आधारभूत संकल्पनाएँ: Difference between revisions

Latest revision as of 19:47, 27 November 2024

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन, आर्कस फलन या प्रति त्रिकोणमितीय फलन होते हैं। ये त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलन हैं, जिनके प्रांत(डोमेन) उपयुक्त रूप से सीमित होते हैं। यहाँ, हम साइन, कोसाइन, टैन्जन्ट , कोटैन्जन्ट , सेकेंट और कोसेकेंट फलनों के लिए प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्रों का अध्ययन करेंगे।

परिचय

गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, त्रिकोणमिति कहलाती है।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलनों से संबंधित है। इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन, प्रतिलोम कोटैंजेंट, प्रतिलोम कोसेकेंट, प्रतिलोम साइन, प्रतिलोम स्पर्शज्या, प्रतिलोम सेकेंट और प्रतिलोम कोसाइन हैं।

जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग साधारणतः भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय विरोधी फलन या आर्कस फलन भी कहा जाता है।

चित्र प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्र

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलन होते हैं जिन्हें $cos^{-1}x,sin^{-1}x,tan^{-1}x,cot^{-1}x,cosec^{-1}x,sec^{-1}x$ के रूप में लिखा जाता है।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन बहु-मूल्यवान होते हैं। उदाहरण के लिए, $\omega$ के कई मान ऐसे हैं कि $z=sin\omega$ , इसलिए $sin^{-1}z$ तब तक विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता जब तक कि कोई मुख्य मान परिभाषित न हो। ऐसे मुख्य मानों को कभी-कभी बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है, इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रतिलोम साइन के मुख्य मान को $sin^{-1}z$ या $arc(sinz)$ ) के रूप में विभिन्न रूप से दर्शाया जा सकता है।

मान लीजिए, यदि $y=sinx,$ तो $x=sin^{-1}y$ , इसी तरह अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए भी। यह प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्रों में से एक है। अब, $y=sin^{-1}(x)$ $,y\in [{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$ और $x\in [-1,1]$ ।

इस प्रकार, दिए गए $x\in [-1,1]$ के लिए $sin^{-1}x$ के अनंत मान हैं।

इन मानों में से केवल एक मान है जो अंतराल $[{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$ में स्थित है। इस मान को मुख्य मान कहा जाता है।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

जबकि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल छह गुण हैं, फिर भी कुछ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय पहचान और प्रतिलोम त्रिकोणमिति सूत्र हैं जिन्हें अनदेखा कर दिया गया है। इसलिए, निम्नलिखित सूची में कुछ और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं-

$2cos^{-1}x=cos^{-1}(2\times 2-1)$
$2sin^{-1}x=sin^{-1}2x{\sqrt {(1-x^{2})}}$
$3sin^{-1}x=sin^{-1}(3x-4\times 3)$
$3cos^{-1}x=cos^{-1}(4\times 3-3x)$
$3tan^{-1}x=tan^{-1}((3x-x3/1-3\times 2))$
$sin^{-1}x+sin^{-1}y=sin^{-1}{x{\sqrt {(1-y^{2})}}+y{\sqrt {(1-x^{2})}}}$
$sin^{-1}x-sin^{-1}y=sin^{-1}{x{\sqrt {(1-y^{2})}}-y{\sqrt {(1-x^{2})}}}$
$cos^{-1}x+cos^{-1}y=cos^{-1}[xy-{\sqrt {(1-x^{2})(1-y^{2})}}]$
$cos^{-1}x-cos^{-1}y=cos^{-1}[xy+{\sqrt {(1-x^{2})(1-y^{2})}}]$
$tan^{-1}x+tan^{-1}y=tan^{-1}(x+y/1-xy)$
$tan^{-1}x-tan^{-1}y=tan^{-1}(x-y/1+xy)$
$tan^{-1}x+tan^{-1}y+tan^{-1}z=tan^{-1}{\frac {(x+y+z-xyz)}{(1-xy-yz-zx)}}$

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन परिसर और प्रांत तालिका

फलन	परिसर	प्रांत
y = sin-1 x	-2 , 2	-1, 1
y = cos-1 x	0, π	-1, 1
y = cosec-1 x	-2 , 2	R – (-1, 1)
y = sec-1 x	0, π- 2	R – (-1, 1)
y = tan-1 x	-2 , 2	R
y = cot-1 x	0, π	R

उदाहरण

प्रश्न 1 $6sin^{-1}1$ का मान

उत्तर: मान लीजिए $A=sin^{-1}1,$ तो $sinA=1$

चूँकि $sin{\frac {\pi }{2}}=1,$

$6sin^{-1}1=6\times {\frac {\pi }{2}}$

$6sin^{-1}1=3\pi$

प्रश्न 2 $tan^{-1}(1.1106)$ का मान ज्ञात करें।

उत्तर: मान लें $A=tan^{-1}(1.1106)$

तो, $tanA=1.1106$

$A=48^{\circ }$

$tan48=1.1106$

[डिग्री मोड में कैलकुलेटर का उपयोग करें]

$tan^{-1}(1.1106)=48^{\circ }$

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

नीचे दिए गए कुछ सुझाव प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के विभिन्न सूत्रों को हल करने और लागू करने में सहायक होंगे।

$sin^{-1}(sinx)=x,$ जब $-1\leq x\leq 1$ (अधिक जानकारी के लिए, यहाँ क्लिक करें)
$sin(sin^{-1}x)=x,$ जब ${\frac {-\pi }{2}}\leq x\leq {\frac {\pi }{2}}$
$sin^{-1}x$ , $(sinx)^{-1}$ से अलग है। साथ ही, $(sinx)^{-1}={\frac {1}{sinx}}$
$sin^{-1}x=\theta$ और $\theta$ कोण को संदर्भित करता है, जो इस प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का मुख्य मान है।

@@ Line 1: / Line 1: @@
-व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की मूल अवधारणाएँ
+प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन, आर्कस फलन या प्रति त्रिकोणमितीय फलन होते हैं। ये त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलन हैं, जिनके प्रांत(डोमेन) उपयुक्त रूप से सीमित होते हैं। यहाँ, हम साइन, कोसाइन, टैन्जन्ट , कोटैन्जन्ट , सेकेंट और कोसेकेंट फलनों के लिए प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्रों का अध्ययन करेंगे।
+== परिचय ==
 गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, त्रिकोणमिति कहलाती है।
-व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्क्रम फलनों से संबंधित है। इसलिए, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन व्युत्क्रम कोटैंजेंट, व्युत्क्रम कोसेकेंट, व्युत्क्रम साइन, व्युत्क्रम स्पर्शज्या, व्युत्क्रम सेकेंट और व्युत्क्रम कोसाइन हैं।
+[[प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म|प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों]] की अवधारणा त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलनों से संबंधित है। इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन, प्रतिलोम कोटैंजेंट, प्रतिलोम कोसेकेंट, प्रतिलोम साइन, प्रतिलोम स्पर्शज्या, प्रतिलोम सेकेंट और प्रतिलोम कोसाइन हैं।
-जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं।
+जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं।
-व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग आम तौर पर भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है।
+प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग साधारणतः  भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है।
-व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय विरोधी फलन या आर्कस फलन भी कहा जाता है।
+प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय विरोधी फलन या आर्कस फलन भी कहा जाता है।
+[[File:प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन.jpg|thumb|चित्र प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन]]
-व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के गुण
+== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्र ==
+प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलन होते हैं जिन्हें   <math>cos^{-1} x, sin^{-1} x, tan^{-1} x, cot^{-1} x, cosec^{-1} x, sec^{-1} x</math>  के रूप में लिखा जाता है।
-निम्नलिखित व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय पहचानों और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सूत्रों की सूची है।
+प्रतिलोम [[त्रिकोणमितीय फलन]] बहु-मूल्यवान होते हैं। उदाहरण के लिए, <math>\omega</math> के कई मान ऐसे हैं कि <math> z = sin \omega</math>, इसलिए <math>sin ^{-1 }z </math> तब तक विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता जब तक कि कोई मुख्य मान परिभाषित न हो। ऐसे मुख्य मानों को कभी-कभी बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है, इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रतिलोम साइन के मुख्य मान को <math>sin ^{-1 }z </math> या <math>arc(sin z)</math>) के रूप में विभिन्न रूप से दर्शाया जा सकता है।
-व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का पहला गुण-
-sin-1 1x = cosec-1 x, बशर्ते x या तो -1 से बड़ा या बराबर हो और -1 से छोटा या बराबर हो।
-cos-1 1x = sec-1 x, बशर्ते x या तो -1 से बड़ा या बराबर हो और -1 से छोटा या बराबर हो।
-tan -1 1x = = cot-1 x, बशर्ते x या तो शून्य से बड़ा हो।
+मान लीजिए, यदि <math>y = sin x,</math> तो <math>x = sin^{-1} y</math>, इसी तरह अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए भी। यह प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्रों में से एक है। अब,<math>y = sin^{-1} (x) </math> <math>, y \in[\frac{\pi}{2 },\frac{\pi}{2 }] </math> और <math>x \in [-1,1] </math>।
-अब, आइए पहला गुण सिद्ध करें।
+इस प्रकार, दिए गए <math>x \in [-1,1] </math> के लिए <math> sin^{-1} x  </math> के अनंत मान हैं।
-माना sec-1 x = y.
+इन मानों में से केवल एक मान है जो अंतराल <math>[\frac{\pi}{2 },\frac{\pi}{2 }]  </math> में स्थित है। इस मान को मुख्य मान कहा जाता है।
-इसलिए, x = sec y,
+== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ ==
+जबकि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल छह गुण हैं, फिर भी कुछ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय पहचान और प्रतिलोम त्रिकोणमिति सूत्र हैं जिन्हें अनदेखा कर दिया गया है। इसलिए, निम्नलिखित सूची में कुछ और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं-
-x = cos y
+* <math>2cos^{-1} x = cos^{-1} (2\times2-1)</math>
+* <math>2sin^{-1}x = sin^{-1} 2x \sqrt{(1- x^2)}</math>
+* <math>3sin^{-1}x = sin^{-1}(3x-4\times3)</math>
+* <math>3cos^{-1} x = cos^{-1} (4\times3 - 3x)</math>
+* <math>3tan^{-1}x = tan^{-1}((3x - x3/1 - 3\times2))</math>
+* <math>sin^{-1}x + sin^{-1}y = sin^{-1}{ x\sqrt{(1- y^2)} + y\sqrt{(1-x^2)}}</math>
+* <math>sin^{-1}x - sin^{-1}y = sin^{-1}{ x\sqrt{(1- y^2)} - y\sqrt{(1-x^2)}}</math>
+* <math>cos^{-1}x + cos^{-1} y = cos^{-1} [xy - \sqrt{{(1-x^2)(1 - y^2)}}]</math>
+* <math>cos^{-1} x -cos^{-1} y = cos^{-1} [xy + \sqrt{{(1 -x^2)(1- y^2)}}]</math>
+* <math>tan^{-1} x + tan^{-1} y = tan^{-1}(x + y/1 - xy)</math>
+* <math>tan^{-1} x - tan^{-1} y = tan^{-1}(x - y/1 + xy)</math>
+* <math>tan^{-1}x + tan^{-1} y +tan^{-1} z = tan^{-1} \frac{(x + y + z - xyz)}{(1 - xy - yz - zx)}</math>
-इसलिए, cos-1 1x = y
+== व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन परिसर और प्रांत तालिका ==
-या, cos-1 1x = sec-1 x
-उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का दूसरा गुण
-sin-1(-x) = – sin-1 x, x के सभी मानों के लिए जो -1 से 1 की सीमा में हैं।
-tan-1(-x) = – tan-1 x, जहाँ x ∈ R.
-cosec-1(-x) = – cosec-1 x, x 1
-अब, आइए एक उदाहरण की मदद से दूसरे गुण को सिद्ध करें।
-मान लें tan-1(-x) = y…. (1)
-फिर, (-x) = tan y
-इसलिए, x = – tan y
-x = tan (-y)
-tan-1 x = (-y) = {y का मान समीकरण 1 से बदलें)
-tan-1 x = – tan-1(-x)
-व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का तीसरा गुण
-cos-1(-x) = – cos-1 x, जहाँ x -1 से 1 की सीमा में आता है।
-sec-1(-x) = – sec-1 x, x 1.
-cot-1(-x) = – cot-1 x, जहाँ x ∈ R.
-अब आइए तीसरा गुण सिद्ध करें।
-मान लीजिए cot–1 (–x) = y
-– x = cot y
-ताकि x = – cot y = cot (π – y)
-इसलिए, cot–1 x = π – y = π – cot–1 (–x)
-इसलिए cot–1 (–x) = π – cot–1 x
-उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का चौथा गुण
-sin-1 x + cos-1 x = 2, -1 से 1 की सीमा के भीतर आने वाले सभी x के लिए।
-tan-1 x + cot-1 x = 2, जहाँ x ∈ R.
-cosec-1 x + sec-1 x = 2, x 1.
-अब, आइए चौथे गुण को सिद्ध करें।
-मान लीजिए tan-1 x = y.
-फिर, x = cot y
-X = cot (2 – y)
-cot-1x = 2 – y = 2 – tan-1x
-इसलिए, tan-1 x + cot-1 x = 2
-उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का पाँचवाँ गुण
-tan-1 x + tan-1 y = tan-1x+y1-xy, यदि xy < 1.
-tan-1 x – tan-1 y = tan-1x-y1+xy, यदि xy > -1.
-tan-1 x + tan-1 y = + tan-1x+y1-xy, xy > 1; x, y>0.
-व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का छठा गुण
-tan-1 x = sin-12x/1+x2, x 1.
-tan-1 x = cos-11-x21+ x2, x 0.
-tan-1 x = tan-1 2×1- x2, यदि x या तो -1 से बड़ा है या 1 से छोटा है.
-जबकि व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल छह गुण हैं, फिर भी कुछ व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय पहचान और व्युत्क्रम त्रिकोणमिति सूत्र हैं जिन्हें अनदेखा कर दिया गया है। इसलिए, निम्नलिखित सूची में कुछ और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं-
-cos-1 x = cos-1 (2×2 – 1)
-sin-1x = sin-1 2x√(1 – x2)
-sin-1x = sin-1(3x – 4×3)
-cos-1 x = cos-1 (4×3 – 3x)
-tan-1x = tan-1((3x – x3/1 – 3×2))
-sin-1x + sin-1y = sin-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}
-sin-1x – sin-1y = sin-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}
-cos-1 x + cos-1 y = cos-1 [xy – √{(1 – x2)(1 – y2)}]
-cos-1 x – cos-1 y = cos-1 [xy + √{(1 – x2)(1 – y2)}
-tan-1 x + tan-1 y = tan-1(x + y/1 – xy)
-tan-1 x – tan-1 y = tan-1(x – y/1 + xy)
-tan-1 x + tan-1 y +tan-1 z = tan-1 (x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)
-== व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन श्रेणी और डोमेन तालिका ==
 {| class="wikitable"
-|Functions
+|'''फलन'''
-|Range
+|'''परिसर'''
-|Domain
+|'''प्रांत'''
 |-
 |y = sin-1 x
@@ Line 169: / Line 73: @@
 |R
 |}
-व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन समस्याएँ और समाधान
-समस्या 1- sin-1 (sin (4)) का मान क्या है?
-समाधान 1- जैसा कि हम जानते हैं, sin-1 (sin x) = x
-इसलिए, sin-1 (sin (4)) का मान = 4
-समस्या 2- सिद्ध करें कि tan-1211 + tan-1724= tan-112
-समाधान 2- Tan-1x + Tan-1y = Tan-1x+y1-xy
-tan-1211 + tan-1724= tan-1211+7241-211724
+== उदाहरण ==
+'''प्रश्न 1'''   <math>6 sin^{-1}1</math> का मान
-= tan-1 48+7724×1111×24-1424×11 = tan-1 125250
+'''उत्तर''': मान लीजिए <math>A=sin^{-1}1,</math> तो <math>sinA=1</math>
-= tan-112
+चूँकि <math>sin  \frac{\pi}{2}=1,</math>
-इसलिए, हम सत्यापित कर सकते हैं कि tan-1211 + tan-1724= tan-112
+<math>6sin^{-1}1=6\times\frac{\pi}{2}</math>
-समस्या 3 – sin-1-12 का मुख्य मान क्या है?
+<math>6sin^{-1}1=3\pi</math>
-समाधान 3 –
-हम जानते हैं कि -1 से 1 की सीमा में आने वाले x के सभी मानों के लिए, Sin-1(-x) = – sin-1 x.
+'''प्रश्न 2'''  <math>tan^{-1}(1.1106)</math> का मान ज्ञात करें।
-इसलिए, y = sin-1-12
+'''उत्तर''': मान लें <math>A=tan^{-1}(1.1106)</math>
-चूँकि, sin 6 = 12
+तो, <math>tanA = 1.1106</math>
-इसलिए, sin-112 = 6
+<math>A=48^\circ</math>
-इसलिए, y = sin-1-sin 6 = 6
+<math>tan48 = 1.1106</math>
-इसलिए, sin-1-12 का मुख्य मान = 6
+[डिग्री मोड में कैलकुलेटर का उपयोग करें]
-निष्कर्ष
+<math>tan^{-1}(1.1106)=48^\circ</math>
-गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, उसे त्रिकोणमिति कहते हैं।
+== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
+नीचे दिए गए कुछ सुझाव प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के विभिन्न सूत्रों को हल करने और लागू करने में सहायक होंगे।
-व्युत्क्रम त्रिकोणमिति की अवधारणा त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्क्रम कार्यों से संबंधित है। इसलिए, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य व्युत्क्रम कोटैंजेंट, व्युत्क्रम कोसेकेंट, व्युत्क्रम साइन, व्युत्क्रम स्पर्शज्या, व्युत्क्रम सेकेंट और व्युत्क्रम कोसाइन हैं।
+* <math>sin^{-1}(sin x) = x,
+</math> जब <math>-1 \leq x \leq 1</math> (अधिक जानकारी के लिए, यहाँ क्लिक करें)
+* <math>sin(sin^{-1}x) = x,
+</math> जब <math> \frac{-\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}</math>
+* <math>sin^{-1}x
+</math> , <math> (sin x)^{-1}
+</math>से अलग है। साथ ही, <math>(sin x)^{-1}= \frac{1}{sinx}</math>
+* <math>sin^{-1}x = \theta</math> और <math>\theta</math> कोण को संदर्भित करता है, जो इस प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का मुख्य मान है।
-जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग आम तौर पर भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय-विरोधी फलन या आर्कस फलन के रूप में भी जाना जाता है।
 [[Category:गणित]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]][[Category:कक्षा-12]]
 [[Category:अवकल समीकरण]]