यादृच्छिक परीक्षण: Difference between revisions

Latest revision as of 09:54, 25 November 2024

यादृच्छिक प्रयोग एक प्रकार का प्रयोग है जिसके कई संभावित परिणाम होते हैं। इस तरह के प्रयोग को कई बार दोहराया जा सकता है। संभाव्यता सिद्धांत में, एक बार यादृच्छिक प्रयोग कई बार किए जाने के बाद विभिन्न परिणामों की प्रयोगात्मक संभावनाओं की गणना की जा सकती है। यादृच्छिक प्रयोग का एक उदाहरण बर्नौली परीक्षण है जिसमें बिल्कुल दो संभावित परिणाम होते हैं। यादृच्छिक प्रयोग के किसी भी परिणाम की भविष्यवाणी तब तक नहीं की जा सकती जब तक कि प्रयोग नहीं किया जाता। इस लेख में, हम यादृच्छिक प्रयोग, इसकी परिभाषा और संबंधित उदाहरणों के बारे में अधिक जानेंगे।

यादृच्छिक प्रयोग संभाव्यता सिद्धांत का एक बहुत ही महत्वपूर्ण भाग है। ऐसा इसलिए है क्योंकि संभाव्यता सिद्धांत इस धारणा पर आधारित है कि एक प्रयोग यादृच्छिक होता है और एक ही स्थिति में इसे कई बार दोहराया जा सकता है। संभाव्यता में एक प्रयोग में एक नमूना स्थान, घटनाओं का एक समुच्चय और साथ ही उन घटनाओं के घटित होने की संभावनाएँ होंगी।

परिभाषा

यादृच्छिक प्रयोगों को ऐसे प्रयोगों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिन्हें एक ही परिस्थितियों में कई बार किया जा सकता है और उनके परिणाम की पूरी निश्चितता के साथ भविष्यवाणी नहीं की जा सकती। दूसरे शब्दों में, एक यादृच्छिक प्रयोग में, सभी संभावित परिणाम ज्ञात होते हैं, हालाँकि, इसके सटीक परिणाम की पहले से सटीक भविष्यवाणी नहीं की जा सकती। यादृच्छिक प्रयोगों से जुड़े कुछ शब्द हैं जो इस प्रकार दिए गए हैं:

नमूना स्थान: एक नमूना स्थान को यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभावित परिणामों की सूची के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
परिणाम: एक परिणाम यादृच्छिक प्रयोग का एक संभावित परिणाम है।
घटना: एक घटना एक प्रयोग का संभावित परिणाम है और नमूना स्थान का एक उपसमूह बनाती है।
परीक्षण: जब एक यादृच्छिक प्रयोग कई बार दोहराया जाता है तो प्रत्येक को परीक्षण के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण

मान लीजिए कि एक सिक्का उछाला जाता है। इसके दो संभावित परिणाम हैं: चित या पट आना। इस प्रयोग के परिणाम की भविष्यवाणी इसके प्रदर्शन से पहले नहीं की जा सकती। इसके अलावा, इसे एक ही परिस्थितियों में कई बार आयोजित किया जा सकता है। इस प्रकार, सिक्का उछालना एक यादृच्छिक प्रयोग का उदाहरण है।

एक और यादृच्छिक प्रयोग का उदाहरण एक पासा उछालना है। इसके 6 संभावित परिणाम हो सकते हैं $\{1,2,3,4,5,6\}$ । हालाँकि, किसी भी परिणाम की सटीक भविष्यवाणी नहीं की जा सकती।

यादृच्छिक प्रयोगों की प्रायिकता कैसे ज्ञात करें?

प्रायिकता को यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम की प्रायिकता के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र अनुकूल परिणामों की संख्या को उस यादृच्छिक प्रयोग के संभावित परिणामों की कुल संख्या से विभाजित करके दिया जाता है। मान लीजिए कि एक निष्पक्ष सिक्के को दो बार उछालने पर ठीक दो सिर आने की प्रायिकता निर्धारित की जानी है।

प्रायिकता ज्ञात करने के चरण इस प्रकार हैं:

चरण 1: यादृच्छिक प्रयोग का नमूना स्थान या परिणामों की कुल संख्या निर्धारित करें। दो बार उछाले गए सिक्के का नमूना स्थान $\{HH,HT,TH,TT\}$ के रूप में दिया गया है। इस प्रकार, परिणामों की कुल संख्या 4 है।

चरण 2: अनुकूल परिणामों की संख्या ज्ञात करें। चूँकि ठीक दो सिर आने की प्रायिकता निर्धारित की जानी है, इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या 1 है।

चरण 3: प्रायिकता सूत्र लागू करें। इस प्रकार, दो सिर आने की प्रायिकता ${\frac {1}{4}}$ या $0.25$ है।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

यादृच्छिक प्रयोग वह प्रयोग है जिसके परिणाम की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती।
एक यादृच्छिक प्रयोग एक ही स्थिति में कई बार किया जा सकता है।
यादृच्छिक प्रयोग की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या द्वारा दी जा सकती है।

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-यादृच्छिक प्रयोग एक प्रकार का प्रयोग है जिसके कई संभावित परिणाम होते हैं। इस तरह के प्रयोग को कई बार दोहराया जा सकता है। संभाव्यता सिद्धांत में, एक बार यादृच्छिक प्रयोग कई बार किए जाने के बाद विभिन्न परिणामों की प्रयोगात्मक संभावनाओं की गणना की जा सकती है। यादृच्छिक प्रयोग का एक उदाहरण बर्नौली परीक्षण है जिसमें बिल्कुल दो संभावित परिणाम होते हैं। यादृच्छिक प्रयोग के किसी भी परिणाम की भविष्यवाणी तब तक नहीं की जा सकती जब तक कि प्रयोग नहीं किया जाता। इस लेख में, हम यादृच्छिक प्रयोग, इसकी परिभाषा और विभिन्न संबंधित उदाहरणों के बारे में अधिक जानेंगे।
+यादृच्छिक प्रयोग एक प्रकार का प्रयोग है जिसके कई संभावित परिणाम होते हैं। इस तरह के प्रयोग को कई बार दोहराया जा सकता है। संभाव्यता सिद्धांत में, एक बार यादृच्छिक प्रयोग कई बार किए जाने के बाद विभिन्न परिणामों की प्रयोगात्मक संभावनाओं की गणना की जा सकती है। यादृच्छिक प्रयोग का एक उदाहरण बर्नौली परीक्षण है जिसमें बिल्कुल दो संभावित परिणाम होते हैं। यादृच्छिक प्रयोग के किसी भी परिणाम की भविष्यवाणी तब तक नहीं की जा सकती जब तक कि प्रयोग नहीं किया जाता। इस लेख में, हम यादृच्छिक प्रयोग, इसकी परिभाषा और संबंधित उदाहरणों के बारे में अधिक जानेंगे।
-यादृच्छिक प्रयोग संभाव्यता सिद्धांत का एक बहुत ही महत्वपूर्ण हिस्सा है। ऐसा इसलिए है क्योंकि संभाव्यता सिद्धांत इस धारणा पर आधारित है कि एक प्रयोग यादृच्छिक होता है और एक ही स्थिति में इसे कई बार दोहराया जा सकता है। संभाव्यता में एक प्रयोग में एक नमूना स्थान, घटनाओं का एक सेट और साथ ही उन घटनाओं के घटित होने की संभावनाएँ होंगी।
+यादृच्छिक प्रयोग संभाव्यता सिद्धांत का एक बहुत ही महत्वपूर्ण भाग है। ऐसा इसलिए है क्योंकि संभाव्यता सिद्धांत इस धारणा पर आधारित है कि एक प्रयोग यादृच्छिक होता है और एक ही स्थिति में इसे कई बार दोहराया जा सकता है। संभाव्यता में एक प्रयोग में एक नमूना स्थान, घटनाओं का एक समुच्चय और साथ ही उन [[सरल घटना|घटनाओं]] के घटित होने की संभावनाएँ होंगी।
 == परिभाषा ==
 यादृच्छिक प्रयोगों को ऐसे प्रयोगों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिन्हें एक ही परिस्थितियों में कई बार किया जा सकता है और उनके परिणाम की पूरी निश्चितता के साथ भविष्यवाणी नहीं की जा सकती। दूसरे शब्दों में, एक यादृच्छिक प्रयोग में, सभी संभावित परिणाम ज्ञात होते हैं, हालाँकि, इसके सटीक परिणाम की पहले से सटीक भविष्यवाणी नहीं की जा सकती। यादृच्छिक प्रयोगों से जुड़े कुछ शब्द हैं जो इस प्रकार दिए गए हैं:
-* नमूना स्थान: एक नमूना स्थान को यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभावित परिणामों की सूची के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
+* '''नमूना स्थान''': एक नमूना स्थान को यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभावित परिणामों की सूची के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
-* परिणाम: एक परिणाम यादृच्छिक प्रयोग का एक संभावित परिणाम है।
+* '''परिणाम''': एक परिणाम यादृच्छिक प्रयोग का एक संभावित परिणाम है।
-* घटना: एक घटना एक प्रयोग का संभावित परिणाम है और नमूना स्थान का एक उपसमूह बनाती है।
+* '''घटना''': एक घटना एक प्रयोग का संभावित परिणाम है और नमूना स्थान का एक उपसमूह बनाती है।
-* परीक्षण: जब एक यादृच्छिक प्रयोग कई बार दोहराया जाता है तो प्रत्येक को परीक्षण के रूप में जाना जाता है।
+* '''परीक्षण''': जब एक यादृच्छिक प्रयोग कई बार दोहराया जाता है तो प्रत्येक को परीक्षण के रूप में जाना जाता है।
 == उदाहरण ==
 मान लीजिए कि एक सिक्का उछाला जाता है। इसके दो संभावित परिणाम हैं: चित या पट आना। इस प्रयोग के परिणाम की भविष्यवाणी इसके प्रदर्शन से पहले नहीं की जा सकती। इसके अलावा, इसे एक ही परिस्थितियों में कई बार आयोजित किया जा सकता है। इस प्रकार, सिक्का उछालना एक यादृच्छिक प्रयोग का उदाहरण है।
-एक और यादृच्छिक प्रयोग का उदाहरण एक पासा उछालना है। इसके 6 संभावित परिणाम हो सकते हैं {1, 2, 3, 4, 5, 6}। हालाँकि, किसी भी परिणाम की सटीक भविष्यवाणी नहीं की जा सकती।
+एक और यादृच्छिक प्रयोग का उदाहरण एक पासा उछालना है। इसके 6 संभावित परिणाम हो सकते हैं <math>\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math>। हालाँकि, किसी भी परिणाम की सटीक भविष्यवाणी नहीं की जा सकती।
-== यादृच्छिक प्रयोगों की संभावना कैसे ज्ञात करें? ==
+== यादृच्छिक प्रयोगों की प्रायिकता कैसे ज्ञात करें? ==
-संभावना को यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम की संभावना के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। संभावना ज्ञात करने का सूत्र अनुकूल परिणामों की संख्या को उस यादृच्छिक प्रयोग के संभावित परिणामों की कुल संख्या से विभाजित करके दिया जाता है। मान लीजिए कि एक निष्पक्ष सिक्के को दो बार उछालने पर ठीक दो सिर आने की संभावना निर्धारित की जानी है। संभावना ज्ञात करने के चरण इस प्रकार हैं:
+प्रायिकता को यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम की प्रायिकता के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र अनुकूल परिणामों की संख्या को उस यादृच्छिक प्रयोग के संभावित परिणामों की कुल संख्या से विभाजित करके दिया जाता है। मान लीजिए कि एक निष्पक्ष सिक्के को दो बार उछालने पर ठीक दो सिर आने की प्रायिकता निर्धारित की जानी है।
-चरण 1: यादृच्छिक प्रयोग का नमूना स्थान या परिणामों की कुल संख्या निर्धारित करें। दो बार उछाले गए सिक्के का नमूना स्थान {HH, HT, TH, TT} के रूप में दिया गया है। इस प्रकार, परिणामों की कुल संख्या 4 है।
+प्रायिकता ज्ञात करने के चरण इस प्रकार हैं:
-चरण 2: अनुकूल परिणामों की संख्या ज्ञात करें। चूँकि ठीक दो सिर आने की संभावना निर्धारित की जानी है, इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या 1 है।
+चरण 1: यादृच्छिक प्रयोग का नमूना स्थान या परिणामों की कुल संख्या निर्धारित करें। दो बार उछाले गए सिक्के का नमूना स्थान <math>\{HH, HT, TH, TT\}</math>के रूप में दिया गया है। इस प्रकार, परिणामों की कुल संख्या 4 है।
-चरण 3: संभावना सूत्र लागू करें। इस प्रकार, दो सिर आने की संभावना 1/4 या 0.25 है।
+चरण 2: अनुकूल परिणामों की संख्या ज्ञात करें। चूँकि ठीक दो सिर आने की प्रायिकता निर्धारित की जानी है, इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या 1 है।
+चरण 3: प्रायिकता सूत्र लागू करें। इस प्रकार, दो सिर आने की प्रायिकता <math>\frac{1}{4}</math> या <math>0.25</math> है।
 == महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
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 * यादृच्छिक प्रयोग वह प्रयोग है जिसके परिणाम की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती।
 * एक यादृच्छिक प्रयोग एक ही स्थिति में कई बार किया जा सकता है।
-* यादृच्छिक प्रयोग की संभावना अनुकूल परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या द्वारा दी जा सकती है।
+* यादृच्छिक प्रयोग की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या द्वारा दी जा सकती है।
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