत्पन्न प्रक्रिया को जोड़/घटाव पर वितरित किया जा सकता है। यानी, dy/dx [u ± v] = du/dx ± dv/dx।
+'''योग/अंतर नियम''': अवकलज  प्रक्रिया को जोड़/घटाव पर वितरित किया जा सकता है। यानी,<math>{dy \over dx} [u \pm v] = {du \over dx} \pm {dv \over dx}</math>।
-गुणन नियम: व्युत्पन्न के गुणन नियम में कहा गया है कि यदि कोई फ़ंक्शन दो फ़ंक्शन का गुणनफल है, तो इसका व्युत्पन्न दूसरे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को पहले फ़ंक्शन से गुणा करके दूसरे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न में जोड़ा जाता है। dy/dx [u × v] = u · dv/dx + v · du/dx। यदि y = x5 ex, तो हमारे पास y' = x5 है। ex + ex। 5x4 = ex (x5 + 5x4)
+'''गुणन नियम''': अवकलज  के गुणन नियम में कहा गया है कि यदि कोई फलन दो फलन का गुणनफल है, तो इसका अवकलज  दूसरे फलन के अवकलज  को पहले फलन से गुणा करके दूसरे फलन के अवकलज में जोड़ा जाता है। <math>{dy \over dx}[u \times v] = u \cdot {dv \over dx} + v \cdot {du \over dx}</math>। यदि <math>y = x^5 e^x</math>, तो हमारे पास <math>y' = x^5 \cdot e^x +e^x\cdot 5x^4=e^x(x^5+5x^4)</math> है।
-भागफल नियम: व्युत्पन्नों का भागफल नियम बताता है कि d/dx (u/v) = (v · du/dx - u · dv/dx)/ v2
+'''भागफल नियम''': अवकलजों का भागफल नियम बताता है कि <math>{d \over dx} (\frac{u}{v}) = \frac{(v \cdot {du \over dx} - u \cdot {dv \over dx})}{v^2}</math> ।
-स्थिर गुणक नियम: व्युत्पन्नों का स्थिर गुणक नियम बताता है कि d/dx [c(f(x)] = c · d/dx f(x). यानी, वह स्थिरांक जिसे किसी फ़ंक्शन से गुणा करने पर विभेदन प्रक्रिया से बाहर आता है. उदाहरण के लिए, d/dx (5x2) = 5 d/dx (x2) = 5(2x) = 10 x.
+'''स्थिर गुणक नियम''': अवकलजों का स्थिर गुणक नियम बताता है कि <math>{d \over dx} [c(f(x)] = c \cdot {d \over dx}f(x)</math>। यानी, वह स्थिरांक जिसे किसी फलन से गुणा करने पर विभेदन प्रक्रिया से बाहर आता है. उदाहरण के लिए, <math>{d\over dx}(5x^2) = 5 {d\over dx}(x^2) = 5(2x) = 10 x</math> ।
-स्थिर नियम: व्युत्पन्नों का स्थिर नियम बताता है कि किसी भी स्थिरांक का व्युत्पन्न 0 होता है. यदि y = k, जहाँ k एक स्थिरांक है, तो dy/dx = 0. मान लीजिए y = 4, y' = 0. यह नियम सीधे घात नियम से निकलता है.
+'''स्थिर नियम''': अवकलजों का स्थिर नियम बताता है कि किसी भी स्थिरांक का अवकलज <math>0 </math> होता है. यदि <math>y = k,</math> जहाँ <math>k</math> एक स्थिरांक है, तो  <math>{dy \over dx} = 0</math> मान लीजिए <math>y = 4, y' = 0</math> । यह नियम सीधे घात नियम से निकलता है।
 == लघुगणकीय विभेदन का उपयोग करके अवकलज ज्ञात करना ==
-कभी-कभी, व्युत्पन्न ज्ञात करने के लिए फ़ंक्शन बहुत जटिल होते हैं (या) एक फ़ंक्शन को y = f(x)g(x) जैसे दूसरे फ़ंक्शन में बढ़ाया जा सकता है। ऐसे मामलों में, हम दोनों तरफ़ लॉग (या) ln ले सकते हैं, लॉग नियम लागू कर सकते हैं, और फिर dy/dx प्राप्त करने के लिए दोनों तरफ़ विभेद कर सकते हैं। इस प्रक्रिया को कलन में लघुगणकीय विभेदन के रूप में जाना जाता है।
+कभी-कभी, अवकलज  ज्ञात करने के लिए फलन बहुत जटिल होते हैं (या) एक फलन को <math>y = f(x)^{g(x)}</math> जैसे दूसरे फलन में बढ़ाया जा सकता है। ऐसे मामलों में, हम दोनों तरफ़ <math>\log</math> (या) <math>\ln</math> ले सकते हैं, <math>\log</math>(लॉग) नियम लागू कर सकते हैं, और फिर <math>{dy \over dx}</math> प्राप्त करने के लिए दोनों तरफ़ विभेद कर सकते हैं। इस प्रक्रिया को कलन में लघुगणकीय विभेदन के रूप में जाना जाता है।
 == महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ : ==
-किसी फ़ंक्शन का डेरिवेटिव एक राशि के दूसरे पर परिवर्तन की दर है।
-किसी भी सतत फ़ंक्शन का डेरिवेटिव जो किसी अंतराल [a, b] पर अवकलनीय है, सीमाओं का उपयोग करके विभेदन के पहले सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।
-यदि f(x) दिया गया है, तो इसका डेरिवेटिव है, f'(x) = limh→0 [f(x + h) - f(x) / h.
+* किसी फलन का अवकलज एक राशि के दूसरे पर परिवर्तन की दर है।
+* किसी भी सतत फलन का अवकलज जो किसी अंतराल <math>[a, b]</math> पर अवकलनीय है, सीमाओं का उपयोग करके विभेदन के पहले सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।
+* यदि <math>f(x)</math> दिया गया है, तो इसका अवकलज है,<math>f'(x) = \textstyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{[f(x + h)- f(x) ]}{h}</math> ।
+* प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत होता है, लेकिन इसका विपरीत सत्य नहीं हो सकता है।
-प्रत्येक अवकलनीय फ़ंक्शन सतत होता है, लेकिन इसका विपरीत सत्य नहीं हो सकता है।
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